数学建模自动控制自动控制系统的数学模型市公开课获奖课件

1、第二章 控制系统数学模型本章主要内容: 2.I 2.2 2.3 2.42.5物理系统数学模型非线性数学模型线性化拉氏变换及其反变换典型环节及其传递函数系统方框图和信号流图第1页第1页Part 2.1 物理系统数学模型2.1.12.1.22.1.3 机械系统 电气系统 相同系统数学模型定义建立数学模型基础提取数学模型环节Example第2页第2页Part 2.1.1 数学模型定义系统示意图系统框图Remember恒温箱自动控制系统?第3页第3页Part 2.1.1 数学模型定义系统框图 t u2 u ua n v u t由若干个元件互相配合起来就构成一个完整控制系统。系统是否能正常地工作，取决各

2、个物理量之间互相作用与互相制约关系。物理量变换， 物理量之间互相关系信号传递表达为能量传递（放大、转化、储存）由动态到最后平衡状态-稳定运动第4页第4页Part 2.1.1 数学模型定义数学模型： 描述系统变量间互相关系动态性能运动方程解析法 依据系统及元件各变量之间所遵循物理或化学规律列写出相应数学关系式，建立模型。试验法 人为地对系统施加某种测试信号，统计其输出响应，并用适当数学模型进行迫近。这种办法也称为系统辨识。建立数学模型办法：第5页第5页数学模型形式时间域：微分方程差分方程状态方程复数域：传递函数结构图频率域：频率特性第6页第6页数学模型准确性和简化Part 2.1.2 建立数学模

3、型基础机械运动： 牛顿定理、能量守恒定理电学： 欧姆定理、基尔霍夫定律热学： 传热定理、热平衡定律 微分方程 （连续系统）差分方程 （离散系统）线性与非线性分布性与集中性参数时变性第7页第7页机械运动系统三要素机械运动实质： 牛顿定理、能量守恒定理阻尼 B质量 M弹簧 K第8页第8页Part 2.1.3 提取数学模型环节划分环节写出每或一环节(元件) 运动方程式消去中间变量写成原则形式第9页第9页负载效应依据元件工作原理和在系统中作用，拟定元件输入量和输出量(必要时还要考虑扰动量)，并依据需要引进一些中间变量。由运动方程式 （一个或几种元件独立运动方程）划分环节 按功效（测量、放大、执行）第1

4、0页第10页写出每或一环节(元件) 运动方程式找出联系输出量与输入量内部关系，并拟定反应这种内在联系物理规律。数学上简化处理，（如非线性函数线性化，考虑忽略一些次要原因）。第11页第11页写成原则形式比如微分方程中， 将与输入量相关各项写在方程右边；与输出量相关各项写在方程左边。方程两边各导数项均按降幂排列。 第12页第12页Part 2.2 非线性数学模型线性化2.2.12.2.22.2.3常见非线性模型线性化问题提出线性化办法Example液面系统单摆Example液面系统单摆单变量多变量第13页第13页2.2.1 常见非线性模型数学物理方程中线性方程： 未知函数项或未知函数（偏）导数项系

5、数依赖 于自变量针对时间变量常微分方程： 线性方程指满足叠加原理叠加原理： 可加性 齐次性不满足以上条件方程，就成为非线性方程。第14页第14页有条件存在，只在一定工作范围内含有线性特性；非线性系统分析和综合是非常复杂。2.2.2 线性化问题提出能够应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行分析和设计。线性系统缺点：线性系统长处：线性化定义 将一些非线性方程在一定工作范围内用近似线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。第15页第15页2.2.3 线性化办法 以微小偏差法为基础，运动方程中各变量就不是它们绝对值，而是它们对额定工作点偏差。增量（微小偏差法）假设： 在控制系统整个调整过程中，所有变

6、量与稳态值之间只会产生足够微小偏差。非线性方程 局部线性增量方程第16页第16页增量方程增量方程数学含义 将参考坐标原点移到系统或元件平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动起始点，这时，系统所有初始条件均为零。注：导数依据其定义是一线性映射，满足叠加原理。第17页第17页多变量函数泰勒级数法增量方程静态方程第18页第18页单变量函数泰勒级数法函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近泰勒级数展开式为：略去含有高于一次增量x=x-x0项，则：注：非线性系统线性化模型，称为增量方程。注：y = f (x0)称为系统静态方程第19页第19页Part 2.3 拉氏变换及其反变换

7、2.3.12.3.22.3.3拉氏变换定义拉氏变换计算拉氏变换求解方程拉氏变换 拉氏反变换第20页第20页Part 2.3.1 拉氏变换定义设函数f(t)满足：1f(t)实函数；2当t0时 ， f(t)=0；3当t0时，f(t)积分 在s某一域内收敛则函数f(t)拉普拉氏变换存在，并定义为：式中：s=+j（，均为实数）；F(s)称为函数f(t)拉普拉氏变换或象函数;f(t)称为F(s)原函数；L为拉氏变换符号。第21页第21页拉氏反变换定义其中L1为拉氏反变换符号。第22页第22页高等函数初等函数指数函数三角函数单位脉冲函数单位阶跃函数单位速度函数单位加速度函数幂函数Part 2.3.2.1

8、拉氏变换计算第23页第23页Part 2.3.2.3 拉氏变换主要运算定理线性定理微分定理积分定理位移定理延时定理卷积定理初值定理终值定理第24页第24页F(s)= F1(s)+F2(s)+Fn(s)L-1F(s) = L-1F1(s)+L-1F2(s)+L-1Fn(s)= f1(t) + f2(t) + + fn(t)条件： 分母多项式能分解成因式多项式极点多项式零点Part 2.3.2.2 拉氏反变换办法部分分式法求取拉氏反变换第25页第25页将微分方程通过拉氏变换变为 s 代数方程；解代数方程，得到相关变量拉氏变换表示式；应用拉氏反变换，得到微分方程时域解。Part 2.3.3 拉氏变换

9、求解线性微分方程第26页第26页应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动地包括在微分方程拉氏变换式中，因此，不需要依据初始条件求积分常数值就可得到微分方程全解。假如所有初始条件为零，微分方程拉氏变换能够简朴 地用sn代替dn/dtn得到。微分方程式解正弦函数 Bsin(t+)指数函数 Aeat微分方程式各系数起始条件外部条件a、A、B、第27页第27页Part 2.4 典型环节及其传递函数2.4.12.4.2传递函数定义典型环节传递函数第28页第28页在零初始条件( )下，线性定常系统输出量拉氏变换与引起该输出输入量拉氏变换之比。系统(或环节)输入量系统(或环节)输出量Part 2.4

10、.1 传递函数定义 输入量施加于系统之前，系统处于稳定工作状态，即t 0 时，输出量及其各阶导数也均为0 第29页第29页初始条件为零时 微分方程拉氏变换系统传递函数!传递函数直接计算法系统传递函数普通形式第30页第30页N(s)=0 系统特性方程，特性根 特性方程决定着系统动态特性。 N(s)中s最高阶次等于系统阶次。！从微分方程角度看，此时相称于所有导数项都为零。K 系统处于静态时，输出与输入比值。当s=0时系统放大系数或增益特性方程第31页第31页M(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0根s=zi(i=1, 2, , m)，称为传递函数零点。N(s)=a0(s-p1)(s-

11、p2)(s-pn)=0根s=pj(j=1, 2, , n)，称为传递函数极点。！系统传递函数极点就是系统特性根。！零点和极点数值完全取决于系统结构参数。零点和极点第32页第32页传递函数零、极点分布图： 将传递函数零、极点表示在复平面上图形。零点用“O”表示极点用“”表示零、极点分布图第33页第33页g(t)称为系统脉冲响应函数（权函数）系统输出单位脉冲函数脉冲响应函数传递函数系统动态特性单位脉冲响应第34页第34页传递函数是复数s域中系统数学模型。其参数仅取决于系统本身结构及参数，与系统输入形式无关。传递函数通过系统输入量与输出量之间关系来描述系统固有特性，即以系统外部输入输出特性来描述系统

12、内部特性。若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s) 决定。结论第35页第35页适合用于线性定常系统传递函数中各项系数和相应微分方程中各项系数相应相等，完全取决于系统结构参数。传递函数原则上不能反应系统在非零初始条件下所有运动规律无法描述系统内部中间变量改变情况只适合于单输入单输出系统描述注意第36页第36页设系统有b个实零点;d 个实极点;c 对复零点; e对复极点;v个零极点Part 2.4.2 典型环节传递函数b+2c = mv+d+2e = n第37页第37页百分比环节一阶微分环节二阶微分环节积分环节惯性环节振荡环节延迟环节！串联纯微分环节第38页第38页环节是依据微分方程划分，

13、不是详细物理装置或元件。一个环节往往由几种元件之间运动特性共同构成。同一元件在不同系统中作用不同，输入输出物理量不同，可起到不同步骤作用。第39页第39页运动方程式：传递函数：K 环节放大系数例1：齿轮传动例2：晶体管放大器放大环节/百分比环节第40页第40页运动方程式：传递函数：K环节放大系数T环节时间常数!储能元件！输出落后于输入量，不马上复现突变输入例1：弹性弹簧例2：RC惯性环节惯性环节第41页第41页运动方程式：传递函数：K 环节放大系数！记忆！积分输入忽然除去积分停止输出维持不变例1：电容充电例2：积分运算放大器积分环节第42页第42页如当输入量为常值 A 时，输出量须通过时间T才

14、干达到输入量在t = 0时值A。！改进系统稳态性能！含有明显滞后作用第43页第43页抱负微分实际微分惯性T 0KT 有限运动方程式：传递函数：传递函数：例1：测速发电机例2：RC微分网络例3：抱负微分运放例4：一阶微分运放微分环节第44页第44页不同形式储能元件能量转换振荡运动方程式：传递函数： 环节阻尼比K环节放大系数T 环节时间常数01 产生振荡1 两个串联惯性环节例1：机械平移系统例2：RLC串联网络振荡环节第45页第45页运动方程式：传递函数：1 两个串联一阶微分环节 环节阻尼比K 环节放大系数T 环节时间常数二阶微分环节第46页第46页运动方程式：传递函数：环节时间常数超越函数近似处

15、理例1：水箱进水管延滞延滞环节第47页第47页Part 2.5 系统方块图和信号流图2.5.12.5.22.5.3方块图系统信号流图控制系统传递函数 第48页第48页结构方块图由方块图求系统传递函数方块图绘制Part 2.5.1 方块图2.5.1.12.5.1.22.5.1.3 第49页第49页2.5.1.1 结构方块图第50页第50页！脱离了物理系统模型!系统数学模型图解形式形象直观地描述系统中各元件间互相关系及其功效以及信号在系统中传递、变换过程。依据信号流向 ，将各元件方块连接起来组成整 个系统方块图。函数方块图第51页第51页 任何系统都能够由信号线、函数方块、信号引出点及求和点构成方

16、块图来表示。求和点函数方块引出线函数方块信号线第52页第52页1信号线 带有箭头直线，箭头表示信号传递方向，直线旁标识信号时间函数或象函数。 2信号引出点（线）/测量点 表示信号引出或测量位置和传递方向。同一信号线上引出信号，其性质、大小完全同样。 第53页第53页3函数方块(环节) 函数方块含有运算功效第54页第54页4求和点（比较点、综合点）1.用符号“”及相应信号箭头表示2.箭头前方“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号! 注意量纲第55页第55页相邻求和点能够互换、合并、分解。代数运算互换律、结合律和分派律。!求和点能够有多个输入，但输出是唯一第56页第56页方框图等效变换法则公式直

17、接法化简法代数法方块图化简方块图运算规则串联、并联、反馈基于方块图运算规则基于比较点简化基于引出点简化2.5.1.2 由方块图求系统传递函数第57页第57页 几种环节串联，总传递函数等于每个环节传递函数乘积。例：隔离放大器串联RC电路串联运算规则第58页第58页同向环节并联传递函数等于所有并联环节传递函数之和。并联运算规则第59页第59页反馈运算规则第60页第60页基于方块图运算规则第61页第61页基于比较点简化第62页第62页基于引出点简化第63页第63页把几种回路共用线路及环节分开，使每一个 局部回路、及主反馈都有自己专用线路和环节。拟定系统中输入输出量，把输入量到输出量 一条线路列成方块

18、图中前向通道。通过比较点和引出点移动消除交错回路。先求出并联环节和含有局部反馈环节传递函 数，然后求出整个系统传递函数。方块图求取传递函数-简化法第64页第64页方块图化简第65页第65页建立系统各元部件微分方程,明确信号因果关系（输入/输出）。对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各部件方框图。按照信号在系统中传递、变换过程，依次将各部件 方框图连接起来，得到系统方框图。2.5.1.3 方块图绘制第66页第66页2.5.2.1 信号流图及其术语2.5.2.2 信号代数运算法则2.5.2.3 依据微分方程绘制信号流图2.5.2.4 依据方框图绘制信号流图2.5.2.5 信号流图梅逊公式Part 2.

19、5.2 系统信号流图 第67页第67页 信号流图起源于梅逊（S. J. MASON）利用图示法来描述一个和一组线性代数方程，是由节点和支路构成一种信号传递网络。节点表示变量或信号，其值等于所有进入该节点信号之和。支路连接两个节点定向线段，用支路增益（传递函数）表示方程式中两个变量因果关系。支路相称于乘法器。信号在支路上沿箭头单向传递。通路沿支路箭头方向穿过各相连支路路径。2.5.2.1 信号流图及其术语第68页第68页输入节点只有输出节点，代表系统输入变量。输出节点只有输入节点，代表系统输出变量。输出节点输入节点混合节点既有输入又有输出节点。若从混合节点引出一条含有单位增益支路，可 点变为输出

20、节点。第69页第69页前向通路从输入节点到输出节点通路上通过任何节点不多于一次通路。前向通路上各支路增益之乘积，称前向通路总增益，普通用pk表示。第70页第70页回路起点与终点重叠且通过任何节点不多于一次闭合通路。回路中所有支路增益之乘积称为回路增益，用Lk表示。不接触回路互相间没有任何公共节点回路X2、X3X3、X4X5第71页第71页2.5.2.2 信号代数运算法则第72页第72页取Ui(s)、I1(s)、UA(s)、I2(s)、Uo (s)作为信号流图节点Ui(s)、Uo(s)分别为输入及输出节点2.5.2.3 依据微分方程绘制信号流图第73页第73页第74页第74页第75页第75页只有一条前向通路三个不同回路L1、L2不接触 P1与L1、L2、L3均接触第76页第76页第77页第77页2.5.2.4 依据方框图绘制信号流图第78页第78页方块图转换为信号流图第79页第79页方块图转换为信号流图第80页第80页G 系统总传递函数Pk第k条前向通路传递函数（通路增益） 流图特性式全部不同回路传递函数之和每两个互不接触回路传递函数乘积之和 每三个互不接触回路传递函数乘积之和第k条前向通路特性式余因子，即对于流图特性式，将与第k 条前向通路相接触回路传递函数代以零值，余下即为k。k任何m个互不接触回路传递函数乘积之和2.5