离散数学 代数系统的一般性质-1课件

1、第5章 代数系统的一般性质 代数结构【引例】（1）在Z集合上，xZ, 则f(x)=-x是将x映为它的相反数。-x是由x唯一确定的，它是对一个数施行求相反数运算的结果。这个运算可表示为函数： f ：ZZ 5.1二元运算及其性质（2）在R+集合上，xR+,则f(x)= 1/x是将x映为它的倒数。1/x是由x唯一确定的，它是对R+中的一个数施行倒数运算的结果。这个元算可以表示为函数 f : R+ R+。 （3）设a,bR,则f(a,b)=a+b(a-b，ab)是将两个数a，b映为R中的唯一的一个数，它是对R中的两个数施行加（减，乘）法运算的结果。这个运算可以表示为函数f : R2 R。 上述例子都是

2、我们熟悉的数与数的运算,它们有一个共同特征,就是其运算结果都在原来的集合中且运算结果是唯一的,它们都是函数。 把这种 数集 中的代数运算,抽象概括推广到一般集合上，就得到代数运算的概念。集合中的代数运算实质上是集合中的一类函数。5.1二元运算及其性质二元运算的定义及其实例定义 设 S 为集合,函数 f：SSS 称为 S 上的二元运算, 简称为二元运算. 也称 S 对 f 封闭. 特点：变量和函数值的取值限定在同一个集合上。例1 (1) N 上的二元运算：加法、乘法. (2) Z 上的二元运算：加法、减法、乘法. (3) 非零实数集 R* 上的二元运算: 乘法、除法. (4) 设 S = a1,

3、 a2, , an, ai aj = ai ， 为 S 上二元运算. 二元运算的实例（续） (5) 设 Mn(R) 表示所有 n 阶 (n2) 实矩阵的集 合，即 矩阵加法和乘法都是 Mn(R) 上的二元运算. (6) 幂集 P(S) 上的二元运算：, . (7) SS 为 S 上的所有函数的集合：合成运算. 运算符 为了简化n元运算的表示， 引入运算符来代替函数。如符号“。”、“*”、“”、“”、“”等。前缀表示法 *(a)=b *(a1,a2)=b *(a1,a2,a3)=b非前缀表示，将运算符写于n个元素之间，如ZZZ的加法： f(2,3)=+(2,3)=2+3=5 通常将f(2,3)写

4、成f(2,3)或2+3.5.1二元运算及其性质运算表表示运算 a1 a2 an ai a1 a2 . . . ana1a1 a1a2 a1ana2a1 a2a2 a2an . . . . . . . . .ana1 ana2 anan a1 a2 . . . ana1a2 . . .an运算表的实例（续）例5 Z5 = 0, 1, 2, 3, 4 , , 分别为模 5 加法与乘法 的运算表 的运算表 0 1 2 3 4 0 1 2 3 401234 0 1 2 3 4 1 2 3 4 0 2 3 4 0 1 3 4 0 1 2 4 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1

5、 2 3 4 0 2 4 1 3 0 3 1 4 2 0 4 3 2 1 例：设N3=0, 1, 2, 则N3 上的模3 加法+3 可以使用运算表来表示, 如表4.1 所示。注意到，运算表是对称的，这表明运算+3 满足交换律。+3012001211202201 定义5.2 设S是集合，n为正整数，函数f : SS.SS称为集合S上的n元运算，整数n称为运算的阶。从n元代数运算的定义可知它有三点涵义:A中任意n个元素都有运算结果;运算是封闭的,即运算结果仍在A中;结果是唯一的。5.1二元运算及其性质 如果参与运算的是同一个元素，则可以用幂的形式表示。 x*x*. *x =xn 幂运算的性质(m,

6、n都为正整数，是正整数上的普通加法，乘是普通乘法)： xm*xn=xm+n (xm)n=xmn（3）若xA，x*x=x,则称“*”运算满足幂等律 。同时称S中的全体元素都是幂等元。 幂集上的满足幂等律；不满足幂等律，但运算有一个幂等元。 5.1二元运算及其性质（4）若x, y, zS： x*(y z)=(x*y) (x* z),则称“*”运算对“”运算满足左分配律； (yz)*x=(y*x)(z*x)，则称“*”运算对“ ”运算满足右分配律。 若二者均成立，则称“*”运算对“ ”运算满足分配律。 (5）设“*”，“”均可交换，若x，yA,有 x*(xy)=x x(x*y)=x 则称运算“*”和

7、“”运算满足吸收律。 幂集上的和运算满足吸收律。 5.1二元运算及其性质 集合 运算分配律吸收律 Z, Q, R普通加法 + 与乘法 对 + 可分配无+ 对 不分配 Mn(R)矩阵加法 + 与乘法 对 + 可分配无+ 对 不分配 P(B)并 与交 对 可分配有 对 可分配交 与对称差 对 可分配无 对 不分配5.1二元运算及其性质例3 设A=a,b, A上的运算“*”、“。”分别如表所示。*a baba bb a 从“*”运算表可知，“*”是可交换的。因为(a*a)*b=a*b=b a*(a*b)=a*b=b (a*b)*b=b*b=a a*(b*b)=a*a=a所以“*”是可结合的。5.1二

8、元运算及其性质a baba aa b 从“”运算表可知， “”是可交换的。因为(aa)b=ab=a a(ab)=aa=a (ab)b=ab=a a(bb)=ab=a所以“”是可结合的。5.1二元运算及其性质（1）b(a*b)=bb=b (ba)*(bb)=a*b=b（2）a(a*b)=ab=a , (aa)*(ab)=a*a=a b(a*a)=ba=a , (ba)*(ba)=a*a=a b(b*b)=ba=a , (bb)*(bb)=b*b=a a(a*a)=aa=a , (aa)*(aa)=a*a=a a(b*b)=aa=a , (ab)*(ab)=a*a=a 所以“”对“*”是可分配的。

9、（由于“”运算满足交换律成立，因此右分配也成立。） （3）b*(ab)=b*a=b (b*a)(b*b)=ba=a故“*”对“”是不可分配的。 又由b*(bb)=b*a=a可知“”和“*”不满足吸收律。由运算表可知，“”满足幂等律，而“*”不满足幂等律。 5.1二元运算及其性质消去律定义 设为V上二元运算， x, y, zV， 若 x y = x z,且 x不是零元，则 y = z 若 y x = z x,且 x 不是零元，则 y = z 那么称 运算满足 消去律. 实例: Z, Q, R 关于普通加法和乘法满足消去律. Mn(R) 关于矩阵加法满足消去律;幂集P(S)上满足消去律Zn关于模

10、n 加法满足消去律，当 n 为素数时关于模 n乘法满足消去律. 当 n 为合数时关于模 n 乘法不满足消去律. 5.1二元运算及其性质二元运算的特异元素单位元定义 设为S上的二元运算,如果存在el（或er）S，使得对任意xS 都有 el x =x (或xer =x)，则称el(或er )是S中关于运算的左(或右)幺元（单位元）. 若eS关于运算既是左单位元又是右单位元，则称 e为S上关于运算的幺元.例：N上加法的幺元是0，乘法的幺元是1 Mn(R)上加法的么元是0矩阵，乘法的幺元是单位阵 P(S)上的么元是 ， 的幺元是S 5.1二元运算及其性质零元 设为S上的二元运算,如果存在l（或r）S，

11、使得对任意 xS 都有 l x=l(或xr =r )，则称l (或r)是S 中关于运算的左(或右)零元. 若S关于运算既是左零元又是右零元，则称为 S 上关于运算 的 零元.类似地可以证明关于零元的惟一性定理（定理5.2）.例：N上乘法的零元是0，加法没有零元 Mn(R)上乘法的零元是0矩阵，加法没有零元 P(S)上的零元是S ， 的零元是5.1二元运算及其性质【例4.3.5】 在实数集 R 中，对加法“+”运算，没有零元；在实数集 R 中，对乘法运算，0是零元；对于全集E的子集的并运算，E是零元；对于全集E的子集的交运算，是零元;5.1二元运算及其性质实例分析集合运算幺元零元逆元Z,Q,R普

12、通加法+0无X 的逆元 x普通乘法10X 的逆元 x1(x-1属于给定集合)Mn(R)矩阵加法+n阶全0矩阵无X逆元X矩阵乘法 n阶单位 矩阵n阶全0矩阵X的逆元 X1（X是可逆矩阵）P(B)并B 的逆元为 交BB 的逆元为 B对称差无X 的逆元为 X5.1二元运算及其性质定理 设为S上可结合的二元运算, e为该运算的幺元,对于xS如果存在左逆元yl 和右逆元yr ,则有yl=yr=y,且y是x的惟一的逆元.证 由ylx=e 和xyr =e得 yl =yle=yl (xyr) =(ylx)yr=eyr =yr 令yl =yr=y,则y是x的逆元. 假若yS 也是x的逆元, 则 y=y e=y

13、(xy)=(yx)y=ey=y所以y是x惟一的逆元.说明：对于可结合的二元运算，可逆元素 x 只有惟一的逆元，记作 x1. 5.1二元运算及其性质小结： 对于给定的集合和二元运算，幺元、零元、逆元不同。 如果幺元和零元存在，一定是唯一的。 逆元是与集合中的某个元素相关的，有的元素有逆元，有的元素没有逆元，不同的元素对应不同的逆元。注意：当 |S| = 1 时，这个元素既是单位元 也是零元. 5.1二元运算及其性质例题分析解 (1) 运算可交换，可结合. 任取x, yQ, x y = x+y+2xy = y+x+2yx = y x, 任取x, y, zQ, (x y) z= (x+y+2xy)

14、+ z + 2(x+y+2xy) z = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz x (y z) = x + (y+z+2yz) + 2x(y+z+2yz = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz例6 设 运算为 Q 上的二元运算， x, yQ, xy = x+y+2xy, (1) 运算是否满足交换和结合律? 说明理由. (2) 求 运算的幺元、零元和所有可逆元.5.1二元运算及其性质给定 x，设 x 的逆元为 y, 则有 x y = 0 成立，即 x+y+2xy = 0 (x = 1/2) 因此当 x 1/2时， 是 x 的逆元. (2) 设运算的幺元和零元分别为 e 和 ，则

15、对于任意 x 有 xe = x 成立，即 x+e+2xe = x e = 0 由于 运算可交换，所以 0 是幺元.对于任意 x 有 x = 成立，即 x+2 x = x + 2 x = 0 = 1/2 5.1二元运算及其性质例题分析（续）例7 (1) 说明那些运算是交换的、可结合的、幂等的. (2) 求出运算的幺元、零元、所有可逆元素的逆元. a b c a b c a b c a b c c a b a b c b c a a b c a a a b b b c c c a b c a b c b c c c c c解 (1) 满足交换、结合律； 满足结合、幂等律； 满足交换、结合律. (2)的幺元为b,没零元，a1=c,b1=b, c1=a 的幺元和零元都不存在，没有可逆元素. 的幺元为a，零元为c,a1=a. b, c不可逆. 5.1二元运算及其性质例8 设 A = a, b, c , 构造 A 上的二元运算* 使得 a*b =c, c*b = b, 且*运算是幂等的、可交换的，给出关于*运算的一个运算表，说明它是否可结合，为什么？ * a b c a b c a c c b b cb根据幂等律和已知条件a*b =c, c*b = b 得到运算表根据交换律得到新的运算表方框 可以填入a, b, c中任一选定的符号,完成运算表不结合，因为 (a*b)*b = c*b = b