高中数学考前归纳总结导数中的有关方程根的问题

1、导数中的有关方程根的问题一、常见基此题型： 1 判定根的个数问题,经常转化为函数图象的交点个数问题,通过构造函数来求解,例 1. 已知函数 f x ln x 21, g x 2 1a . 求方程 f g x 的根的个数 . x 1解：令 h x f x g x ln x 21 2 1ax 1h x 2 2 x2 2 x2 2 x 2 12 12x 1 x 1 x 1 x 1当 x 0,1 1, 时,h x 0当 x , 1 1,0 时,h x 0因此,h x 在 , 1, 1,0 时,h x 单调递减,在 0,1,1, 时,h x 单调递增 . 又 h x 为偶函数,当 x 1,1 时,h x

2、 微小值为 h 0 1 a当 x 1 时,h x , 当 x 1 时,h x 当 x 时,h x , 当 x 时,h x 故 f x g x 的根的情形为：当1 a 0 时,即 a 1 时,原方程有 2 个根；当1 a 0 时,即 a 1 时,原方程有 3 个根；当1 a 0 时,即 a 1 时,原方程有 4 个根（2）已知方程在给定的区间上解的情形,去求参数的取值范畴,另外有关方程零点的个数问题其实质也是方程根的问题；例 1. 已知f x 3 axbx2ba x a b是不同时为零的常数） ,其导函数为f x ,（1）求证：函数yf x 在 1,0 内至少存在一个零点；（2）如函数f x 为

3、奇函数,且在x1处的切线垂直于直线x2y30,关于 x的方程f x 1t 在 1, t1上有且只有一个实数根,求实数t 的取值4范畴 . 解：（ 1）证明：由于f 2 3 ax2 bxba当a0时,x1符合题意；2当a0时,3x22bxb1,令tb,就32 x2 txt1aaa令h x 3x22 txt1,h 110,24当t1时,h0t10,yh x 在1,0内有零点；2当t1时,h 12t10,yh x 在 1,1内有零点 . 2当a0时,yh x 在 1,0 内至少有一个零点. 综上可知,函数yf x 在 1,0 内至少有一个零点（2）由于f x ax3bx2ba x 为奇函数,所以b0

4、,所以f x 3 axax,f 3 ax2a. 又f x 在x1处的切线垂直于直线x2y30,所以a1,即f x 3 xx . f x 在,3,3,上是单调递增函数,33在3,3上是单调递减函数,由f x 0解得x1,x0,33作yf x 与y由f x 1x 解之得x3 , 2x0上有41x 的图知交点横坐标为x3 , 2x04当x3,00,38 3时,过y1x 图象上任意一点向左作平行于2294x 轴的直线与yf x 都只有唯独交点,当x 取其它任何值时都有两个或没有交点；所以当x3,00,38 3时,方程f x 1t 在 1, t12294且只有一个实数根. 二、针对性练习 1 ；设函数f

5、 x lnx1ax2bx 当a0,b1,方程2mf x x 有唯独实数解,22求正数 m 的值2解: 由于方程 2 mf x x 有唯独实数解,2所以 x 2 m ln x 2 mx 0 有唯独实数解,设 g x x 2 2 m ln x 2 mx,2就 g x 2 x 2 mx 2 m令 g x 0,x 2mx m 0 x由于 m 0,x 0,所以 x 1 m m 2 4 m 0（舍去）,x 2 m m 2 4 m,2 2当 x ,0 x 2 时,g x 0,g x 在（ 0,2x ）上单调递减,当 x x 2 , 时,g x 0,g x 在（x , +）单调递增当 x x 2 时,g x

6、2 =0,g x 取最小值 g 2x 2g x 2 ,0 x 2 2 m ln x 2 2 mx 2 0 ,就 既g x 2 0 , x 2 2mx 2 m 0 .所以 2 m ln x 2 mx 2 m 0,由于 m 0,所以 2 ln x 2 x 2 1 0（* ）设函数 h x 2 ln x x 1,由于当 x 0 时,h x 是增函数,所以 h x 0 至多有一解由于 h 1 0,所以方程（ *）的解为 x 2 1,2即 m m 4 m1,解得 m 12 2 2. 设函数 f x c ln x 1x 2bx b c R c 0,且 x 1 为 f x 的极值点2 如 x 1 为 f x

7、 的极大值点,求 f x 的单调区间（用 c 表示）； 如 f x 0 恰有两解,求实数 c的取值范畴2解：f cx b x bx c,又 f 1 0 x x所以 f x 1 x c 且 c 1,b c 1 0 x（I ）由于 x 1 为 f x 的极大值点,所以 c 1当0 x 1 时,f 0；当1 x c 时,f 0；当x c 时,f 0所以 f x 的递增区间为 0,1 , , ；递减区间为 1, c （II ）如 c 0,就 f x 在0,1上递减,在1, 上递增1 1f x 0 恰有两解,就 f 1 0,即 2 b 0,所以 2 c 0；1 2 1f 极大 f c c ln c c

8、bc f 微小 f 1 b 如0 c 1,就 2,22 2由于 b 1 c ,就 f x 的极大值为 c ln c cc 1 c c ln c c c0,2 21f x 的微小值为 c , 从而 f x 0 只有一解；22 2 如 c 1,就 f x 的微小值为 c ln c cc 1 c c ln c c c02 21f x 的极大值为 c ,就 f 0 只有一解 . 2综上,使 f x 0 恰有两解 的c的范畴为 1c 023. 已知函数 f x 4ln x x , 函数 2g x f m ln 4 , 如方程 g x 0 在1 ,2e上恰有两解 , 求实数m的取值范畴 . 解：g x 4ln x x 2m ln 4令 g x 0 得 m 4ln x x 2ln 4,就此方程在 1,2 上恰有两解；e2记 x x 4 ln x