高等代数教学笔记3：行列式l+II

1、高等代数教学笔记3:行列式I1994年，一个叫夏侯惇,呃 不,Sheldon的人（不知道是不是“生活大 爆炸”里的那位）,写了一篇文章,题目是Down with determinant, 后来发展 成一本书Lin ear algebra done right .他抛弃了行列式这个概念，把高等 代数的内容重新写了一遍，最后一章才给出行列式的定义理由是很多书上的 行列式定义不自然，并且高等代数的大部分内容不需要行列式也可以讲.这至 少给了我们两点启迪：一是行列式的定义应该尽可能自然地引入，二是在学习 高等代数的时候我们可以使用行列式，不过随时需要考虑一下，不用行列式如 何得到类似的结论.不过，我个

2、人还是喜欢讲行列式.首先，行列式具有传奇色彩，它是日本数学家关孝和在1683年首先提出，十 年后德国数学家Leibniz又独立提出的.有趣的是，有证据表明，关孝和当时已经有了微积分的思想，这与Leibniz 以及Newton不谋而合.看起来，代数 和分析是有千丝万缕的联系的，实际上也是这样，比如分析中做变量替换就涉 及到Jacobi行列式，而前文提到的多项式的导数却是从微积分里来的.其次，行列式的概念还是非常有用的，涉及到代数中的解方程组，分析中的 Jacobi行列式，几何中的平行四边形和平行六面体体积，外代数的最高次外积 群表示论的导火线群行列式等等.最重要的是，行列式作为一个数学对象，本身

3、没有太复杂的理论背景，它的提 出和探索过程很有启发性，这是数学家们进行数学研究或者数据处理的一个典 范,启发我们怎么从一堆纷繁复杂的数据中找出有用的信息.或许，如今热门的大数据学科可以给被Sheldon打倒的行列式正个名，把其发现者关孝和与 Leibniz奉为大数据的祖师爷.二、三阶行列式行列式是从线性方程组求解中发展出来的，所以初学者必须自己动手算一算以 下的几个问题.我每次讲的时候都会花挺长时间展示如下的二元、三元一次方程组的求解过程，不厌其烦地展示其中的细节，希望学生们能从中得到启发，理 解行列式为什么会被提出.不过效果并不太理想，因为不少学生并不在乎问题 的起源，也不耐烦从繁琐的计算过

4、程中寻找有用的线索，而这其中不乏一些刻 苦用功而事倍功半的学生.问题1判断二元一次线性方程组filial + ai22 b* a211 + a筮戈2 =诞何时有唯一解，并求解的表达式.这个问题自然很简单，不过它的解答蕴含着规律，数学研究在很大程度上都是 在探索规律.中学生就可以尝试做一做的，毕竟我们没必要每次遇到二元一次 方程组时都用消元法求解.实际上，三十多年前的中学课本上是有求解公式的 我们需要引入一个很关键的记号一一二阶行列式，即11 a12=1122 一 01221-2l 卫22利用二阶行列式可以把解写得非常整齐，推理完了可以好好欣赏一下其中展现 的数学之美如果不觉得解的表达式漂亮，可

5、能是没有把解写得很对称，可以 调整一下，当然更可能是审美观念的问题.为了找到一般规律，我们需要再研究一下三元一次方程组其实很多很漂亮的 结论并不是一开始就被想到，大部分是经过了长期的摸索，删繁就简，去伪存 真后才得到现在的样子这个过程常常被忽略，但对于初学者还是应该走一走 问题2解三元一次线性方程组r111 + 122 + L33 =几fl.21 1 + 22：厂2 +。23兀3 二蚀：1為说1 + 口32亦 + 知血3 = 加*在有唯一解的情况下求出解的表达式 可以利用二元情形的结论，把看作已知的，利用后两个方程求出（用 二阶行列式来表达）,再代入第一个方程解出1 .在这个过程中尽量保持二阶

6、行列式，不要展开这个过程很简单，但是会启发我们定义三阶行列式为11 12 (l 1321 22 23 伽11 12 (l 1321 22 23 伽1細2 22 23如1一杠12化阳21隹 31 a33+ 1321 22这样就得到了以及-的非常漂亮的表达式，同样值得好好欣赏，因为这时候可以看出规律性越来越明显 需要注意的是，在这个过程中需要处理二阶行列式，比如022 b? 7-102122-22J121*32T|a：ji竝21Ki如1z LI b2口22+叭32伽1这里蕴含了行列式计算的拆项、提取系数、交换行列等几大法宝 ：(1) 一个行列式可以拆成两个行列式；(2)行列式的一列的共同倍数可以提

7、出来；(3)两列互换，行列式变号.类似地，也可以用前两个方程或第一、三个方程来求解，这样会得到行列式的其 他两种定义，分别是按照第二行或第三行定义的n阶行列式：按第一行展开和完全展开三阶行列式是通过二阶行列式来定义的，涉及的二阶行列式都是这个三阶行列 式去掉一行一列之后得到的.为了方便，我们把去掉第i行第j列后得到的 行列式记为叽,称为元素灯 的余子式,于是三阶行列式可以简记为Mu a 12/12 十 1313 -很自然地想到：对于一般的含n个未知量n个方程的线性方程组，如果存在 唯一解，则可以通过定义行列式来求解我们把线性方程组的系数排列成矩形32* 必2122 *湖g 1如2称为n阶方阵，

8、记为A.以后会考虑行数和列数不相等的矩阵.方阵A的n 阶行列式记为|A|,可以按照三阶情形推广如下.定义3(行列式按第一行展开)月I =如1人11 一 1212 + (-仏.上述行列式的定义只是一个递推关系，我们有必要了解一下其通项公式，这就 需要把行列式完全展开我们还是要从三阶行列式看起问题4三阶行列式的完全展开式为印 1 12_十 122331 + 132132口21a23=*a 1102332 一 12a21ft33 一31 13 =川31|或其倍数即可！但是不要直接验证，而是探索一下这个结论是怎么得到的 进一步有问题12血 1（IT1 血：3 =11 + G2込 1 + 旧1 人3伽I

9、 口:詡33这个等式表明，三阶行列式的行与列有对称性！于是可以看出行列式有第三种 定义方式：问题13 （行列式按第一列展开）n阶行列式可以定义为fliiMii Q21A/2 4+ （】）一匕订Ahi,或者llAn + Q21 宜21 Hh-这个定义预示着行列式的行列地位是相当的，直接证明它与前两个定义的等价 性并不容易，需要注意到如下问题，用完全展开式可以很容易证明 问题14转置（所有的行与列互换）不改变行列式.行列式的几何意义有一件与行列式相关的非常值得做的事情，详情可以参考我参编的高代代数与 解析几何一书问题15平面直角坐标系中，给定平面矢量 =（珈盹）,B （如T求a与B的夹角；（由此可

10、以自然引出平面矢量的内积的定义）（2）求 a与B张成的平行四边形面积（行列式与面积）问题问题3.33计算行列式题题3.32计算行列式:这个过程推广到三维有 问题16给定立体空间的矢量0 = 31+叼卫必 0 =（小加谕 丁=（粗，勺33）求a , B的夹角；（空间矢量的内积） 求a , B张成的平行四边形面积；（空间矢量的外积）（3）求a , B , 丫张 成的平行六面体体积（行列式、混合积与体积）高等代数教学笔记3:行列式II行列式的计算（II）现在我们可以看一些典型行列式的计算了行列式的计算除了使用前面提到的完全展开、按某一行（列）展开、按某些行（列）展开以及行列初等变换的几个 性质，常见

11、的行列式计算技巧有递推关系、拆项（把某一行或列拆开为两行（列）、镶边（增加一行一列把行列式化成高一阶的），很多书上都有相关例题 不再赘述.这里仅选择几个有背景的行列式的计算.前文提到了 Vandermonde行列式,它在Lagrange插值公式中有应用.以后我 们会发现，Vandermonde行列式还有另一个作用：我们可以随心所欲写下任意 阶数的非零行列式，当然这样的行列式不能是简单的对角形或上、下三角形的.Vandermonde行列式的计算有不同的方法，其中之一是把它看成一个多元多项 式，利用行列式的性质去寻找这个多项式的公因式.类似的方法可以用在很多 地方.我们举几个例子.先看一个简单的.

12、x a a丄1V yax a；(2)zaya a XzzX7l行列式(1)很典型,(2)是其众多变形之一 .(1)的计算方法也很多：行列变 换、拆项、镶边等等当然也可以用多项式的方法：容易看出来行列式是一个一 元n次首一多项式f(x),而f(a) = 0,因此x - a是f(x)的一个根.以后学到矩 阵的秩的时候,我们很容易看出a是f(x)的至少n - 1重根，这一点现在也可 以得到，只要利用多项式的导数即可.在这里就需要知道，对行列式求导实际上 是对每列(或行)分别求导得到n个行列式，再把它们加起来就行.这就说明x -a是f(x)的(至少)n - 1因式.n次多项式最多有n个根，于是需要求出

13、最 后一个根.一种方法是把其他行都加到第一行就可以得到-(n - 1)a也是f(x)的根；另一种方法是利用Vieta定理，所有根的和是f(x)的n - 1项系数的相反数，而此时这个系数为0(为什么?).这里又蕴含了矩阵的另一个重要概念一一迹,也就是对角元素的和，学到相关概念时再回头看看，可以达到温故知新的功 效.像上述问题中这样的对角线上有未知量、其他位置都是常数的行列式我们会经常遇到，这就是后面要着重研究的矩阵的特征行列式(特征多项式).比如前面已经提到过的I0X!Iao*+ a口一1 + * + 盘0 1 x H-1978年，中科院的一道高等代数考研试题与如下的行列式问题本质上是一样的 这

14、也是许以超先生的书上的习题.问题问题3.35 （循环矩阵的行列式）求x + n n1 x n 2 n + 12n _ 4 n + 2 TOC o 1-5 h z t*f- v*A HYPERLINK l bookmark32 o Current Document n I x n + 2-1n x n这个复杂的行列式的结果出人意料的简单：.的确可以通过一些行列 变换把这个行列式降阶从而找到规律不过，这样生硬的计算方式会把这个问 题的神奇的背景掩盖了 ！这个问题实际上与Lie代数有关，去掉对角线上的x 所得的矩阵实际上是一个幕零矩阵，也就是它的n次方（矩阵乘法）是零.当 然不能直接验证,巧妙的方式

15、是要用到Lie代数的运算：A,B = AB -BA,这 里A,B都是n阶方阵.还有很多的行列式与群论有关，比如下面的两个例子问题3.34证明：切 372X X4 X3（IC1 + 砂 + 厲4）（巧 + 砂-忑3 ；巾:l：4 T1 X2（旳_现+ Xa 砌”卫_切一叼+ .I比4叼上述四阶行列式竟然可以分解成一次因式的乘积，这本身就是一件值得玩味的事.实际上它与Klein群有关系.熟悉一点群论的应该知道，四阶群一共有两 种，另一种是循环群.更一般地有任意n阶循环群，与之相关的行列式如下.n忑兀一1 X2:rj3父3i富2巧* X4fl加一 11岛_2A Xl上述行列式有一个因式是明显的：忑1

16、 +2 + 八+足小这可以通过把其他行加到第一行得到.关键在于寻找其他的因式，我们也可以 把其他行的倍数加到第一行，比如第二行的$2倍，第n行的$斤倍 加到第一行去.我们只看第一行的前两项：于是取2为n次单位根即可,而2 = I是我们已经用过的.这样我们就 可以得到了 n个不同的一次因式，它们的乘积自然也是原行列式的因式 （需要 多元多项式的因式分解的存在唯一性）.再比较一下次数和首项系数即可.这个复杂但又有规律的行列式竟然也可以写成一次因式的乘积，这也是值得玩味的.后面我们还可以用矩阵乘法（矩阵相似）的观点再来看这个问题. 感 兴趣的读者还可以试一试计算如下行列式.问题3.36计算：$3兀2

17、Xl5=2Xi5X4_=2:J?61*2広3氏6兀4忑3上述三个行列式加在一起就是一道通向有限群表示论的桥梁 问题3.37计算n阶 Cauchy行列式11一 1也1+切11+2111化1+论 102+61t*“ 2+血T*fl1*1. 1知+6知+旣如 +in（没找到原文，所以不知道这个行列式是Cauchy在1841年的书中提到的Cauchy考虑这个行列式的背景），在Euclid 空间中会出现其中的对称情形 （丄=.这个行列式看起来复杂,计算难度却不大,只要作一作初等变 换，把任意两行减一减就会发现公因式了 .我们也可以用多元多项式的观点看：首先每行通分，把分母提到行列式外面,余下的行列式就是一个多元多项式.再注意到% 巧或机=场（i，丰力时行列式都是,于是切一 5与仰是 这个2n元的行列式的因式.从而n （切一為）（切一）1是行列式的因式，比较一下次数，再加上分母就能得到结果了 .不过，这里值得停一下：Cauchy行列式似乎与两个Vandermonde行列式有关， 实际上是