函数(2)市公开课获奖课件

1、第五章 函 数5.1 函数基本概念5.2 函数类型5.3 函数运算5.4 基 数退出第1页第1页5.1 函数基本概念函数也常称为映射，其定义下列：定义5.1.1 设A和B是任意两个集合，且F是从A到B关系，若对每一个xA，都存在唯一yB，使F，则称F为从A到B函数，并记作F: AB。当A=B时，映射也称变换。A称为函数F定义域，即D(F)=A，B称为函数F陪域，R(F)称为函数F值域，且R(F)B。第2页第2页有时也用F(A)表示函数F值域，即F(A)=R(F)=y|yB(x)(xAy=F(x)并称F(A)为函数F像。对于F: AB来说，若F，则称x为函数自变元，称y为函数因变元，由于y值依赖

2、于x所取值，或称y是F在x处值，或称y为F下x像。通常把F记作F(x)=y。第3页第3页从本定义能够看出，从 A 到 B 函数F和普通从 A 到 B 二元关系之不同有以下两点： A每一元素都必须是F 有序对之第一分量。 若F(x)=y，则函数F 在 x 处值是唯一，即F(x)=yF(x)=zy=z.考虑到习惯使用方法，以下经常将大写函数符号F 改为小写字母 f。第4页第4页定义5.1.2 设f: AB，g: CD，若A=C，B=D，且对每一xA都有f(x)=g(x)，则称函数f和g相等，记为f=g。本定义表明了，两函数相等，它们必须有相同定义域、陪域和有序对集合。有时需要缩小所给函数定义域，或

3、扩大所给函数定义域以创建新函数，为此有下面定义。第5页第5页定义5.1.3 设f: AB，且CA，若有g=f(CB), 则称g是f 到C缩小或限制，记为f|c，即g为C到B函数：g: CBg(x)=f(x) 或 f|c(x)=f(x)定义5.1.4 设f: CB，g: AB，且CA，若g|c=f，则称g 是f 到 A扩大或延拓。第6页第6页下面讨论由集合A和B，构成这样函数 f: AB会有多少呢？或者说，在AB所有子集中，是所有还是部分子集能够定义函数？令BA表示这些函数集合，即BA=f | f: AB.设|A|=m，|B|=n，则|BA|=nm。这是由于对每个自变元，它函数值都有n种取法，故

4、总共有nm种从A到B函数。第7页第7页上面简介一元函数，下面给出多元函数定义。定义5.1.5 设A1, A2, , An和B为集合，若f: AiB为函数，则称f 为n元函数。在上值用 f(x1,x2,xn) 表示。一元函数中概念对n元函数几乎完全合用，在这里不多讨论了。第8页第8页5.2 函数类型依据函数含有不同性质，能够将函数分成不同类型。本节将定义这些函数，并给出对应术语。第9页第9页定义5.2.1 设f: AB是函数，若R(f)=B，或对任意bB，存在aA，使得f(a)=b，或形式表为：(y)(yB(x)(xAf(x)=y)则称f: AB是满射函数，或称函数f: AB是满射。本定义表明了

5、，在函数 f 作用下，B中每个元素b，都至少是A中某元素a像，因此，若A和B是有穷集合，存在满射函数f: AB，则|A|B|。第10页第10页定义5.2.2 设f: AB是函数，对任意a，bA，且ab，都有f(a)f(b)，或形式表为(x)(y)(x,yAxyf(x)f(y)则称f: AB是单射函数（或一对一函数），或称函数f:AB是单射，或入射。本定义揭示了，A中不同元素，其在B中像也是不同。于是，若AB是有穷集合，存在单射函数 f: AB，则|A|B|。第11页第11页定义5.2.3 设f: AB是函数，若f 既是满射又是单射，则称 f: AB是双射函数（或一一相应），或称函数 f: AB

6、是双射。该定义阐明了，B中每个元素b是且仅是A中某个元素a像。因此，若A和B是有穷集合，存在双射函数 f: AB，则|A|=|B|。第12页第12页定义5.2.4 设f: AB是函数，若存在bB，使对任意aA有f(a)=b，即f(A)=b，则称f: AB为常值函数。定义5.2.5 设f: AA是函数，若对任意aA，有f(a)=a，亦即f=|xA.则称f:AA为A上恒等函数，通常记为IA，由于恒等关系即是恒等函数。由定义可知，A上恒等函数IA是双射函数。第13页第13页定义5.2.6 设A和B为集合，且AB，若函数A: B0,1为 1 xA A(x)= 0 不然则称 A为集合A特性函数。 第14

7、页第14页特性函数建立了函数与集合一一相应关系。于是，可通过特性函数计算来研究集合上命题。定理5.2.1 设A和B是全集合U任意两个子集。对任意xU，则下列关系式成立。 A(x)=0A= A(x)=1A=U A(x)B(x)AB A(x)=B(x)A=B第15页第15页 AB(x)= A(x)* B(x) AB(x)=A(x)+B(x)-AB(x) A-B(x)=AB(x)=A(x)-AB(x)其中+，-，*，为通常算术运算+，-，和。这里标识表示“补”含义。教材p158, 对特性函数进行推广导出了模糊子集概念。(略)第16页第16页定义5.2.7 设和为全序集，函数f: AB。对于任意a,

8、bA.若ab，有f(a)f(b)，则称f为单调递增函数。若ab，有f(a)f(b)，则称f为单调递减函数。若ab，且ab，有f(a)f(b)，则称f为严格单调递减函数。显然，严格单调递增函数是单调递增函数，严格单调递减函数是单调递减函数。第17页第17页定义5.2.8 设R是非空集合A上等价关系，且函数f: AA/R，f(a)=aR，aA，则称f是从A到商集A/R自然映射。自然映射在代数结构中有主要应用。定义5.2.9 设p: AA为函数，若p是双射，则称p为A上置换。置换在群论中作为一节进行讨论，有着主要应用。第18页第18页5.3 函数运算函数是一个特殊关系，对关系能够进行运算，自然对函数

9、也需要讨论运算问题，即如何由已知函数得到新函数。1函数复合利用两个含有一定性质已知函数通过复合运算能够得到新函数。定理5.3.1 设f: AB和g: BC是函数，通过复合运算o，能够得到新从A到C函数，记为gof，即对任意 xA，有(gof)(x)=g(f(x)。第19页第19页注意，函数是一个关系，今用斜体“o”表示函数复合运算，记为gof，这是“左复合”，它与关系“右复合”fog顺序正好相反，为区别它们在同一公式中出现，用粗体符号表示关系复合fog，故有gof=fog。推论1 若f, g, h都是函数，则(fog)oh=fo(goh)。本推论表明，函数复合运算是可结合。若对于集合A，f:

10、AA，则函数f 能同本身复合成任意次。fn次复合定义为： f 0(x)=x； f n+1(x)=f(fn(x)，nN。第20页第20页定理5.3.2 设f: AB，g: BC 若f: AB，g: BC都是满射，则gof: AC也是满射。 若f: AB，g: BC都是单射，则gof: AC也是单射。 若f: AB，g: BC都是双射，则gof: AC也是双射。第21页第21页定理5.3.3 若f: AB是函数，则f=foIA=IBof。本定理揭示了，恒等函数在复合函数运算中特殊性质，尤其地，对于f: AA，有foIA= IAof=f。第22页第22页2函数逆运算给定关系R，其逆关系是存在，但对已

11、知一函数，它作为关系其逆是存在，但未必是函数。比如，A=a, b, c，B=1, 2, 3，f=, , 是函数，而 f -1= , , 却不是从B到A函数。但若f: AB是双射，则f -1便是从B到A函数。定理5.3.4 若f: AB是双射，则f -1: BA也是双射。第23页第23页定义5.3.1 设f: AB是双射函数，称 f -1: BA是f 逆函数，习惯上常称f -1为f 反函数。定理5.3.5 设f: AB是双射函数，则 f -1of=IA，fof -1=IB定理5.3.6 若f: AB是双射，则(f -1)-1=f。第24页第24页5.4 基 数1基数定义首先选取一个“原则集合”N

12、n=0,1,2,n-1，称它为N截段n；再用双射函数为工具，给出集合基数定义下列：定义5.4.1 设A是集合，若f:NnA为双射函数，则称集合A是有限，A基数是n，记为|A|=n，或KA=n。若集合A不是有限，则称A是无限。本定义表明了，对于有限集合A，能够用“数”数方式来拟定集合A基数。第25页第25页定理5.4.1 自然数集合N是无穷。证：设n是N任意元素，f是任意从0, 1, , n-1到N函数。设k=1+maxf(0), f(1), , f(n-1), 那么kN, 但对每一个x 0,1, n-1, 有f(x)k。因此f 不能是满射，即f也不是双射。由于n和f都是任意，故N是无限。第26

13、页第26页为了拟定一些无穷集合基数，选取第二个“原则集合”N来度量这些集合。定义5.4.2 设A是集合，若f:NA为双射函数，则称A是可数，其基数用0表示，记为|A|=0 或KA= 0 。如：1，8，27，n3, .显然，存在从N到N双射函数，故|N|=0，0读作“阿列夫零”。符号0是康托引入。有限集和可数集统称为至多可数集。一个集A为可数集A可排列为a1,a2, an,.确实，如A由上述排列，则存在与N双射；反之，如A可数，则相应N中n元记作an即可。第27页第27页命题1 每个无穷集必包括一个可数无穷子集。证：设H是无穷集合，取a1H， a2H-a1，a3H-a1, a2，, anH-a1

14、, a2, , an-1，如此继续下去，可得到H一个可数无穷集合。定义：若集合A和B之间存在双射(一一相应)，我们称A和B是等势或等浓。第28页第28页例 实数集R与(0,1)等势。f: R (0,1), 命题2 每个无穷集必与它某一真子集等势。证：设M是无穷集，由命题1：M含有可数子集A=a1, a2, , an, . 令M-A=B.定义f: MM-a1下列：f(an)= an+1, n=1, 2,f(b)=b, bB.易知 f 是双射。CDAB第29页第29页命题3 可数集任何无限子集是可数。证：设A为可数集，B A=a1, a2, , an, 且B为无限集. 从a1开始向后检查，不断删去

15、不在B中元，则得新序列：显然这个序列与N存在一一相应，因此B是可数集。第30页第30页能够证实下面一个很有用定理：定理5.4.2 可数个两两不交可数集合并集仍为可数集。证：排列: a11, a21, a12, a31, a22, a13, 第31页第31页在上述基数定义中，是使用两个“原则集合”Nn和N以及双射函数（或一一相应），引入了集合基数概念。这种方式能够把基数简朴地看作对集合指派一个符号，指派原则是：与Nn构成双射或一一相应集合，指派它基数是n，与N构成双射或一一相应集合，指派它基数为0。指派空集基数为0。几种主要例子：定理5-1 证实NN是可数集。证：(略，见教材P166).第32页

16、第32页定理5-2 有理数集是可数集。证：由上一个定理知：NN是可数集。令S=| m, nN且m和n互质 NN 。因S是NN无穷子集，由命题3，S是可数。令g: SQ+, 即g: m/n . 显然，g是双射，因此Q+是可数集。而Q+ Q -，Q= Q+Q - 0。可数个可数集并仍是可数。第33页第33页定理5-3 实数集R不是可数集，也即是不可数。证：前面一个例子证实: R(0,1)。我们只要证S=x | x(0,1)是不可数即可。用反证法。假设S是可数，则S能表示为序列：S1, S2, 其中Si (0,1).设Si =0.y1y2y3, 其中yi 0,1,2, 9(如0.2可记为0.1999

17、, 0.123可记为0.122999)第34页第34页现结构一个实数r=0.b1b2b3使得显然，r不属于S, 矛盾。第35页第35页把集合(0,1)基数记为, 故K(R)= 。 也称为连续统势. 第36页第36页2基数比较在有了集合基数基础上，能够建立相等关系和顺序关系，进行基数比较和基数运算，这里仅讨论前者。定义5.4.4 设A和B为任意集合。若有一个从A到B双射函数，则称A和B有相同基数（或称A与B是等势），记为|A|=|B|（或AB）。第37页第37页若有一个从A到B单射函数，则称A基数小于等于B基数，记为|A|B|。若有一个从A到B单射函数，但不存在双射函数，则称A基数小于B基数，记

18、为|A|B|。由于在复合运算下，双射函数是封闭，双射函数逆函数（即常说反函数）是双射函数，因此等势关系有下列性质：定理5.4.3 等势是任何集合族上等价关系。综上可见，等势关系是个等价关系。第38页第38页从上面定义及定理可知：等势是集合族上等价关系，它把集合族划分成等价类，在同一等价类中集合含有相同基数。因此能够说：基数是在等势关系下集合等价类特性。或者说：基数是在等势关系下集合等价类名称。这事实上就是基数一个定义。比如，3是等价类a,b,c,p,q,r,1,2,3,名称（或特性）。0是自然数集合N所属等价类名称。第39页第39页要证实一个集合A有基数，只需选取基数为任意集合B，证实从A到B

19、或从B到A存在一个双射函数。选取集合B标准是使证实尽也许容易。第40页第40页例 证实区间0, 1与(0, 1)基数相同。证：设集合Define f: 0, 1(0, 1) as follows:第41页第41页例 设A=N, B=(0,1)，证实KAB= .证：定义f: ABR+ f(n,x)=n+x.因f是单射， KABKR+ = .反之，定义g: (0,1)AB g(x)=因g是单射，故 KAB。第42页第42页上述定义中选取符号和，是由于它们含有这些符号通常性质。然而，要证实这些性质是冗长和复杂。下面将不加证实地引入阐明这些性质两个定理。第一个定理称为三歧性定律。第二定理表明：是反对称

20、。定理5.4.4 （Zermelo）设A和B是任意两个集合，则下述情况恰有一个成立： |A|B| |B|A| |A|=|B|第43页第43页定理5.4.5 （Cantor-Schroder-Bernstein）设A和B是任意两个集合，若|A|B|和|B|A|，则|A|=|B|。本定理对证实两集合含有相同基数提供了有效办法。若能够结构一单射函数f:AB，则有|A|B|；又能结构另一个单射函数g:BC，以证实|B|A|。于是依据本定理即可得出|A|=|B|。尤其要注意，f 和g不必是满射。由于通常结构这样两个单射函数比结构一个双射函数要容易许多。第44页第44页例 证实区间0, 1与(0, 1)基数相同。证：作两个单射函数下列：f: (0,1) 0, 1, f(