高一数竞整数的进位制及其应用

1、 有同理(2004)10 (3274)8 210 438 28 78 2足求满abc abc有同理(2004)10 (3274)8 210 438 28 78 2足求满abc abc)3数三位的所有abc. 8（198）于解：由100 abc 999，则100 (abc)3 999，从而5 abc 9当abc 5时53 125 (125)3当abc 6时63 216 (216)3当abc 7时73 343 (343)3当abc 8时83 512 (512)3当abc 9时93 729 (729)32. 例3 数字个位（即过来序颠倒字顺的数位数个四果将这如同.字相位数与百位数字的个它数，四位一个

2、为的差所得数，去原新数减的所得，.数四位来的求原2，781）互换数字与百位数字十位换，字互千位 9（197 ）字、位数的千该数解：设百位数为分别数字十位字、x, y, z ，原数103x102y10z y 数的新颠倒后103y102z10y x 得由:2781999y x) 90(z 即868111yx10(z y) 102yx10(z yy x) 比较式两端yx8zxxy x8 9，又数字百位显然y 9数四位由于原 千 能0所所以y9x 1z x67以原位9. 例4递增数列4 形 ： 一（正4它成， 3幂3学数） 试题第3方a 30,a 3 ,自形进表,a 32 3 ,a 32 31 30,

3、127易数其项发现 数 即1 202 21,3 21 204 225 22 20,6 22 2,7 22 21 20由于001(1100100)2 2 2 所以原数列的第 10036 35 32 98151987b所以原数列的第 10036 35 32 98151987bxyzxyz 1987试确定所有可能xyz和b. （1987加拿大数学竞赛试题解：xb2 yb z 1987x y z 25，从而x(b2 1 y(b1) 162即(b1)(b1)x y1962 232 109由b10知b19.由1962b21,知b 196345,故9b145又因为1962232 10912约数，分别为 所以

4、b118，从而b 19又由1987519291911,x5y 9z例 6设n是五位数（第一个数码不是零m是由n取消它的中间一个数码后所成的四位数，试确切n 使是整数. （第 3届加拿大数学竞赛试题m解：设nxyzuv x104 y103 z102 u10vxyzuv0,1,2,9xnm xyuv x103 y102 u10vn而k m即80u 8v 103x102 y 102z 即102 z 103 x 102 y 102u 10v，这显然也是正确的. 于是9m n 11m，即9 k 11，又因为k 是整数，从而k 10 ； z102 90u9v 9(10v，而9|102z10知 z 9t(t 为正整数从而t102 10u v，显然t u v 0，因而推得n xyz00 N103其中10 N 997若n1,2,100且n是其各位数字和的倍数，这样的n有多少个？（2004昌竞赛试题 （1）若n为