高中数学必修五《等差数列前n项和》教案

1、等差数列的前 n 项和教案 一、教学目的1、使同学懂得等差数列的前n 项和公式的推导过程的思想与方法,并把握公式；2、使同学运用数学建模的方法,正确运用等差数列的前 n 项和公式解决一些简洁的应 用问题；3、使同学通过自主观看、分析、探究、归纳、沟通,培育同学的自主探究才能、数学 建模才能和严谨的规律思维才能；4、通过从详细到抽象,从特殊到一般的探究,培育同学的理性思维,逐步树立科学发 展观,优化思维品质,养成健康的心理素养；二、教学重点、难点、关键 教学重点：等差数列的前 n 项和公式的推导和应用；教学难点：等差数列的前 n 项和公式的推导；教学关键：推导等差数列的前n 项和公式的关键是通过

2、情境的创设,发觉倒序求和法；应用公式的关键是如何从实际问题中抽象出数量关系,建立等差数列模型,运用公式解决问 题；三、教具、学具预备 多媒体课件；运用多媒体教学手段,增大教学容量和直观性,提高教学效率和质量；四、教学方法 按现代训练观,课堂教学应充分发挥“ 教为主导,学为主体,练为主线” 的教学思想；本节课运用“ 引导探究发觉法” ,采纳“ 情境引入自主探究成果沟通变式应用反思回授” 等五个环节,并使用多媒体帮助教学,引导同学动手动脑去观看、分析、探 索、归纳获得解决问题的方法,把教学过程变为希望不断探究真理并带着美好感情颜色的意 向活动；五、学法指导“ 授人以鱼,不如授人以渔” ；教是为了不

3、教,教给同学好的学习方法,让他们会学 习,并善于用数学思维去分析问题和解决问题,受益终身；本节课依据教材特点,激“ 疑” 生“ 趣” ,同学自主探究,学会从详细到抽象,从特殊 到一般,由浅入深去分析、探究,循序渐进地发觉等差数列的普遍规律,从而得出等差数列 的前 n 项和公式,在应用公式解决问题时,引导同学理论联系实际,抽象出数量关系,建立 数学模型,获得解决问题的方法,带领同学踏上“ 再制造” 之旅；六、教学过程 1、复习回忆,以旧悟新（1）等差数列的定义：anan1dn,2nN*,d为常数；n* N ）；（2）等差数列的通项公式：a na 1n1 d nN*；（3）等差数列an中,如pqm

4、n,就apa qama （ p 、 q 、 m 、2、创设情境,引入新课200 多年前,德国闻名数学家Gauss（高斯） 10 岁读学校时,老师出了一道数学题：123100.据说,当其他同学忙于把100 个数逐项相加时,高斯经过摸索后很快得出其结果是 5050；师：“ 小高斯快速算出123100的和,成为千古美谈；同学们,我们也能成长为高斯；这节课我们争论等差数列的前n 项和,就是与高斯比一比,我们也能快速算出123100,并且把这种方法推广到更一般的等差数列前n 项和的求法中去；”这个问题实际上就是本节课要学习的内容：（板书课题）2.3 等差数列的前 n 项和一般地 ,等差数列的前 n 项和

5、用 ns表示 ,即s n a 1 a 2 a 3 a n现在分小组争论探究下面的问题：1、1,2,3, , 98,99,100 从数列角度来看,这是什么数列？高斯用什么方法快速算出这个数列的和？2、高斯的算法妙处在哪里？这种方法能够推广到求一般数列的前 n 项和吗？3、这些方法用到了等差数列哪一个性质？4、能否用高斯的速算法求以下等差数列的前.n 项和：（1）运算a 1a 2a 3a n2a n1a n（2）运算a 1a 1da 12 a 1n1 .同学阅读、小组争论时,老师要眼观六路,耳听八方,对每个同学在自觉和小组争论中遇到的难题,要进行适当点拔,使他们的学习走上正轨,然后各小组汇报争论性

6、学习成果,进行全班沟通；A 组小组长说： 1,2,3, , 98,99,100 是首项为 1,末项为 100,公差为 1 的等差数列,高斯的算法是：（1+100）+（2+99）+ +（50+51）=101 50 5050；B 组小组长说：也可以写成算式的形式：s12505199 100101s1009951 50212s101101101101101s101 1 1005050；2师：很好,这种方法就是把数列各项的次序倒过来再相加的方法,我们把这种方法称为“ 倒序求和法” ；这种倒序求和法运用了等差数学哪一个性质？B 组小组长说：运用了等差数列中与首末两项等距离的两项的和等于首末两项和的性质；

7、即在等差数列a n中,如pqmn ,就apaqa ma （ p 、 q、 m 、n* N ）；3、讲授新课,推导公式 老师因势设问：“ 能把倒序求和法推广到一般的等差数列的前 n 项和吗？”C 组小组长说：可以运用高斯算法倒序求和法可运算：s na 1a2a3an2an12ann2aan21a 3an1a2ana 1s na nan1an2a 3aa 12s na 1ana2a n1a 3an2a 1a na2a n1a 3an2a3a na 2ana 12 s nn a 1an,s nn a 12a n D 组小组长说：同理运用高斯算法倒序求和法也可运算：nsa 1a 1da 1n2 a 1

8、n1 2a 1n1 nsa 1n1 a 1n2 a 1da 12ns2a 1n1 2a 1n1 2a 1n1 s nna 1n n1d 2E 组小组长抢答 :由以下算法也可以得到公式 ：nsa 1a 1da 1a n2 aa 1a nn1 s na nand2 n1 2s na 1ana 1a na 1na 1a ns n n a 1 a n 2以 a n a 1 n 1 d 代入也可得到公式 的形式；师：特别好；公式 、 称为等差数列的前 n 项和公式,用这些公式可求得等差数列的前 n 项和；引导同学比较得出：如已知等差数列首项为 a ,末项为 a ,项数为 n ,可直接运用公式 s n n

9、 a 12 a n 求和；如已知等差数列首项为 1a,公差为 d ,项数为 n ,就直接运用公式 s n na 1 n n2 1 d求和较为简便；从公式的结构特点可知,公式化共包含五个量 1a,a , n , d ,ns,只要知道其中三个量,就可以求出其余两个量；摸索：比较两个公式 、 ,说说它们分别从哪些角度反映等差数列的性质？4、初步应用,熟识公式请同学们解以下一组题；运算以下各题：（1）1234n ；2n12n；（2）1352n1（3）2462n ；（4）12356生：直接利用等差数列的前n 1 n n 项的公式 求得：（1）原式（2）原式（3）原式2（这是正整数列之和） ；n 1 2n

10、1n2（这是正奇数列之和） ；2n 222 2 nn（这是正偶数列之和） ；师：第（ 4）题中的数列不是等差数列,但在解题时我们应认真观看,由此及彼,由表及里,去伪存真,查找规律,可能某局部成等差数列（同学在老师引导下会悟到）；生甲：把正数项与负数项分开,正好组成正奇数列与正偶数列之差；原式1352n12462 2 nn2nn；1,即依次生乙：原数列虽然不是等差数列,但仍有一个规律,相邻两个正整数之差为相邻两项结合都为1,可得另一解法：原式1 234562n12 1 11nn 个师：从以上解题过程反思,可以看到一些题目表面上似乎没有什么规律,在解题时只要 我们认真观看、查找规律,是会找到好的解

11、题方法的；5、建立模型,获解方法例 1、求集合Mm m7 , n nN*且m100的元素个数,并求这些元素的和；引导同学清晰地熟识到,要找到解应用题的方法,必需运用理论联系实际的方法,抽象 出数量关系,建立相应的数学模型,这是查找解题方法的关键；求等差数列的和,要特殊注 意数列的项数 n 是什么；师：元素m的个数应依据什么条件确定？生：应依据m、n的范畴、条件确定,由m100,得7 n100,n100142,又n* N ,77满意上面不等式的正整数n共有 14个 , 所以集合 M的元素 m共有 14个 ；师：请把这 14 个元素从小到大列出来；生： 7,14,21, , 98；师：这是一个什么

12、数列？差d生：这个数列是等差数列,记为an,其中首项a 17,末项a 1498,项数n14,公7,依据等差数列的前n 项和公式得：7735；s 14n a 12a n14 798735；2答：集合 M 共有 14 个元素,它们的和等于735；师：可能用公式 解答吗？生：可以,有：s nna 1n n1d14 714 14 122师：比较一下,这两种方法有什么不同之处？生：用公式 要先求出a ,再运用公式；用公式 不需求a 就可以直接运用公式,明显用公式 方法简洁；小结：1、在应用等差数列的前 n 项和公式解应用题时,运用理论联系实际的方法抽象出数量 关系,建立相应的数学模型,即等差数列模型,从

13、而获得解题方法；2、分别用公式 、 解答,即把握题目的数量关系后,可以从多角度去解应用题；例 2、2022 年 11 月 14 日训练部下发了关于在中学校实施“ 校校通” 工程的通知；某市据此提出了实施“ 校校通” 工程的总目标：从起用 10 年时间,在全市中学校建成不同标准的校内网,据测算,该市用于“ 校校通” 工程的经费为 500 万元,为了保证工程的顺利实施,方案每年投入的资金都比上一年增加 50 万元,那么从 起的将来 10 年内,该市在“ 校校通” 工程中的总投入是多少？对此例题,老师先启示引导,然后让同学练习,如有不懂再点拔；实施“ 校校通” 工程的经费,每年是多少？总投入经费是多

14、少？想一想这个问题的数量关系与我们所学过的哪些数学规律类似？ 500 万, 50 万,将来 10 年的“么量？从中建立求解的数学模型；10 年” ,工程总投入等相当于数学理论中什同学甲：依据题意,从 起到 20XX 年该市每年投入“ 校校通” 工程的经费都比上一年增 加 50 万 , 可 以 建 立 一 个 等 差 数 列 a n, 表 示 从 起 每 年 投 入 的 资 金 ； 其 中a 1 500, d 50, n 10；由公式 可知,投入金额为：s n na 1 n n 1 d 10 500 10 10 1 50 7250 万元 2 2；同学乙：也可以用公式 求解：a 10 500 10

15、 1 50 950,s 10 n a 1 a n 10 500 950 7250 万元 2 2；答：从 起到 20XX 年,该市在“ 校校通” 工程中总投入资金 7250 万元；小结：解应用题必需建立适当的数学模型；6、加强练习,练中提高（1）、求集合 M m m 2 n 1, n N * 且 m 60 的元素个数,并求这些元素的和；（2）、一位技术人员方案用下面的方法测试一种赛车：从时速 10km/h 开头,每隔 2s 速度提高 20km/h；假如测试时间为30s,测试距离是多长？（3）、请同学们参考例1、例 2 和课堂练习题自己编写一道求等差数列前n 项和的练习题；7、归纳总结,提高熟识

16、师：谁来总结一下,本节课学习了什么内容和方法？生：（1）、本节课学习了等差数列的前n 项和公式s nn a 12a n s nna 1n n1d 2（2）、学习了一种崭新的数学方法倒序求和法；师：总结得很好,我们仍应留意以下几点：（ 1）、公式 、 共有五个量,只要知道其中三个量,就可以求出其他两个量；这 是下一节课要学习的内容；（2）、求等差数列的前n 项和,要特殊留意公式中的项数n 是什么；（3）、解应用题时,必需运用理论联系实际的方法,抽象出数量关系,建立相应的数学 模型,才能找到适当的解题方法；8、布置作业（1）、课本 P 习题 2.3 第 2 题；（2）、自己编写一道求等差数列的前

17、n 项和的练习题；（3）、写一篇学习“ 等差数列的前 n 项和” 的心得；（4）、预习：课本 P P ；9、教学信息反馈五分钟测验 如图,一个堆放铅笔的 V 形架的最下面一层放一支铅 笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放 120 支,这个 V 形架上共放多少支铅笔？教案说明本教案的内容是等差数列的前 单介绍 如下：n 项和的第一节课,现将该节课设计意图简依据新课标的要求,尽可能将数学文化与高中数学课程内容有机结合；因此本节课创设高斯10 岁时快速解出1+2+3+ +100=？的情境,通过同学预习课文、小组争论、全班沟通等形式,让同学在互帮、互辩、互学中去分析问题、发觉问题,使同学在自主学习中 提高人文素养和综合运用学问的才能,表达了同学的主体位置；在公式推导中,同学通过从 详细到抽象、从特殊到一般、由浅入深的严格规律推理,从而获得等差数列的前 n 项和公 式；这种设计符合同学的认知规律,培育了同学的分析才能和创新意识,逐步树立科学进展 观；同时,在不断变式推理过程中,让同学在实践熟识再实践再熟识的道路上 循序渐进去发觉解决问题