上海市莘庄中学等四校联考2021-2022学年数学高二下期末检测模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则（）A4B3CD2我国古代数学名著九章算术中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一如图所示的堑堵，当堑堵的

2、外接球的体积为时，则阳马体积的最大值为A2B4CD3在极坐标中，O为极点，曲线C：=2cos上两点A、A34B34C34已知，若恒成立，则实数m的取值范围是A或B或CD5某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（）种A8B15C18D306在中， ，则等于( )A或BC或D7若函数f(x)=2x+12xA( -,-1)B(C(0,1)D(1,+)8已知复数，.在复平面上，设复数，对应的点分别为，若，其中是坐标原点，则函数的最大值为（）ABCD9已知命题：，若是真命题，则实数的取值范围为（ ）

3、ABCD10为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A简单随机抽样B按性别分层抽样C按学段分层抽样D系统抽样11已知集合， ，则（ ）ABCD12已知是离散型随机变量，则（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知过点的直线交轴于点，抛物线上有一点使,若是抛物线的切线，则直线的方程是_14设,则等于_.15的展开式中的系数为 .16已知圆，圆，直线分别过圆心，且与圆相交于两点，与圆相交于两点，点是

4、椭圆上任意一点，则的最小值为_；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）（1）已知矩阵，矩阵的逆矩阵，求矩阵.（2）已知矩阵的一个特征值为，求.18（12分）已知椭圆，为右焦点，圆，为椭圆上一点，且位于第一象限，过点作与圆相切于点，使得点，在的两侧.（）求椭圆的焦距及离心率；（）求四边形面积的最大值.19（12分）某球员是当今国内最好的球员之一，在赛季常规赛中，场均得分达分。分球和分球命中率分别为和，罚球命中率为.一场比赛分为一、二、三、四节，在某场比赛中该球员每节出手投分的次数分别是，每节出手投三分的次数分别是，罚球次数分别是，（罚球一次命中记分）。（1）

5、估计该球员在这场比赛中的得分（精确到整数）；（2）求该球员这场比赛四节都能投中三分球的概率；（3）设该球员这场比赛中最后一节的得分为，求的分布列和数学期望。20（12分）已知等比数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.21（12分）已知曲线 y = x3 + x2 在点 P0 处的切线平行于直线4xy1=0，且点 P0 在第三象限,求P0的坐标;若直线, 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程.22（10分）若是定义在上的增函数，且.（）求的值；（）解不等式：；参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

6、是符合题目要求的。1、A【解析】由条件可得，【详解】因为函数的图象在点P处的切线方程是所以，所以4故选：A【点睛】本题考查的是导数的几何意义，较简单.2、D【解析】由已知求出三棱柱外接球的半径，得到，进一步求得AB，再由棱锥体积公式结合基本不等式求最值【详解】解：堑堵的外接球的体积为，其外接球的半径，即，又，则即阳马体积的最大值为故选：D【点睛】本题考查多面体的体积、均值定理等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题3、A【解析】将A、B两点的极角代入曲线C的极坐标方程，求出OA、OB，将A、B的极角作差取绝对值得出AOB，最后利用三

7、角形的面积公式可求出AOB的面积。【详解】依题意得：A3,6、所以SAOB=1【点睛】本题考查利用极坐标求三角形的面积，理解极坐标中极径、极角的含义，体会数与形之间的关系，并充分利用正弦、余弦定理以及三角形面积公式求解弦长、角度问题以及面积问题，能起到简化计算的作用。4、C【解析】分析：用“1”的替换先解的最小值，再解的取值范围。详解：，所以的解集为，故选C点睛：已知二元一次方程，求二元一次分式结构的最值，用“1”的替换是均值不等式的应用，构造出的模型，再验证条件。5、A【解析】本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，根据分类计数原理知共有3+58种结果【详解】由题意知本题是一个分类计数

8、问题，解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法，一是可以用分析法来证明，有3种方法，根据分类计数原理知共有3+58种结果，故选A【点睛】本题考查分类计数问题，本题解题的关键是看清楚完成这个过程包含两种方法，看出每一种方法所包含的基本事件数，相加得到结果6、D【解析】已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，先由正弦定理求，再求.【详解】由正弦定理，可得.由，可得，所以.故选D.【点睛】本题考查正弦定理的应用. 已知两边及其中一边的对角，由正弦定理求另一边的对角，要注意判断解的个数.7、C【解析】由f（x）为奇函数，根据奇函数的定义可求a，代入即可求解不等式【详解】f（x）=2xf

9、（x）=f（x）即2整理可得，1+1a2x=a2xa=1，f（x）=2f（x）=2x2x+12整理可得，2x12x2解可得，0 x1故选C【点睛】本题主要考查了奇函数的定义的应用及分式不等式的求解，属于基础试题8、B【解析】根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解.【详解】据条件，且，所以，化简得，当时，取得最大值为.【点睛】本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题.9、A【解析】分析：先写出命题的否定形式，将其转化为恒成立问题，求出的值. 详解：命题：，则为，是真命题，即恒成立，的最大值为1，所以故选A.点睛：含有一个量词的命题的否定命题命题的否定10、C【解析】试题分析：

10、符合分层抽样法的定义，故选C.考点：分层抽样11、B【解析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可【详解】Bx|x2；AB1，2故选：B【点睛】本题考查描述法、列举法表示集合的定义，以及交集的运算12、A【解析】分析：由已知条件利用离散型随机变量的数学期望计算公式求出a，进而求出，由此即可求出答案.详解：是离散型随机变量，由已知得，解得，.故选：A.点睛：本题考查离散型随机变量的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望和方差计算公式的合理运用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、或.【解析】分析：由题设，求导得到直线 然后分和两种情况讨论即可得到直线

11、的方程.详解：由题设，求导即，则直线当时，验证符合题意，此时 ，故 ，当时， ，或（重合，舍去）此时，故点睛：本题考查曲线的切线方程的求法，垂直关系的斜率表示等，属基础题.14、【解析】设，则，则应填答案。15、70.【解析】试题分析：设的展开式中含的项为第项，则由通项知令，解得，的展开式中的系数为考点：二项式定理16、【解析】根据圆和椭圆的参数方程可假设出点坐标；根据共线、共线可得坐标；写出向量后，根据向量数量积运算法则可求得，从而可知当时，取得最小值，代入求得结果.【详解】由题意可设：，则，同理可得：当时，本题正确结果：【点睛】本题考查向量数量积的最值的求解问题，关键是能够灵活应用圆和椭圆

12、的参数方程的形式，表示出所需的点的坐标，从而将问题转化为三角函数最值的求解问题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）;（2）.【解析】（1）依题意，利用矩阵变换求得，再利用矩阵乘法的性质可求得答案（2）根据特征多项式的一个零点为3，可得的值，即可求得矩阵，运用对角化矩阵，求得所求矩阵【详解】（1）解：，又，（2）解：矩阵的特征多项式为，可得，解得，即为.由可得， 当时，由，即，即，取，可得属于3的一个特征向量为；当时，由，即，即，取，可得属于的一个特征向量为.设，则，【点睛】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，考查了特征值与特征向量，考查了矩阵的乘

13、方的计算的知识.18、（）,；（）.【解析】分析：（）利用椭圆的几何性质求椭圆的焦距及离心率. （）设（，），先求出四边形面积的表达式，再利用基本不等式求它的最大值.（）在椭圆：中，所以，故椭圆的焦距为，离心率（）设（，），则，故所以，所以，又，故因此由，得，即，所以，当且仅当，即，时等号成立.点睛：本题的关键在于求此的表达式和化简，由于四边形是不规则的图形，所以用割补法求其面积，其面积求出来之后，又要利用已知条件将其化简为，再利用基本不等式求其最小值.19、（1）分；（2）；（3）见解析.【解析】（1）分别估算分得分、分得分和罚球得分，加和得到结果；（2）分别计算各节能投中分球的概率，相乘得

14、到所求概率；（3）确定所有可能取值为，分别计算每个取值对应的概率，从而得到分布列；利用数学期望计算公式求得期望.【详解】（1）估计该球员分得分为：分；分得分为：分；罚球得分为：分估计该球员在这场比赛中的得分为：分（2）第一节和第三节能投中分球的概率为：第二节和第四节能投中分球的概率为：四节都能投中分球的概率为：（3）由题意可知，所有可能的取值为：则；的分布列为：数学期望【点睛】本题考查概率分布的综合应用问题，涉及到积事件概率的求解、二项分布概率的应用、离散型随机变量的分布列和数学期望的求解，考查学生的运算和求解能力，属于常考题型.20、（1）（2）【解析】分析：（1）利用项和公式求出数列的通项

15、公式.(2)先化简得，再利用裂项相消法求数列的前项和.详解： (1)由得，当时， ，即，又，当时符合上式，所以通项公式为. (2)由（1）可知.点睛：（1）本题主要考查数列通项的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2) 类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.21、（1）（2）【解析】本试题主要是考查了导数的几何意义，两条直线的位置关系，平行和垂直的运用以及直线方程的求解的综合运用首先根据已知条件，利用导数定义，得到点P3的坐标，然后利用，设出方程为x+2y+c=3,根据直线过点P3得到结论解：（1）由y=x3+x-2，得y=3x2+1，由已知得3x2+1=2，解之得x=1当x=1时，y=3；当x=-1时，y=-2又点P3在第三象限，切点P3的坐标为（-1，-2）；（2）直线 ll1