考研数学12007年全国入学统一考试

1、2007入理工数学一试题详解及评 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内（1） 当x0时，x 等价的无穷小量是 )1A. 1xx D.1 B.11曲线ln(1ex渐近线的条数为 )x(3)如图，连续函数 y=f(x)在区间-32007入理工数学一试题详解及评 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内（1） 当x0时，x 等价的无穷小量是 )1A. 1xx D.1 B.11曲线ln(1ex渐近线的条数为 )x(3)如图，连续函数 y=f(x)在区间-3，-2，2，3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周x在区间-2，0，0，2的图形分别是直径为2 的上、下半圆周，设f (t)dt

2、 .则下0结论正确的是 3)535A.F(3)=FB.FC.F(3)=FD.F(3)= F4444(4)设函数 f（x）在 x=0 处连续，下列命题错误的)f(x) f fA. 若B. 若xfxf(x) f f0f0C. 若D. 若xx(5)设函数f（x）在（0,）f (xo, 令un =f(n)=1,2,.n, 结论正确的是 )A.若u1u2，则unB. 若u1 u2，则unC. 若u1u2，则un D. 若u1u2，则un(6)设曲线L：f(x,y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数，过第象限内的点MN,T为LMN()A. r (x,f x (x, y)dxf y (x,f (x

3、,f (x, （7）设向量组12 3()（A） 1 2,2 3,3 （C）122,2 23,3（B） 1 2,2 3,3 （D）1 22,2 23,3 10 0 （8）A1 2 1，B=01 0 A()1 2001不合同，但相(B) 合同，但不相(D)既不合同，也不相p0 p 1，则此人42()（A）3p(1不合同，但相(B) 合同，但不相(D)既不合同，也不相p0 p 1，则此人42()（A）3p(1 (B)6p(1 3p2(1 (D) 6p2(1 (10) 设随即变量（X，Y）XYfX(xfYyX，Y Yy 的条件下，X fX | Y(x| y()(B) fY(fX(C) fX(x) fY

4、(fY(二填空题：1116424112exdx3x1（12）设f(u,v)为二元可微函数，z f(x ,y )，则x yx(13)二阶常系数非齐次线性方程y 4y3y 2e2x的通解为(14)设曲面 ：|x| y|z|1，则 (x| y|)ds0 0 00 0 0 0 (15)设矩阵A，则A3的秩101 2(17)（本题满分11分）求函数f(xy x2 2y2 x2y2在区域D(xy) x2 y2 4y2I xzdydz2xydzdx其中为曲面z 1x 24(19)(I xzdydz2xydzdx其中为曲面z 1x 24(19)(本题是11分设函数f(xg(x)在ab上连续，在(ab)内二阶导

5、数且存在相等的最大值， f (a) g(a), f (b) g(b)证明：存在 (ab)，使得f ) g).设幂级数xn在(, )内收敛，其和函数y(x)满ny 2xy 4y 0,y(0)0,y(0)2na ,n1,2,L n(2)求y(x)x3 设线性方程组x 2x ax 4x a2x 3x3 a1,1) 是A的属于(22)3阶对称矩阵A的特征向量值 1 2 2 1T12311一个特征向量,B A54A3EE3(I) 验证1 是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值的特征向量(IIB(23)设二维变量(x, y) 的概率密度f (x,y) 2x 0 x1,0 y(IPX 2Y(IIz X

6、Y 的概率密度3(24)设总体X 10 x(24)设总体X 10 xf (x,) x12(1X1 , X2 Xn X X (I求参数 (II) 判断4X 2 是否为 2的无偏估计量,并说明理由42007入数学一试试题详解与评选择题（10 小题，每小4 40 分，在每小题给的 四个选项中一有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内（1）x 0时，与 x 1 （A）1 x（C） 1x （D）1 2007入数学一试试题详解与评选择题（10 小题，每小4 40 分，在每小题给的 四个选项中一有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内（1）x 0时，与 x 1 （A）1 x（C） 1x

7、（D）1 11 1 xo(x)x x)x o( x，因此B。x 【解11考点：泰勒公式与等价无穷小量的正确运用（2）y 1 ln(1exxDx0y 0(x y xx 【解考点：渐近线的实质是极限问题，应从单侧极限入单侧渐近线的存在（3）y f (x在区间3,2，2,31 x周，在区间2,0,0,2上的图形分别是直径为2 的上、下半圆周，设F(x) f (t)dt，035（A）F(3) F4（C）F(3) F（B）F(3) F4（D）F(3) F3544【解C。利用积分的几何意义，并注意代数面积的概念（水木艾迪辅导的星级考点（4）f (xx 0f(x) f(f( 0f (0) 0f (0) （A

8、）若（B）若xxf (x) f （C）若lim f (x) f (0) f (0（D）若xx【解D的成立不一定保证（5）f (x在(0,f (x) 0，令un f (n) 1,2,Ln1（A）若u1 u2，则un 必收（C）若u1 u2 ，则un 必收（B）若u1 u2，则un 必发（D）若u1 u2 ，则un（A）若u1 u2，则un 必收（C）若u1 u2 ，则un 必收（B）若u1 u2，则un 必发（D）若u1 u2 ，则un 必发D。画出草图，结论显见。下面证明 u1 u2 ，则 2 u1 0,其中c是某个确定的正数，于是存在1,2 2 2) f ( ) c 0121对任x 1,)

9、， f(1) c 0) 0f x又存在2 (1,x)使得f(x) f(1)(2)( 1) (x ) （6）L: f xy) （f (x, y具有一阶连续偏导数M N T LM N x,y x,y TT（D） fx,y dx y(x,x,y TT（B）（A）M N T LM N 段弧(x y d 1dx (N)0 x其中 (M), (NTT（B）T f(xy)dy T1dy y(N y(M0MMN y xy d 1ds 弧长TT（D）T fx(x,y)dx fy(x,y)dy 0dx0dy T（7）设向量组1, 2 , 3 线性无关，则下列向量组线性相关的（A）1 2,2 3,3 （C）1 2

10、2 23,3 （B）1 2,2 3,3 （D）1 2 2 23,3 A因为( 233 10，所以12,2 3,3 12考点：线性相关与线性无关的概念200100A（8）A1, B 考点：线性相关与线性无关的概念200100A（8）A1, B （A）合同，且相（C）【解B（D）既不合同，也不相A的特征值为330ABAB22AB考点：矩阵的相似与合同概念，相似矩阵的性质，合同矩阵的性质，惯性定理等目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0 p 1)，则此人第2(A) 3p(1 p)(B) 6p(1 p)(C) 3p2(1 (D) 6p2(1 【与点评】P42次命中目标=P431 次 pC1p

11、(1 p)2 3p2(1 p)3C本题是 Bernoulli 试验中的典型问题(10) 设量(X,Y)服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，fX (x), fY (y)分别表示X Y 的概率密度，则在Y yX fX Y (x y为AfX （A）f (B) f (C) f (x)f (XYf (Y与点评】由于(X,Y)服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，所以X 与Y 相互独立f (x, fX Y (x y) fX (xf (Y本题主要考查了二维正态分布的不相关性与独立性的等价关系，属于最基本的内容 写在答题纸指定位置上1122exdx x131 1112 1 12e 2【解x2x2112考点：

12、凑微分法是处理积分问题最重要的基础y (12) 设f (u,v)是二元可微函数，z f)，则 x 【解： f y fx f y fuvuvxyxy y1x fu f fvvu1 1112 1 12e 2【解x2x2112考点：凑微分法是处理积分问题最重要的基础y (12) 设f (u,v)是二元可微函数，z f)，则 x 【解： f y fx f y fuvuvxyxy y1x fu f fvvu2yxyx z y f y f x f y f uvuvxyxy x 2 fu x fv y考点：具有抽象函数记号的多元复合函数的偏导数计算（13）二阶常系数非齐次线性微分方程y 4y3y 2e2x的

13、通解为y 【解】齐次解为 y C ex ，设特解为 y ，由待定系数法得124Ae2x 8Ae2，A2：y C 。12考点：常规的二阶常系数非齐次线性微分方程解法( 非齐次项P x)ex 型)的求解n1(x（14）设曲面x y zy)dS 【解（方法 1）由域与被积函数的对称性有xdS 0, ydS xdS zdSy)dS ydS 1(ydS xdS z(x 3 1(z)dS 1dS 8 y333（方法 2）利用物理481 8 3 )dS ydS,x,y,ydS 8 y 3（3）y 3dxdy 4 3)dS x,y, x,y,1081 8 3 )dS ydS,x,y,ydS 8 y 3（3）y

14、 3dxdy 4 3)dS x,y, x,y,1000000001000 （15）A0 ，则A 的秩100000010A 30rA ) 13001 21(1)22与点评】 由几何概型计算（见图，可知所求概率 | A| |S 41y1x1三、解答题：17-24 86 分。请将解答写在（17（11分）f(xyx22y2 x2y25SAD (xyx2 y2 4, y 0 （1）f 2x2xy2f 4y2x2yf(xyD (xyx2 y2 4, y 0 （1）f 2x2xy2f 4y2x2yf(xy) x2 2y2 22xy 2x2xy2 f 4y2x2y D(xyx2 y2 4, y0 21 （2）

15、f(xy) x2 2y2 x2y2在区域边界上的条件极值。Lagrange x2 2 2 x2y2 x2 y2 L 4y2x y2y2x y 435条件驻点为2（3）比较函数 (x, ) x2 2y2 x2y208（1（2）在边界L ：y (2 x 2)上，f(x,y) x2，最大值为4,最小值为01在边界L2：x y (y 0)上，y 4x (x,y) 4 5x2 852x1 （18（10分）Ixzdydz2zydzdx3xydxdy，其中6yz 1 x (0 z 124【解（1）Guass式z S x 14xzdydz2zydzdx3xydxdy xzdydz2zydzdx3xydxdy

16、S11 01dxdy 6 z(1yz 1 x (0 z 124【解（1）Guass式z S x 14xzdydz2zydzdx3xydxdy xzdydz2zydzdx3xydxdy S11 01dxdy 6 z(1z)dz y02x 14而 xzdydz2zydzdx3xydxdy 3xydxdy Sy1x 2故 I xzdydz 2zydzdx3xydxdy （方法 2）直接计算，记曲面 在三个坐标面上的投影分别为 Dxy Dyz , 3xydxdy 3xydxdy 01dydz 202 1y4xzdydz 21 z1z42 11z2(1z)dz 3011 1 22zydzdx 4z 4(

17、1z x2)dzdx 8z1z x2dx 3D0所以： I xzdydz2zydzdx3xydxdy 方法 yy1:z 1x (0 z 1)，n 2xijk，n0 (4xi y j2k)24216x2 y2 4x2z2zy2 I (xzi2zy j3xyk)n0dS 16x y 716x2 y2 其中dS dS 16x2 y16x2 y2 其中dS dS 16x2 y2 dxdy2I 14x2z2zy2dS2本题考点：第二型曲面积分概念与计算点评：第二类曲线积分有三种求值方法：直接计算法，Guass 公式法，将第二类曲面积分变第一类曲面积分，本题用这三种方法都能（19（11）f(xg(x在ab

18、上连续，在(abf(a) g(a), f(b) g(b，证明：存在 ab，使得 f () g(【证】移项造辅助函数hx) f x gx，则h(a) 0h(b) 0 x0 (ab使得hx0) 0Rolle （方法一）若 f x), gx的最大值在(ab) x0 (ab) hx0) 0fxgx二阶可导，于是由 Rolle x1 ax0 x2 x0b使得hx10与 hx20，进而 x1x2 (ab，使得h(0f() g(f xgxx1 abx2 ab，x1 x2 得f(x1) max f(x) g(x2) max g(hx1) fx1 gx1) 0且hx2) fx2 gx2 由连续函数的零点定理，存

19、在介于 x1x2 之间的 x0 (ab) hx0) 0 ，又h(a) 0，h(b) 0f xgxRolle 定理，1ax02 x0使得h(1)0 h(2)0 ，于是 (1,2) (a,b) ，使得h()0 ，f() g( abf () g(（方法二）用反证法也能证明存在(a,bh() 0假 设 不 存 在 (a,b)使 h() 0 ， 则 h(x) 0,x(a,b) ； 8hx) 0 xab 。不妨假设 hx) 0 xab 设g(x)在x1 (a,b)取到最大值则应x1)ghx) 0 xab 。不妨假设 hx) 0 xab 设g(x)在x1 (a,b)取到最大值则应x1)g(与已知条件函x),

20、g(1在( , )内有相等的最大。因此假设不成立，即存在 a,b 使h() 0。其余步同（方法一（20（本题满分 10 分）设幂级数 a xn (,) 内收敛，其和函数 y(x) 满足ny2xy4y 0, y(0) 0, y(0 2（）an2 n 1n（）y(x（1（y 0) 得a0 0y 0) 得a1 1y(0 0 2 a2 a2 0y(x)2xy(x)2y(x)4y(x)2xy 31 (x)42(3)y (2(0) 2 (04y(0 6a 3 a ，因此1，即k 1时成立a。k133kk y(4)(0) 2y(0)42(42)y(0 0 4 a ，a y(n)(x) 2xy n )(x)

21、4 2(n 2)y(n2)(假设k 2n1y(k)(x) 2xy k )(x)42(k 2)y(k2)(y(k)(0)42(k2 y(k2)y(2n)(0) 0，y(2n1)(0) 4 2(2n n1 (0) 2ny(2即a2n1 2n11a2n1 ，且0k 2n3y(2n2) (x) y (0) )y(2n3) (x) )，y 2n3 (0) 42(2n1 y2n1 42(2n1)(2n1)!a2n1 2n9 42(2n1)(2n)22n3aa(2n2nn1,2L（方法二）ynyn(nxn1 xnnnn代入微分方程得到 (n4a)(n2 xnxn 42(2n1)(2n)22n3aa(2n2n

22、n1,2L（方法二）ynyn(nxn1 xnnnn代入微分方程得到 (n4a)(n2 xnxnxnnn02a2 n次幂系数为零( 1)( 2)an2 2(n2)an 0 n1,22nn2 n1,2a11 1 1 （2）a0 0，a1 1，a2 0，a3 1，a5 2a3 ，a7 2 3a3，a 2 3 4 2 L 0，n 1,2 La2n2ny( ) a2 n xn 3（21（ 34x a2x 23 a3有公共解，求a 的值及所有公共解3x 1x ax 3x a【解】考虑方程组x2 11001aa(a2)(a01L0aa1020a 2a 1a 101010L0，000 , 0, T ka 10

23、1010L0，000 , 0, T k1 0, T ka 2010000100L10001 T 0 1 T （22（ 1, 2, 2, (1, ,1 1231A的属于 B A5 4A3 EE31（）验证1BB（）B （）B1 4A E)1 1 41 1 21所以1 B 的属于特征值 2 的特征向量设2 是2 的特征向量，B2 (设3 是3 的特征向量，4A E)2 2 42 B3 (A 4A E)3 (2 ) 4(2) B的全部特征值为2 1, B1的特征向量为 T ，则 T 03 03和 0, , 1)T B1 解得(1, , k1(1, ,k2 0, ,1) TTk1k2为不全为零的常数。属于特征值2的特征向量为1k(1,1,1) kT11111（）P P BP ，其中 03和 0, , 1)T B1 解得(1, , k1(1, ,k2 0, ,1) T