工程数学概率分布市公开课获奖课件

1、第二节 概率分布 第三章 概率论第1页第1页 在学习随机事件及其概率时,我们理解了样本空间概念1、抛掷一骰子出现点数2、抛掷一硬币正反面出现情况3、某都市120电话台一昼夜呼唤次数4、一批产品中任取一产品合格情况一、随机变量第2页第2页实例1 在一装有红球、白球袋中任摸一个球,观测摸出球颜色.S=红色、白色 非数量将 S 数量化 可采用下列办法 红色白色第3页第3页即有 X (红色)=1 , X (白色)=0.这样便将非数量 S=红色，白色 数量化了.第4页第4页实例2 抛掷骰子,观测出现点数.S=1，2，3，4，5，6样本点本身就是数量恒等变换且有则有第5页第5页1、随机变量定义第6页第6页

2、随机变量伴随试验结果不同而取不同值, 因此随机变量取值也有一定概率规律.(2)随机变量取值含有一定概率规律普通函数是定义在实数轴上,而随机变量是定义在样本空间上 (样本空间元素不一定是实数).2.阐明(1)随机变量与普通函数不同第7页第7页实例1 设某射手每次射击打中目的概率是0.8,现该射手射了30次, 则是一个随机变量.且 X(e) 所有也许取值为:第8页第8页实例2 设某射手每次射击打中目的概率是0.8,现该射手不断向目的射击 , 直到击中目的为止,则是一个随机变量.且 X(e) 所有也许取值为:第9页第9页实例3 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过, 假如某人到达该车站时刻是随机

3、, 则是一个随机变量.且 X(e) 所有可能取值为:第10页第10页3、随机变量分类(1)离散型 随机变量所取也许值是有限多个或无限可列个, 叫做离散型随机变量.(2)连续型 随机变量所取也许值能够连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量.第11页第11页1、定义二、离散型随机变量第12页第12页离散型随机变量分布律也可表示为阐明：离散型随机变量有下列性质 第13页第13页例 离散型随机变量分布律下列：试求：(1)常数c值；(2) 概率 (3)概率 解：(1)依据分布律性质，因此，第14页第14页例 离散型随机变量分布律下列：试求：(1)常数c值；(2) 概率 (3)概率 解：(2)(3)第15

4、页第15页例：一只袋中装有5只球，编号1，2，3，4，5在袋中同时取出3只，以X表示取出3只球中最大号码，写出随机变量X分布律。第16页第16页解练第17页第17页2、常见离散型随机变量概率分布 贝努利试验：假如随机试验E只有两个也许结果 与 ，就称该试验为贝努利试验新生儿性别登记；抛掷硬币正面出现情况；检查产品质量是否合格；明天会不会下雨；参与英语等级考试结果；射手对目的进行射击；参与总统竞选结果；第18页第18页例 我国新生儿性别登记情况. 随机变量 X 服从 (01) 分布.其分布律为第19页第19页设随机变量 X 只也许取0与1两个值 , 它分布律为则称 X 服从 (01) 分布或两点

5、分布.1.(0-1)分布 第20页第20页实例 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那么,若要求取得不合格品,取得合格品.则随机变量 X 服从(0 1)分布.第21页第21页 两点分布是最简朴一个分布,任何一个只有两种也许结果随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布.阐明第22页第22页n重贝努利试验（贝努利概型）：将贝努利试验独立重复进行n次，则称这一串重复独立试验为n重贝努利试验若在一次贝努利试验中，关怀事件A是否发生。那么在n重贝努利试验中，则会关怀事件A发生次数第23页第23页发生k次情形有多少种？发生k次概率

6、？第24页第24页称这样分布为二项分布.记为二项分布两点分布2.二项分布 第25页第25页二项分布是常见一类分布如：独立地进行射击5次，击中目的次数独立地进行试验5次，成功次数k个灯泡，使用超出1000小时灯泡个数n个供水设备，正在使用个数它们都是服从二项分布第26页第26页二项分布是应用广泛一类主要分布如：在港口建设中要理解n年中年最大波高过米次数；在机器维修问题中要理解n台机床需要修理机床数；在昆虫群体问题中要理解n个虫卵中能孵化成虫个数；在高层建筑防火安全通道设计中要理解n层楼中发生火灾楼层数；它们都是服从二项分布第27页第27页例 在相同条件下互相独立地进行 5 次射击,每次射击时击中

7、目的概率为 0.6 ,则击中目的次数 X 分布律.故X (5,0.6)第28页第28页 大学英语六级考试（旧）是为全面检查大学生英语水平而设置一个考试，含有一定难度。除英文写作占15分外，其余85道各种答案选择每题1分，即每一道题附有A，B，C，D四个选择答案，要求考生从中选择最佳答案。这种考试方式使有学生产生想碰运气侥幸心理，那么靠碰运气能通过英语六级考试吗？选择题能考出真实成绩吗？第29页第29页分析：按及格计算，85道选择题必须答对51道题以上。假如瞎猜想话，则每道题答正确概率为1/4，答错概率是3/4。显然，各道题解答互不影响，因此，能够将解答85道选择题当作85重贝努利试验。请问刚好

8、答对51道选择题概率？第30页第30页例：既有张一百元人民币，已知其中混有张假币，从中取张，假如正好将张假币取出来算是成功一次，某人这样做了次，成功次，设各次成功是否互相独立，试问此人对假币有无一定判别能力？解：设成功为事件A，古典概型P(A)=1/C210=1/45设为成功次数，据题意知(10,1/45),成功次概率为因此，他对假币有一定判别能力小概率原理：概率很小事件在一次试验中认为是不会发生。第31页第31页例：某柜台上有4位售货员，只准备了两台台秤，已知每位售货员在8小时内都有2小时时间使用台秤，求台秤不够用概率。解：已知每位售货员在8小时内都有2小时时间使用台秤，阐明每位售货员使用台

9、秤概率皆为p=1/4。 同时使用台秤售货员个数X是一个离散型随机变量，它服从参数为n=4,p=1/4二项分布，即第32页第32页台秤不够用，意味着同时使用台秤售货员超出2个，因此时间X2表示台秤不够用。注意到X2范围内，离散型随机变量X也许取值只有两个，即X=3与X=4，有概率因此，台秤不够用概率是0.0508。第33页第33页. 泊松分布 第34页第34页泊松分布背景及应用泊松分布是一个比较常见离散型随机变量分布.第二次世界大战时，德军隔着英吉利海峡用飞弹轰击伦敦，以后发觉，各区落下飞弹数服从泊松分布。第35页第35页二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观测与分析放射性物质放出 粒子个数情况时

10、,他们做了2608次观测(每次时间为7.5秒)发觉放射性物质在要求一段时间内, 其放射粒子数X 服从泊松分布.第36页第36页在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业排队等问题中 , 泊松分布是常见.它经常用来描述“稀有事件”数目.如:某页书上印刷错误字数；某医院一天内急诊病人数；某地区某一时间间隔内发生交通事故数；一年内爆发战争数目；腐败现象发生和发展；等等都服从泊松分布第37页第37页例：某都市天天发生火灾次数服从参数泊松分布，求该都市一天发生次或次以上火灾概率解：设该都市一天发生火灾次数为，则XP(0.8)第38页第38页0.10.20.30.40.50.60.70.80.9048.

11、8187.7408.6703.6065.5488.4966.44931.0905.1638.2223.2681.3033.3293.3476.35952.0045.0164.0333.0573.0758.0988.1217.14383.0002.0011.0003.0072.0126.0198.0284.03834.00010.0007.0016.0030.0050.007750.0002.0004.0007.001260.0001.0002700第39页第39页 公元15至1931年这432年间，有223年没有爆发战争（已爆发，正继续不算），一年中爆发1次、2次、3次和4次总年数分别是142

12、年、48年、和4年，平均每年爆发0.69次战争。把实际数据与参数为0.69泊松分布理论数据作比较，见下表。1年中战争数实际年数理论年数0223216.68091142149.509824851.580931511.8636442.0465第40页第40页例 有一繁忙汽车站，有大量汽车通过，设每辆车在一天某段时间内出事故概率为0.001.在某天该时段内有1000辆汽车通过，问出事故车辆数不小于2概率是多少？将每辆车通过当作一次试验，设出事故车辆数为X，则随机变量X服从参数为n=1000,p=0.001二项分布，其分布律为：第41页第41页泊松定理注：普通情况下，n10，p0.1时，能够用泊松分布

13、代替二项分布。第42页第42页 此题中，n=1000,p=0.001，可用泊松分布（参数 ）近似代替。第43页第43页例(寿命保险问题)在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层人参与了人寿保险，在一年中每人死亡概率为0.002，每个参与保险人在1月1日必须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领取元补偿金，求(1)保险公司亏本概率；(2)保险公司赢利不少于10000元概率第44页第44页第45页第45页第46页第46页第47页第47页 在农村尤其是偏远地域和经济落后地域，人们“传宗接代”、“多子多福”、“早生儿子早享福”等观念意识还很强，一对夫妇一定要生个儿子才肯罢休现象并不少见；假

14、设生女儿概率为p，求生到儿子为止，子女数目X分布律。 4. 几何分布 第48页第48页 例 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过, 假如某人到达该车站时刻是随机, 则是一个随机变量.且 X(e) 所有也许取值为:事实上“某人等到2分59秒”这种随机事件几乎不也许发生，研究0，5中一个点概率无意义，通常关注取值落在一个区间上概率。三、连续型随机变量第49页第49页1.概率密度函数定义第50页第50页12.概率密度函数性质第51页第51页注意 对于任意也许值 a ,连续型随机变量取 a 概率等于零.即连续型随机变量取值落在某一区间概率与区间开闭无关第52页第52页例第53页第53页解第54页第

15、54页第55页第55页第56页第56页解第57页第57页1. 均匀分布 常见连续型随机变量分布第58页第58页解由题意,R 概率密度为故有例 设电阻值 R 是一个随机变量，均匀分布在 1100 求 R 概率密度及 R 落在950 1050 概率第59页第59页练：某公共汽车站从早晨6时起，每15分钟来一辆车，即6:00,6:15,6:30,6:45等时刻有汽车进站。如某乘客到达此站时间是6:00到6:30之间均匀分布随机变量，试求该乘客等待时间少于5分钟概率。第60页第60页第61页第61页2. 指数分布第62页第62页 指数分布在实际应用中经常碰到，在排队论及可靠性理论中指数分布惯用来表示机

16、器维修时间，寻呼台收到服务到达时间间隔，元器件使用寿命生物寿命等。应用与背景第63页第63页练：到某服务单位办事总要排队等待。设等待时间T是服从指数分布随机变量，概率密度函数为某人到此处办事，等待时间若超出15min，他就愤然拜别。设此人一个月去该处10次，求（1）正好有两次愤然拜别概率（2）至少有2次愤然拜别概率第64页第64页第65页第65页第66页第66页3. 正态分布(或高斯分布)第67页第67页正态概率密度函数几何特性第68页第68页第69页第69页第70页第70页 正态分布是最常见最主要一个分布,比如测量误差, 人生理特性尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产产品尺寸:直径、长度、重

17、量高度等都近似服从正态分布.正态分布应用与背景 第71页第71页原则正态分布概率密度表示为原则正态分布第72页第72页原则正态分布概率密度函数图形第73页第73页解例第74页第74页第75页第75页普通正态分布与原则正态分布关系第76页第76页例第77页第77页第78页第78页例:公共汽车车门高度是按成年男子与车门顶碰头概率小于1%要求设计.若成年男子身高X(cm)服从 分布,问车门高度应拟定为多少?第79页第79页第80页第80页 某公司在某次招工考试中，准备招工300名（280名正式工，20名暂时工），而报考人数是1657名，考试满分为400分。 考试后不久，通过当地新闻媒介得到下列信息：

18、考试平均分166分，360分以上高分考生31名。某考生A成绩是256分，问他能否被录用?如被录用能否是正式工？第81页第81页解：设考生考试成绩为X，则X是随机变量，对于一次成功考试来说，X应服从正态分布，本题中，由于考试成绩高于360分频率是31 / 1657,因此第82页第82页下面预测该考生考试名次，他考分为256分，查表知阐明考试成绩高于256分人数大约占总结识16.6%，因此，考试名次排在该生之前大约有即该考生大约排名276名，因此被录为正式工也许性较大。第83页第83页解：由于最低分数线x0确实定应使高于此线考生频率等于300/1657，即因此能录用最低分数线是251分，该考生能被

19、录用。第84页第84页3.2.2 随机变量数字特性一、随机变量数学盼望二、随机变量函数数学盼望三、数学盼望性质1. 数学盼望第85页第85页引例1 分赌本问题(产生背景) A, B 两人赌技相同, 各出赌金100元,并商定先胜三局者为胜, 取得所有 200 元.由于出现意外情况 ,在 A 胜 2 局 B 胜1 局时,不得不终止赌博, 假如要分赌金,该如何分派才算公平? 注:1654年,一个骑士就此问题讨教于帕斯卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 共同建立了概率论第一个基本概念-数学盼望第86页第86页在已赌过三局(A 胜2局B 胜1局)基础上，若继续赌A 胜 1/2B 胜 1/2A 胜 1/

20、2B 胜 1/2A胜出概率 1/2+1/2*1/2=3/4 B胜出概率 1/2*1/2=1/4 在赌技相同情况下,A, B 最后获胜也许性大小之比为即A 应取得赌金 而 B 只能取得赌金第87页第87页因而A盼望所得赌金即为X “盼望”值,等于X 也许值与其概率之积累加.即为若设随机变量 X 为:在 A 胜2局B 胜1局前提下, 继续赌下去 A 最后所得赌金.则X 所取也许值为:其概率分别为:第88页第88页 引例2(射击问题) 射手在同样条件下进行射击，命中环数为随机变量 ，其分布律下列： 求该射手平均每次命中环数。 第89页第89页数学盼望又能够称为盼望，均值。离散型随机变量数学盼望第90

21、页第90页关于定义几点阐明 (1) E(X)是一个实数,它是一个加权平均, 也称均值. (2) 级数绝对收敛性确保了级数和不随级数各项顺序改变而改变 .第91页第91页试问哪个射手技术较好?例 谁技术好?乙射手甲射手比一比第92页第92页解故甲射手技术比较好.第93页第93页例 投资理财决议 某人既有10万元钞票进行为期一年投资，既有2种投资方案：一是购买股票，二是存入银行赢利息。若买股票，则一年收益主要取决于全年经济形式好（概率30%）、中档（概率50%）、和差（概率20%）三种状态，形式好就能赢利40000元，形式中档也能赢利10000元，形式差就要损失0元。若存入银行，则按8%年利率取得

22、利息8000元。第94页第94页解设 X 为投资利润，则存入银行利息:故应选择股票投资.第95页第95页0132p0.40.30.20.1第96页第96页02123222p0.40.30.20.1-1153p0.40.30.20.1第97页第97页例3 最优订购方案 某商场订购下一年挂历，零售价80元/本，进价50元/本，若当年卖不出去，则降价到20元/本所有销售出去。依据往年经验，需求概率下列：在当年售出150本、160本、170本和180本概率分别为0.1，0.4，0.3，0.2。有下列四种订购方案 ：(1)订购150本； (2)订购160本； (3)订购170本； (4)订购180本，请

23、问哪种方案可使盼望利润最大？第98页第98页(1)订购150本:设随机变量X表示该方案下利润(百元)(2)订购160本:设随机变量Y表示该方案下利润(百元)第99页第99页(3)订购170本:设随机变量Z表示该方案下利润(百元)(4)订购180本:设随机变量R表示该方案下利润(百元)选择方案2或3，可使盼望利润最大。第100页第100页例 设由自动生产线加工某种零件内径X(mm)服从正态分布 ，内径小于10或不小于12为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品赢利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润T(元)与销售零件内径X有下列关系：求销售一个零件平均利润是多少？第101页第101页注意T是离散

24、型随机变量。第102页第102页连续型随机变量数学盼望 第103页第103页例 已知随机变量 在区间a,b上服从均匀分布，求第104页第104页第105页第105页例：对圆直径作近似测量，其值均匀分布在区间a,b上，求圆面积数学盼望。第106页第106页第107页第107页 例 设随机变量XE (1)，求解 X概率密度为 第108页第108页例 国际市场每年对我国某种商品需求量是随机变量X(吨),它服从,4000上均匀分布.已知每售出1吨,可挣得外汇3千元,但如售不出去而积压,则每吨需花库存费用及其它损失工1千元,问需组织多少货源,才干使国家收益盼望最大?第109页第109页第110页第110

25、页小结第111页第111页三、 数学盼望性质 性质1 若C是常数,则E(C)=C.性质2 若C是常数,则E(C )=CE( ).第112页第112页课堂练习（口答）第113页第113页分布盼望第114页第114页第115页第115页 3 方差一、 随机变量方差概念二、 随机变量方差计算三、随机变量方差性质第116页第116页X2P 2 3 5 7 81/8 1/8 1/2 1/8 1/8X1P 4 5 61/4 1/2 1/4设有两种球形产品，其直径取值规律下列： 两种产品直径均值是相同，但产品2偏差大，假如需要使用直径为5产品，则产品1较产品2抱负。引例一、随机变量方差概念若需要直径为5产品

26、，选哪种产品较抱负？第117页第117页甲、乙两门炮同时向一目的射击10发炮弹，其落点距目的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮由于乙炮弹着点较集中在中心附近 . 中心中心第118页第118页1、方差定义称为均方差或原则差.即 方差刻画了随机变量取值与数学盼望偏离程度,它大小能够衡量随机变量取值稳定性. 设 是一随机变量，假如 存在，则称为 方差，记作 或 .第119页第119页2. 方差意义(2)若方差 ，则随机变量 恒取常数值。(1)方差是一个惯用来表达随机变量 取值分散程度量. 假如 值大, 表示 取值分散程度大, 代表性差; 而假如 值小,则表示 取值比

27、较集中, 以 作为随机变量代表性好.第120页第120页（惯用）计算方差简化公式:第121页第121页解 P 4 5 61/4 1/2 1/4例 设有一个球形产品，其直径取值规律下列： 求 。 第122页第122页第123页第123页三 、方差性质C 为常数a为常数第124页第124页第125页第125页一、二元离散型随机变量 二、二元连续型随机变量 3.2.3 二元随机变量及其分布第126页第126页一、二元随机变量定义 在实际问题中,一个随机试验结果w相应不但是一个随机变量,经常要考虑多个随机变量.比如:考虑某地域儿童健康情况要同时考虑身高X,体重Y,肺活量Z等.若只研究一个就是一元,若同时研究两个或两个以上,作为整体(X,Y,Z)来研究