高等数学教学教案多元函数的极值及其求法2

1、9 8 多元函数的极值及其求法授课次序 59 教学课题 教学重点 参考教材双语教学教学基本指标9 7 方向导数与梯度教学方法当堂讲授,辅以多媒体教学9 8 多元函数的极值及其求法方向导数与梯度教学难点方向导数与梯度的应用同济高校编 高等数学 （第 6 版） 作业布置高等数学 标准化作业自编教材 高等数学习题课教程函数： function ；切线： tangent line ；切线方程：tangential equation ；法线： normal line ；切平面： tangent plane；法平面： normal plane ；极值： extreme values 1 懂得方向导数与梯度

2、的概念及其运算方法；课堂教学 目标2 懂得多元函数极值和条件极值的概念,把握多元函数极值存在的必要条件,3 明白二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,4 会用拉格朗日乘数法求条件极值,5 会求简洁多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简洁的应用问题；教学过程1方向导数与梯度（30min）；15min）；2多元函数极值的概念及多元函数极值存在的必要条件（3二元函数极值存在的充分条件（20min）4条件极值（ 25min）教学基本内容备注栏9 7 方向导数与梯度一、方向导数现在我们来争论函数 z fx y在一点 P 沿某一方向的变化率问题设 l 是 xOy 平面上以 P0 x0 y0为始

3、点的一条射线 el cos cos 是与 l 同方向的单位向量 射线 l 的参数方程为 x x0 t cos y y0 t cos t 0设函数 z fx y在点 P0 x0 y0的某一邻域 UP0内有定义 Px0 t cos y0 t cos 为 l 上另一点且 P UP0 假如函数增量 fx0 t cos y0 t cos fx0 y0与 P 到 P0 的距离 |PP0| t 的比值f x 0 t cos , y 0 t cos f x 0 , y 0 当 P 沿着 l 趋于 P0即 t t0 时的极限存在 就称此极限为t函 数 fx y 在 点 P0 沿 方 向 l 的 方 向 导 数

4、记 作 f即l x 0y 0 f lim f x 0 t cos , y 0 t cos f x 0 , y 0 l x 0y 0 t 0 t从方向导数的定义可知 方向导数 f 就是函数 fx y在点 P0 x0 y0处沿方向 l 的变化率l x 0y 0 方向导数的运算定理假如函数 z fxy在点 P0 x0y0可微分那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在且有f x0y 0fxx 0,y0cosfyx 0,y0cosl其中 cos cos 是方向 l 的方向余弦y0tcosfyx0y0tcosot所以简要证明设 x t cos y t cos 就fx0 tcosy 0 tcos fx0

5、y0 fxx0lim t 0fx 0tcos,y 0tcosfx 0 ,y 0fxx 0,y0cosfyx 0,y 0sint这就证明白方向导数的存在且其值为fx 0y0fxx0 ,y 0cosfyx 0,y 0cosl提示fx 0 x ,y 0yfx0,y0fxx 0 ,y 0 xfy x 0,y 0yo x 2y 2x t cos y t cos x 2y 2t沿 y 轴正向和负向的方向导数如何. 争论函数 z f x y在点 P 沿 x 轴正向和负向提示沿 x 轴正向时cos cos0ff xl沿 x 轴负向时cos1 cos0fflx例 1 求函数 z xe 2y在点 P1 0沿从点

6、P1 0到点 Q21的方向的方向导数对于三元函数 fx y z来说 它在空间一点 P0 x0 y0 z0沿 el cos cos cos 的方向导数为 f lim f x 0 t cos , y 0 t cos , z 0 t cos f x 0 , y 0 , z 0 l x 0 , y 0 , z 0 t 0 t假如函数 fx y z在点 x0 y0 z0可微分 就函数在该点沿着方向 el cos cos cos 的方向导数为 ffxx0 y0 z0cos fyx0 y0 z0cos f zx0 y0 z0cosl x 0 , y 0 , z 0 例 2 求 fx y z xy yz zx

7、 在点 1 1 2 沿方向 l 的方向导数 其中 l 的方向角分别为 60 4560二 梯度设函数 z fx y在平面区域 D 内具有一阶连续偏导数 就对于每一点 P0 x0 y0 D 都可确定一个向量 fxx0 y0i fyx0 y0j 这向量称为函数 fx y在点 P0 x0 y0的梯度 记作 grad fx0 y0 即grad fx0 y0 fxx0 y0i fyx0 y0j梯度与方向导数假如函数 fx y在点 P0 x0 y0可微分el cos cos 是与方向 l 同方向的单位向量就fx 0y 0fx x 0,y 0cosfyx 0,y 0cos grad fx0 y0 ell| g

8、rad fx0 y0| cosgrad fx0 y0 el这一关系式说明白函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间关系 特殊 当向量 el 与 gradfx0 y0的夹角 0 即沿梯度方向时 方向导数 f 取得最大值 这个最大值就是梯度的模l x 0y 0 |grad fx0 y0| 这就是说 函数在一点的梯度是个向量 它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向 它的模就等于方向导数的最大值争论 f 的最大值l结论 函数在某点的梯度是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一样 而它的模为方向导数的最大值我们知道 一般说来二元函数 z fx y在几何上表示一个曲面 这曲面被平面 z

9、cc 是常数 所截得的曲线 L 的方程为 z f x , y 这条曲线 L 在 xOy 面上的投影是一条平面曲线 L* 它在z cxOy 平面上的方程为 fx y c 对于曲线 L*上的一切点 已给函数的函数值都是 c 所以我们称平面曲线 L*为函数 z f x y的等值线如 f x f y 不同时为零 就等值线 fx y c 上任一点 P0 x0 y0处的一个单位法向量为nf x 2 x 0 , y 0 1f y 2 x 0 , y 0 f x x 0 , y 0 , f y x 0 , y 0 这说明梯度 grad fx0 y0的方向与等值线上这点的一个法线方向相同 而沿这个方向的方向导数

10、f 就等于 |grad fx0 y0|n 于是 grad f x 0 , y 0 fn n这一关系式说明白函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系 这说是说 函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同 它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线 梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数梯度概念可以推广到三元函数的情形 设函数 fx y z在空间区域 G 内具有一阶连续偏导数就对于每一点 P0 x0 y0 z0 G 都可定出一个向量fxx0 y0 z0i fyx0 y0 z0j fzx0 y0 z0k这向量称为函数fx y z在点 P0 x0 y0 z0的梯度记为 g

11、rad fx0 y0 z0即grad fx0 y0 z0 f xx0 y0 z0i fyx0 y0 z0j fzx0 y0 z0k结论三元函数的梯度也是这样一个向量它的方向与取得最大方向导数的方向一样而它的模为方向导数的最大值假如引进曲面 fx y z c 为函数的等量面的概念 就可得函数 fx y z在点 P0 x0 y0 z0的梯度的方向与过点 P0 的等量面 fx y z c 在这点的法线的一个方向相同 且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面 而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数例 3 求 gradx 2 1y 2 例 4 设 fx y z x 2 y 2 z 2求 grad f

12、1 1 2数量场与向量场 假如对于空间区域 G 内的任一点 M 都有一个确定的数量 fM 就称在这空间区域 G 内确定了一个数量场 例如温度场、密度场等 一个数量场可用一个数量函数 fM来确定 假如与点 M 相对应的是一个向量 FM 就称在这空间区域 G 内确定了一个向量场 例如力场、速度场等 一个向量场可用一个向量函数 F M来确定 而 F M PMi QMj RMk 其中 PM QM RM是点 M 的数量函数利用场的概念 我们可以说向量函数 grad fM确定了一个向量场梯度场 它是由数量场fM产生的 通常称函数 fM为这个向量场的势 而这个向量场又称为势场 必需留意 任意一个向量场不肯定

13、是势场 由于它不肯定是某个数量函数的梯度场例 5 试求数量场 m 所产生的梯度场 其中常数 m0 r x 2 y 2 z 2 为原点 O 与点 Mx yrz间的距离解x mr r m2 rx mxr 3 同理y mr myr 3 z mr mzr 3从而 grad mr r m2 r x ir y j zr k 记 e r xr ir y j zr k 它是与 OM 同方向的单位向量 就grad mr r m2 e r上式右端在力学上可说明为 位于原点 O 而质量为 m 质点对位于点 M 而质量为 l 的质点的引力 这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距平方成反比 这引力的方向由

14、点 M 指向原点 因此数量场 m 的势场即梯度场 grad m 称为引力场 而函数 m 称为引力势r r r9 8 多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值及最大值、最小值定义 设函数 z fx y在点 x0 y0的某个邻域内有定义 假如对于该邻域内任何异于 x0 y0的点x y 都有 fx yfx0 y0 就称函数在点 x0 y0有极大值 或微小值 fx0 y0极大值、微小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点例 1 函数 z 3x24y2 在点 0 0处有微小值当x y 0 0时 z 0而当 x y 0 0时 z 0因此 z 0 是函数的微小值例 2 函数zx2y 2在点 0 0处有极

15、大值因此 z 0 是函数的极大值当x y 0 0时 z 0而当 x y 0 0时 z 0例 3 函数 z xy 在点 0 0处既不取得极大值也不取得微小值由于在点 0 0处的函数值为零而在点 0 0的任一邻域内总有使函数值为正的点也有使函数值为负的点以上关于二元函数的极值概念可推广到n 元函数设 n 元函数 u fP在点 P0 的某一邻域内有定义假如对于该邻域内任何异于P0 的点 P都有fPfP 0就称函数 fP在点 P0 有极大值 或微小值 fP0定理 1必要条件 设函数 z fx y在点 x0 y0具有偏导数且在点 x0 y0处有极值就有 f xx0y0 0 fyx0 y0 0从几何上看这

16、时假如曲面z fx y在点 x0 y0 z0处有切平面就切平面z z0 fxx0 y0 x x0 f yx0 y0y y0 成为平行于 xOy 坐标面的平面 z z0类似地可推得 假如三元函数 u f x y z在点 x0 y0 z0具有偏导数 就它在点 x0 y0 z0具有极值的必要条件为 fxx0 y0 z0 0 f yx 0 y0 z0 0 fzx0 y0 z0 0仿照一元函数 凡是能使 fxx y 0 fyx y 0 同时成立的点 x0 y0称为函数 z fx y的驻点从定理 1 可知 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点 但函数的驻点不肯定是极值点 例如 函数 z xy 在点 0 0处

17、的两个偏导数都是零 函数在 0 0既不取得极大值也不取得微小值定理 2充分条件 设函数 z fx y在点 x0 y0的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数又 f xx0 y0 0 fyx0 y0 0 令 fxxx0 y0 A fxyx0 y0 B fyyx0 y0 C就 f x y在x0 y0处是否取得极值的条件如下1 AC B20 时具有极值 且当 A0 时有微小值2 AC B20 就函数具有极值 且当 fxx0时有微小值极值的求法 第一步 解方程组 fxx y 0 fyx y 0 求得一切实数解 即可得一切驻点其次步 对于每一个驻点 x0 y0 求出二阶偏导数的值 A、B 和 C第三步 定

18、出 AC B 2 的符号 按定理 2 的结论判定 fx0 y0是否是极值、 是极大值 仍是微小值例 4 求函数 fx y x 3 y 3 3x 2 3y 2 9x 的极值应留意的问题 不是驻点也可能是极值点例如 函数 z x 2 y 2 在点 0 0处有极大值 但0 0不是函数的驻点 因此 在考虑函数的极值问题时 除了考虑函数的驻点外 假如有偏导数不存在的点 那么对这些点也应当考虑最大值和最小值问题 假如 fx y在有界闭区域 D 上连续 就 fx y在 D 上必定能取得最大值和最小值 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在 D 的内部 也可能在 D 的边界上 我们假定 函数在 D 上连续、

19、在 D 内可微分且只有有限个驻点 这时假如函数在 D 的内部取得最大值最小值 那么这个最大值 最小值 也是函数的极大值 微小值 因此 求最大值和最小值的一般方法是 将函数 fx y在 D 内的全部驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较其中最大的就是最大值 最小的就是最小值 在通常遇到的实际问题中 假如依据问题的性质知道函数 fx y的最大值 最小值 肯定在 D 的内部取得 而函数在 D 内只有一个驻点 那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数 fx y在 D 上的最大值 最小值 例 5 某厂要用铁板做成一个体积为8m3 的有盖长方体水箱问当长、宽、高各取多少时才能使用料最省从这个

20、例子仍可看出 在体积肯定的长方体中 以立方体的表面积为最小例 6 有一宽为 24cm 的长方形铁板 把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽 问怎样折法才能使断面的面积最大？二、条件极值 拉格朗日乘数法对自变量有附加条件的极值称为条件极值 例如 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积问题 设长方体的三棱的长为 x y z 就体积 V xyz 又因假定表面积为 a2 所以自变量 x y z仍必需满意附加条件 2xy yz xz a2这个问题就是求函数 V xyz 在条件 2xy yz xz a 2 下的最大值问题 这是一个条件极值问题对于有些实际问题 可以把条件极值问题化为无条件极值问题

21、例如上述问题由条件 2 xy yz xz a 2 解得 z a 2 2 xy 于是得 V xy a 2 2 xy 2 x y 2 x y 只需求 V 的无条件极值问题在许多情形下将条件极值化为无条件极值并不简洁需要另一种求条件极值的专用方法这就是拉格朗日乘数法现在我们来寻求函数 z fx y在条件 x y 0 下取得极值的必要条件假如函数 z fx y在x0 y0取得所求的极值 那么有 x0 y0 0假定在 x0 y0的某一邻域内 fx y与 x y均有连续的一阶偏导数 而 yx0 y0 0 由隐函数存在定理 由方程 x y 0 确定一个连续且具有连续导数的函数 y x 将其代入目标函数 z f x y得一元函数 z f x x于是 x x0 是一元函数 z f x x的极值点 由取得极值的必要条件 有dzdx x x 0 f x x 0 , y 0 f y x 0 , y 0 dydx x x 0 0 即 f x x 0 , y 0 f y x 0 , y 0 xy xx 00 , yy 00 0从而函数 z fx y在条件