微专题一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)-上海市 2021-2022高一上学期期中复习数学讲义

1、1 21 21 21 21 12 用视角：将零散的知识，系化网络化1 21 21 21 21 12 微专题：元二次方程 根与系数的关系（韦达定理） 【题根系的系韦达定理）：如果一元二次方程 axbx ( a (0) 的数根分别为： ，由解方程的公式法得： b ac， x a a； 那么可推得 x , x ；是一元二次方程根与系数的关系； 【例例 、知关于 x 的元二次方程 23)20 有个不相等的实数根 x ，x ； 1（1求 k 的值范围；（2）若 1求 k 的；x 例 、于 x 的一元二次方程 2(3)x2（1证明：方程总有两个不相等的实数根；（2设这个方程的两个实根为 ， ， ，求 m

2、的值及方程的根例 、知 m21，n2n1，且 的为_第1页 1 1 1 21 1 1 1 2 1 1 2 1 21 1 1 1 21 1 1 1 2 1 1 2 1 21 2 21 1 21 2【纳一二方根系的系十世的国学韦发，所通把定称“韦达理；定：果元次程 b cbx0(a0)的个为 x ， ，那： ，x x .说：用与数关求，熟掌以等变： 1 x2 )2 x ， ， x )2 )24x ， 1 1 2 1 2 x x x 1 1 | ( ) 2 x 2|， x2x2 x ( x )，3 x x (x x )等；【特别说明】在今后的解题过程，如果仅仅由韦达定理解题时，必须考虑到根的判别式

3、否大于或大于零； 因为，韦达定理成立的前提是一二次方程 实数根；【时习知关于 的元二次方程 m 1 ( 有个相等的实数根 x .若 4m 的是 ) xA2 B1 1 D不存在、知 x ，x 是于 的元次方程 2xa0 的个实数根，且 xx，则 a、 a， 是方程 xx2 022 的个实数根，则 a2b 的为、知关于的一元二次方程 mx x 12有两个不相等的实数根；（1求 m 的值范围；（2当方程一个根为 时求 m 的以及方程的另一个根、知关于 的一元二次方程 x ，（1若方程有两个相等的实数根，求 m的值；2若方程两实数根之积等于 mm ，求 m 的第2页1 21 21 21 2 1 1 1

4、 21 12 3 51 21 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 21 21 21 2 1 1 1 21 12 3 51 21 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 21 2 微专题：元二次方程 根系数的关系（韦达定理）【题根系的系韦达定理）：如果一元二次方程 axbx ( a (0) 的数根分别为： ，由解方程的公式法得： b ac， x a a； 那么可推得 x , x ；是一元二次方程根与系数的关系； 【例例 、知关于 x 的元二次方程 23)20 有个不相等的实数根 x ，x ； 1（1求 k 的值范围；（2）若 1求 k 的；x 【示注：先过别确参的值围【析（1）题

5、 (2k3)40解得 k ，所以 的取范围 ； 1 x k（2）题， ， x 2，所， 11 x x 解 k ，k ，因 ，所，；1 2 4【说明】一元二次方程的根与系关系：首先，通过判别式保证有根，然后，根与系数关系再结代数变换。 例 、于 x 的一元二次方程 2(3)x2（1证明：方程总有两个不相等的实数根；（2设这个方程的两个实根为 ， ， ，求 m 的值及方程的根【示注：与数系代变的汇【析（1）证明一二方 x3)x2，因，a，(3m，2所，b24ac)2 .所， 成，则程有个相的数c （2）为x 2， x m，且x | ，以x ， 异， ， 0 ，上式简 x 2，m3， ，方化 210

6、，解得 x 1 ，x 1 2若 x ， ，式简( x 2 ，即 m5，方程为 xx，解 x ，x 26.第3页n n n n n n n 1 1 1 21 1 1 1 21 1 2 1 1 2 1 21 2 21 1 21 2 n n n n n n n 1 1 1 21 1 1 1 21 1 2 1 1 2 1 21 2 21 1 21 2 1 21 21 2【说明】在保证有根并且确定根系数关系基础上，要根据题设与代数变换特点“挖掘与发现”含条件；例 、知 m2m1，n210，且 的为【示由设虑整计”【案； 1 1 2【析由知n0则 1 0即 ， 1 又 m2m10， ，即 m ，所 m，

7、是程 x 的两根则 m ；故mn1 m1 21；【说明】对于“多”参数或字母计算；先化简后求值、整体计算往往是“切入点”；当然，本中结合“构造” 根与系数关系解之，是“亮点”【纳一二方根系的系十世的国学韦发，所通把定称“韦达理；定：果元次程 b cbx0(a0)的个为 x ， ，那： ，x x .说：用与数关求，熟掌以等变： 1 x2 )2 x ， ， x )2 1 1 2 1 2 x x x 1 )4 ，| 1 2( x ) 1 22 1 |， x2x2 x ( x )，3 x x (x x )等；【特别说明】在今后的解题过程，如果仅仅由韦达定理解题时，必须考虑到根的判别式 否大于或大于零；

8、 因为，韦达定理成立的前提是一二次方程 实数根；【时习知关于 的元二次方程 m 1 ( 有个相等的实数根 x .若 4m 的是 ) xA2 B1 1 D不存在 【案A；0，【析由知 m4 4 0，解 且 0.m2m 1 1 m ，x ， m，m 或1.，2. 1 m 1 2 4 x x 1、知 x ，x 是于 的元次方程 2xa0 的个实数根，且 xx 【案，则 a第4页1 1 21 2 1 1 21 21 2 用视角：将零散的知识，系化网络化1 1 21 2 1 1 21 21 2 【析由知 ， x ，2x2(x 10， 2，x 2x )x 254a4，、 a， 是方程 xx2 022 的个实数根，则 a2b 的为【案2 021【析由知，2a 0，a22aaa 12 、知关于 x 一元二次方程 mx2 x 12有两个不相等的实数根；（1求 m 的值范围；（2当方程一个根为 时求 m 的以及方程的另一个根【案（1） 且 （） m ，程另个为 【析（）题得 m m ， ，得 m 且 ；（2）方一根 1 代方 mx2 x 12 得： ，得 m ，设一根 ，据达理得a 2 5 2，得 15，方的一根 、知关于 的元二次方程 ，（1若方程有两个相等的实数根，求 m 的；）若方程两实数根之积等 m ， 的【案（1） m ；）4【析（1）程两等根则