(易错题)高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》检测

1、 x 1 ln x 1 ln 一、选题1设函数 的导函数为g 图象大致是（ ）ABC2已知 与 Q 分为函数 |的最小值为（ ） 与数 y 2ln 的图象上一点，则线段AB 5C 3若直线 l 与曲线 = 和 +=15都相切，则 的方程为（ ）A=2x =2x+12C12x=1 1+2 24已知函数f ( ) x 3 的图像关于点对称，曲线 f ( x )在点 处的切线过点，设曲线 f ( x )在 处的切线的倾斜角为 ，的值为（ ）A6 24B C 5105下列函数求导： xlog e ； log x 3； ex； ； 为（ ） A B C D6已知函数f ( ) x x x ，点( f x

2、 、 ( x f ( x 2 2为函数f x)图象上两点，且过两点的切线互相垂直，若 ，则x 2 的最小值为（ ）A1BC 7设 R，函数f 为奇函数，曲线 f 的一条切线的切点的纵坐标是 ，该切线方程为（ ）A x y B2x y C x y 4 x 2 2 8曲线f ( ) 5x 3 x 2在点 处的切线的倾斜角为 )A135B135 C 9已知函数 f x x , x 0,（ R），若方程f 恰有 个不同的x 根，则 的取值范围是 )A( B( C( ( 10曲线 3+2 在点 A 处切线方程为 x，点 在直线 mx+（其中 m，）上，则（ ） A+7nC+13B+n 或 m+1311知

3、曲线f 点 处的切线与直线 y 垂直，则实数 的为（ ）A-4 B-1 C D12函数 f 导， 小关系是（ ）的大Af Bf Cf 确定二、填题13义：如果函数y f 1 2 1 满足f1f f ， f b ，则称函数y f 是在区间的一个双中值函数已知函f 65是区间，则实数t的取值范围是_.14线 与f ( x ) ln x 的图象相切，则的值为_.15曲线 xn *在点处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ，log2019x 12019x 22019x log32019x2018的值为_.16知函数f ( x 2 ，则过原点且与曲线 f 相切的直线方程为_.若直线与曲线 （ 是然对数的底数

4、）相切，则实数_.18直线y 是曲线y 的一条切线，则实数b的值是_.19数f x 的图象在 处的切线方程为_.20函数f ，曲线y gx在点 1处的切线方程为a a 三、解题，则曲线y f 21f a ， f .且程f 有两个相等的实.（） y(x)的达式；（） y(x)的象与两坐标轴所围成图形的面.22函数 e x（ 为数.（） ，求曲线 f ( x在 的切线方程；（）函数f x，求实数 的取值范围，并判断 x 是 f .23知函数f ( ) 3ax2 ，曲线 f ( x在 处切线方程为y .（）函数f x)的解析式；（） f ( x在区间上的极值24数f （）函数f ( )在点处的切线过

5、点，求 a 的；（）不等式f ( 在定义域上恒成立，求 的取值范围25知函数f xax ax 存在两条垂直于 y 的切线，求实数 的值范围；若 且 g x ， 1 0等式1 0恒成立，求实数 的值范围 26知函数 f ( x3 （）曲线 f ( x在点 (1, ) 处切线与 x 轴和 y 轴成的三角形面积； （）过点 (2, ) 可三条不同直线与线 f ( x相切，求实数 的取值范围【参考答案】*试卷处理标记，请不要除一选题1Dk k 解析：【分析】求出导函数g ( x )，然后研究 ( )的性质，用排除法确定正确选项【详解】因为 所 f 3 ，以 3，所以函数g 是奇函数，其图象关于原点成中

6、心对称，而函数g为偶函数，其图象关于 轴称，所以选项 ，C 错误；又因为其图象过原点，所以选项 A 错误故选：【点睛】本题考查导数的运算，考查由函数解析式选择函数图象，解题时可根据解析式确定函数的 性质，利用排除法得出正确选项2C解析：【分析】求出函数y x 的图象上与直线 y 0平行的切线方程，由两平行线间距离公式可得结论 【详解】由y 得 y2x，令y2 得 ， x ，函数y x 的图象在点 (1,2) 处切线方程为y 2( ， 2 x y 0，直线 x y 0 与线 2 x y 0间的距离为 2 线段| 的最小值为 5故选：【点睛】本题考查直线与函数图象上点间距离的最小值，解题关键是掌握

7、转化与化归思想，转化为 求函数图象的切线，求两平行线间的距离3D解析：【分析】根据导数的几何意义设出直线l的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答.【详解】设直线 l 在曲线 y x上的切点为 0 ，函数 x的导数为y12 x，则直线l的斜率 ， x0 0 设直线 l 的方程为y x 0 x0 x 0，即x y 0，由于直线 l 与圆22x 1 相切，则 ， x 0两边平方并整理得 2 ，解得 x ， 0（舍），则直线l的方程为 y ，即 x .故选：【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档. 4C解析：【分析】由题意可得f ( x) ( 对任意x 恒成立

8、，可得 ，c ，根据导数的几何意义可得在点 处切线的斜率，进而可求出在点 处切线的方程，将点代入切线的方程即可求出b，进而可求出tan，再利用诱导公式及同角三角函数关系，即可到答案 【详解】因为函数f ( ) x3 ax 2 的图像关于点对称，所以f ( f ( ) 4对任意x 恒成立，即 x 2 对意 R 恒立，即 ax 对意 恒成立，所以 ， ，所以f ( x) x3 bx ，以 f ，所以函数f ( )在 处的切线的斜率k f ， f (1) ，所以切线的方程为y ) (3 ，又切线过点，所以7 (3 ) )(2 ，得 b 12，所以函数f ( ) 在 处切线的斜率k f ，所以 12，

9、所以 sin5 ，5所以 sin(3 sin 1 2 故选： 【点睛】 x ln x2 1 1 x ln x2 1 1 2 1 1 2 1 2 本题考查函数的对称中心方程应用，导数的几何意义及在一点处的切线的方程，同时考查 诱导公式和同角基本关系，属于中档题5B解析：【分析】根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断【详解】 2 ，故错 log x ln ，故正 x，故正 1，故错 ，误故选：【点睛】本题考查的是导数的计算，较简. 6A解析：【分析】根据题意，对函数求导，且过两点的切线互相垂直，则有f ) ) ，构造 x 1 x 2根据基本不等式，即可求解最.【详解】f x x ，过1

10、两点的切线互相垂直， 2， 2 2， x x 2，当且仅当 1 2， 1 即 x x 时等号成立， x 的最小值为1 .3 2 2 3 2 2 故选： A【点睛】本题考查导数几何意义和基本不等式求最值问题，考查转化与化归思想，属于中等题 7A解析：【分析】根据奇函数的定义先求得 【详解】a 的值，再利用导数的几何意义求得切线方.因为函数f 是奇函数，所以f 对一切x R恒成立，所以 e 对一切x 恒成立，所以对一切 恒立，所以a ，解得a ，所以f x，所以f .因为曲线 f的一条切线的切点的纵坐标是 ，所以令f ，解得 .所以曲线 f 的这条切线的切点的坐标为 切线的斜率为f .故曲线y 的

11、这条切线方程为y 0.故选：【点睛】本题考查函数的奇偶性、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻 辑推理能力和运算求解能力，求解时注意涉及切线问题时，要先明确切点坐8B解析：【解析】【分析】利用导数求出切线的斜率f，再根据斜率的值求出切线的倾斜角【详解】f x ， x 3， ，所以，所求切线的斜率为 因，曲线y f 处的切线的倾斜角为 ，故选 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线的倾斜角与斜率之间的关系，利用导数求切线的倾斜 角，把握两个基本点；（）线的斜等于导函数在切点处的导数值；（）倾斜角为直角时，直线倾斜角的正切值等于直线的斜率 9B解析：【分析】由题意可知，当 x

12、 时显然方程有一个根，问题转化为当x 时，e 有 2 个根，即y 与y ) 的图象有 2 个交点，求出特殊位置相切时斜率即可求.【详解】当 x 时，f 即为 ，即x ，所以方程有 1 根又方程f 恰有 个不同的根所以当 ， f 有 个，即x ) x有 2 个，所以y 与y ) x的图象有 2 个交点，设过原点与 y x 相的直线切点为( , x )，则切线斜率k f ) 0 x ex x 0，解得 ，所以k ，所以y ) x与y x 有 2 个点则需 2 ，即a ，故选：【点睛】本题主要考查了函数与方程，由方程根的个数求参数，直线与曲线相切，属于中档. 10解析：【分析】设 t ), y x3

13、 x 2 的数 y x，可得切线的斜率为 3 2 x ，后根据切线方程尽量关于 t 的程组，再结合条件，即可求得 m 的关，得到答案 【详解】设 t ), y x3 x 2 的数 y x，可得切线的斜率为 x x ，又由切线方程为y ，所以3 t x3 2 ，在 2 在 2 解得x t ，因为点 A在直线 ny 上，所以m ，故选 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，利用切线方程 列出相应的方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题 11解析：【分析】先求出f 在点 处的切线斜率，然后利用两直线垂直的条件可求出 的值.【详解】由题意，f

14、， f，则曲线 f 在点 处的切线斜率为 ，由于切线与直线 y 垂，则 ，解得 .故选 C.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了两直线垂直的性质，考查了计算能力，属于基础 12解析：【分析】对f 求导，令 x 可出f，从而可得到 ，然后利用二次函数的单调性可比较出 【详解】f 的大小关系由题意，则 ，由二次函数性质可知，函数f 上单调递增，因为 a2 ，以 2 f ，故答案为 A.【点睛】本题考查了导数的计算，考查了函数单调性的应用，考查了学生的计算能力，属于中档. 二、填题13【分析】根据题目给出的定义可得即方程在区间有两个解结合二次函数的 图象和性质可构造关于的不等式组求解可得的取值范

15、围【详解】因为在区间存 在满足方程在区间有两个不相等的解令则解得：故答案为：【点睛】关键点6 6 解析： 【分析】根据题目给出的定义可得 f 1 2f t t 5，即方程3 12 6 x 2 t5 5在区间有两个解，结合二次函数的图象和性质可构造关于t的不等式组，求解可得 a 的取值范围 【详解】因为f 365x2，f2 在区间 ， 1 2 2满足 f1 2f 6 2 t t 方 3x12 x 2 t5 5在区间有两个不相等的解令 2 6 x 2 t ， 144 6 t 25 0 则 6g t 5 t 5 6 故答案为： ，解得： 【点睛】关键点点睛：本题主要考查新定义的运算问题，关键是能够通

16、过定义将问题转化为方程在 区间内根的个数问题，从而可以根据二次函数的图像与性质，构造出不等关系，从而可求 得结果14【分析】设切点坐标为求导数由切线斜率得的关系再由切点在函数图象可 求得参数值【详解】设切点为因为所以切线斜率为得又因为切点在的图象上所 以得即所以即故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义已知解析：【分析】20192019设切点坐标为( , 2 x ) 0 0，求导数，由切线斜率得a , 0的关系，再由切点在函数图象可求得参数值【详解】设切点为 0 0f a，所以切线斜率为 a 2，得x ，又因为切点在f x)的图象上，所以 a x 2 x ， 2 ln x 0 0 0

17、 0，即 ln2 a a，所以a ，即 a 2.故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，已知函数 f ( x，P x , y 0 ，导数为y ，（） P 在 f ( x图象，则函数图象过 P 点的切线方程为y ( x ) )( )；0 0 0（）求过 P 点切线方程，则诮设切点为 x f ( 1 1，写出切线方程y f ( x f 1 )( x 1 ，然后代入 P 坐标 , y 0 ，求得 ，而得切线方程 115【分析】求得函数的导数可得切线的斜率由点斜式方程可得切线方程可令 求得再由对数的运算性质可得所求值【详解】的导数为在点处的切线方程为可 令可得可得故答案为：【点睛】本题主要

18、考查导数的运用考查切线方程的求 解析 【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，可令 ，求得x，再由对数的运算性质可得所求值 【详解】 *) 的数为 x ，在点 (1,1) 处切线方程为y x ，可令 y ，得x ，可得 log log log log2019( x 1 2018) 20191 ( 2 32018 ) 2019 2019故答案为： 【点睛】本题主要考查导数的运用，考查切线方程的求法，考查对数运算，意在考查学生对这些知 识的理解掌握水平 x m16【分析】设切点坐标为利用导数求出曲线在切点的切线方程将原点代入切 线方程求出的值于此可得出所求的切线方程【详解

19、】设切点坐标为则曲线在点 处的切线方程为由于该直线过原点则得因此则过原点且与曲线相切的直线方解析： x - y 【分析】设切点坐标为2t，利用导数求出曲线 f 在切点2t的切线方程，将原点代入切线方程，求出 t 的，于此可得出所的切线方程 【详解】设切点坐标为2t，f 2 x ， f ，则曲线 f 2t处的切线方程为 2t e ，由于该直线过原点，则 t t，得 12，因此，则过原点且与曲线y 相切的直线方程为y ex，故答案为2 y 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查过点作函数图象的切线方程，求解思路是：（）设切点标，并利用导数求出切线方程；（）所过点坐标代入切线方程，求出参数的值，可得出

20、切点的坐标；（）参数的代入切线方程，可得出切线的方程17e2【解析】【分析】根据题意设切点为（求 y 的导数由导数几 何意义可得 k 即得切线方程结合切线 kx0 可得 m 从而得到 k【详解】 根据题意若直线 kxy k0 与曲线 yex 相切设切点为解析：【解析】【分析】根据题意，设切点为，m），求 的导数，由导数几何意义可得 k 即切线方程，结合切线 k 可得 m从而得到 【详解】根据题意，若直线 kx 与曲线 ye相切，设切点为m，m）曲线 yx，其导数 yx则切线的斜率 k| em，则切线的方程为 ymm（，又由 ke，则切线的方程为 y（x），即 mk+k，又由切线为 ，有m+1，

21、可得 2则 m2，故答案为：2【点睛】本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18【解析】【分析】设出切点坐标 P（x0ex0）利用导数的几何意义写出在 点 P 处的切线方程由直线 yx+b 是曲线 y 的切线根据对应项系数相等可求 出实数 b 的值【详解】 yex yex 设切点为 解析：【解析】【分析】设出切点坐标 P（ ，x），利用导数的几何意义写出点 P 处的切线方程，由直线 y + 是线 ye 的线，根据对应项系数相等可求出实数 的【详解】 yx， yex，设切点为 （ ，x）则在点 P 处的切线方程为 yeex

22、（ ）整理得 xxex ex， 直是 x 是曲线 的切线， e0， ， b故答案为 1【点睛】本题考查导数的几何意义，考查曲线在某点处的切线方程的求法，属于基础19【分析】由函数的解析式求得根据导数求得结合直线的点斜式即可求解 【详解】由题意函数可得又由可得即切线的斜率为根据直线的点斜式方程可得 即所求切线方程为故答案为：【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线方 解析 2 【分析】由函数f 的解析式，求得f ，根据导数求得 f，结合直线的点斜式，即可求解 【详解】由题意，函数f ln 可得 f ，又由fx x，可得f，即切线的斜率为 ，根据直线的点斜式方程，可得 ，即所求切线方程为 .故答案

23、为： .【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线方程的求解，其中解答中熟记导数的几何意义是解答 的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础.20【分析】由切线方程求出即可得然后求出后可得切线方程【详解】由题意0 00 0 所求切线方程为即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义函数的图 象在处的切线方程是解析：7 y 【分析】由切线方程求出g ，即可得f ，然后求出f 后可得切线方程【详解】由题意 ， g ，f (1) (1) ， g ， f ，所求切线方程为 x ，即7 x y 0 0故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，函数 y ( x ) )( )00 f ( x)的图象在( f (

24、x 0 处的切线方程是三、解题211）f ；（）【分析】（）导得到f ，得到 a b ，再根据解得答案（）接利用积分计算面积得到答. 【详解】（）f 0) ， f ，故 a ， ，方程f 有两个相等的实根，故f ， c ，故 ，故f .（）f ，则x ，故S dx 320 1 3.【点睛】本题考查了根据导数求参数，定积分求面积，意在考查学生的计算能力和应用能22y (2) 函数 的极小值点【分析】（）求出函的导函数 x x x，再求出切线的斜率 f ，由直线的点斜式方程求解即可；x （ ） f， 2 2 e xx e x （ ） f， 2 2 e xx e f （）数f 方 x 在 解，再构造

25、函数 e x x ，求其值域，则可得 a 的围，再利用导数确定 x是极大值点或者极小值点【详解】（） ， f e xx ， xe xxx ，所求切线的斜率f ，又f . f ( )y 所以曲线在处的切线方程为： . x x 又 x f fx x在 零，即方 e 在 ，即 e x与y 在 交，设函数 ，则 ， g 2单调递减，又g ；当 0 时g a 时， y e xx与 在范围内有唯一交点，不妨设交点横坐标为 x，当x ， ax ， f ，f 在 为减函数；当 时， ax ，则 f ，f 在即 x 为数 的极小值点，综上所述：a 函 f 的极小值点【点睛】本题考查了利用导数求曲线在某点处的切线

26、方程，主要考查了利用导数求函数的单调区间 及极值，重点考查了导数的应用，属中档.231）fxx （）小值为f 1 ,极值为 .【解析】【分析】（）用导数出f，由切线斜率为f，得到等式f，再将 代1 2 f 1 2 f 入切线方程，得出切点坐标，并将切点坐标代入函数y f 的解析式，得到等式，将等式联立求出 与 b 值，于此可得出函数y f 的解析式；（）函数y f 求导，求出该函数的极值点，分析函数y f 上的单调性，便可求出该函数在区间 【详解】上的极值。（）为f ( ) x3ax2 ，所以，f .所以，曲线 f ( x在 处的切线方程的斜率k f 又因为 ,所以2a 又因为f 所以 = 联

27、立得a b .所以f x .(2)由1)知f x ,令f 1 当 ,3f ,f 单调递增；当x , f f 单调递减；当 x 4,f ,f 单调递增所以f 上的极小值为f , 1 极大值为 .【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的极值，在处理直线与函数图象相切的 问题时，要把握以下两点；（）点是切与函数图象的公共点；（）函数在点出的导数值等于切线的斜率。24） ；（）【解析】e x 1 x a0 e x 1 x a0 【分析】（）出函数的导数，计算的值，得到关于 a 的程，解出即可；1（）出函数的导数，得到导函数的单调性，根据 ，x 0 0，得到关于 a 的等式，解出即可 【详解】（）fx1x ， f2 f 2 2 ， 2 2 ，整理可得12 e ，解得 ，（）题意知， ，f1x ，设h x1x ， ，故f递增，故 x a 时 ，当 x f，故f上有唯一实数根 ，当x 时，f ，当 x ，故 x 时 f 取最小值，由f