电磁场数学方法-数学物理方程课件

1、电磁场数学方法任课教师：陈其科联系方式：E_mail： 电 话：61830311总 学 时: 80课时教 材：梁昆淼，数学物理方程（第四版）成绩构成：平时20%+半期考试20%+期末考试60%第二篇 数学物理方程要想探索自然界的奥秘，就得解微分方程 -牛顿课程内容三种方程四种求解方法二个特殊函数行波法分离变量法积分变换法格林函数法波动方程热传导拉普拉斯方程贝赛尔函数勒让德函数第四章 分离变量法 第二篇 数学物理方程4.2 非齐次振动方程和输运方程4.3 非齐次边界条件的处理4.1 齐次方程的分离变数法一维弦振动方程（一维波动方程）一维传导方程二维拉普拉斯方程亥姆霍兹方程知识复习一、常见齐次微分

2、方程的解： 欧拉型方程 知识复习二、三角函数的正交性 4.1 齐次方程的分离变数法（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）无界/半无界波动方程可由达朗贝尔公式求解。齐次泛定方程边界条件初始条件 有界弦自由振动定界问题为：接下来讨论利用分离变量法求解：4.1 齐次方程的分离变数法（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）常微分方程令代入泛定方程：令第一步：分离变量：无关4.1 齐次方程的分离变数法（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）由原问题定解条件得到常微分方程定解条件：第二步：解常微分方程1、求X(x)特征(固有)值问题：含有待定常数常微分方程在一定条件下 的求解问题

3、特征(固有)值：使方程有非零解的常数值特征(固有)函数：和特征值相对应的非零解4.1 齐次方程的分离变数法（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）本征值) 考虑到 与n取值有关，故令 4.1 齐次方程的分离变数法（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）2、求T(t)03、得到分离变量形式的通解本征振动本征振动的角频率为： n =1，称为基波； n 1，称为 n 阶谐波。由叠加原理：本征振动的线性叠加仍满足泛定方程和边界条件。4.1 齐次方程的分离变数法（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）由傅里叶展开：分离变量法流程图1）分离变量2）根据边界条件求特征值和特征函数3）

4、求另一个函数4）求通解5）确定常数分离变量法求解步骤：4.1 齐次方程的分离变数法（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）例 ：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。解：4.1 齐次方程的分离变数法4.1 齐次方程的分离变数法零解，无意义！无意义！4.1 齐次方程的分离变数法4.1 齐次方程的分离变数法（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）例：一端自由的均匀杆振动问题：泛定方程:边界条件:初始条件：弦一端自由一端固定解：由分离变量法代入泛定方程，整理得4.1 齐次方程的分离变数法（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）

5、（续上例）由边界条件1） 0时，无意义！4.1 齐次方程的分离变数法（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）（续上例）4.1 齐次方程的分离变数法（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）（续上例）由初始条件：4.1 齐次方程的分离变数法（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）例：两端自由振动的自由杆定解问题：泛定方程:边界条件:初始条件：弦两端自由解：由分离变量法代入泛定方程，整理得如：磁致伸缩换能器，鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动，研究两端自由杆的自由振动。 4.1 齐次方程的分离变数法（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）（续上例

6、）由边界条件1） 0时，（续上例）4.1 齐次方程的分离变数法（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）（续上例） 线性叠加，得到通解4.1 齐次方程的分离变数法（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）（续上例）由傅里叶展开时时同理：4.1 齐次方程的分离变数法（二）有限长杆上的热传导定解问题（一维传导方程） 细杆热传导问题，初始一端温度为0，另一端为 u0 , 零的一端温度保持不变，另一端与外界绝热。 求细杆温度分布。泛定方程边界条件初始条件接下来讨论利用分离变量法求解：4.1 齐次方程的分离变数法（二）有限长杆上的热传导定解问题（一维传导方程）常微分方程令代入泛定方程：令第一

7、步：分离变量：4.1 齐次方程的分离变数法由原问题定解条件得到常微分方程定解条件：第二步：解常微分方程1、求X(x)分情况讨论：a）无意义！（二）有限长杆上的热传导定解问题（一维传导方程）c） 令 ， 为非零实数 4.1 齐次方程的分离变数法b）（二）有限长杆上的热传导定解问题（一维传导方程）无意义！4.1 齐次方程的分离变数法本征值 2、求T(t)3、得到分离变量形式的通解通解：（二）有限长杆上的热传导定解问题（一维传导方程）4.1 齐次方程的分离变数法第三步：由定解条件确定待定系数（二）有限长杆上的热传导定解问题（一维传导方程）分离变量流程图4.1 齐次方程的分离变数法（二）有限长杆上的热

8、传导定解问题（一维传导方程）令代入方程：解：4.1 齐次方程的分离变数法（二）有限长杆上的热传导定解问题（一维传导方程）例：求定解问题4.1 齐次方程的分离变数法（二）有限长杆上的热传导定解问题（一维传导方程）(续上例)先求X(x)：4.1 齐次方程的分离变数法（二）有限长杆上的热传导定解问题（一维传导方程）(续上例)4.1 齐次方程的分离变数法（二）有限长杆上的热传导定解问题（一维传导方程）(续上例)再求T(t)：写出通解：确定系数：(令 )4.1 齐次方程的分离变数法（二）有限长杆上的热传导定解问题（一维传导方程）(续上例)由三角函数正交性：令代入方程：令例：求下定解问题解：4.1 齐次方

9、程的分离变数法先求解X：4.1 齐次方程的分离变数法求解T：写出通解：4.1 齐次方程的分离变数法4.1 齐次方程的分离变数法（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）1、直角坐标系下的拉普拉斯问题解：代入方程：令由边界条件：（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）1、直角坐标系下的拉普拉斯问题4.1 齐次方程的分离变数法先求X:（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）1、直角坐标系下的拉普拉斯问题4.1 齐次方程的分离变数法再求Y:（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）1、直角坐标系下的拉普拉斯问题4.1 齐次方程的分离变数法写出通解：（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）1、直角坐标系下的拉普拉斯问题4.1

10、 齐次方程的分离变数法由边界条件定解：（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）1、直角坐标系下的拉普拉斯问题4.1 齐次方程的分离变数法解方程组，得（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）1、直角坐标系下的拉普拉斯问题4.1 齐次方程的分离变数法例：求解问题解：令 ,则原问题变为：令 （三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）1、直角坐标系下的拉普拉斯问题4.1 齐次方程的分离变数法代入方程：解X得：解Y得：写出通解： 由边界条件定解： （三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）1、直角坐标系下的拉普拉斯问题4.1 齐次方程的分离变数法（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）1、直角坐标系下的拉普拉斯问题4.1 齐次

11、方程的分离变数法（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）2、圆域内的拉普拉斯问题4.1 齐次方程的分离变数法（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）2、圆域内的拉普拉斯问题4.1 齐次方程的分离变数法将直角坐标系下拉普拉斯变换到柱坐标系下为：（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）2、圆域内的拉普拉斯问题4.1 齐次方程的分离变数法例1、均匀电场空间中，存在接地导体圆柱体，求圆柱体外电位分布u。在极坐标系下：（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）2、圆域内的拉普拉斯问题令由三角函数周期性，知 为周期为 的周期函数，即第二步：解方程第一步：分离变量4.1 齐次方程的分离变数法（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程

12、）2、圆域内的拉普拉斯问题不满足周期性要求，排除当 时，当 时，a. 先求4.1 齐次方程的分离变数法（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）2、圆域内的拉普拉斯问题b. 再求（欧拉方程） c. 写出通解4.1 齐次方程的分离变数法（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）2、圆域内的拉普拉斯问题c. 写出通解第三步：定解4.1 齐次方程的分离变数法（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）2、圆域内的拉普拉斯问题4.1 齐次方程的分离变数法欧拉方程例 求下列定解问题解：隐含条件（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）2、圆域内的拉普拉斯问题4.1 齐次方程的分离变数法令：（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）2、

13、圆域内的拉普拉斯问题4.1 齐次方程的分离变数法（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）2、圆域内的拉普拉斯问题4.1 齐次方程的分离变数法通解为：思考：解又为如何？（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）2、圆域内的拉普拉斯问题4.1 齐次方程的分离变数法（四）补充：亥姆霍兹方程（高维混合问题）4.1 齐次方程的分离变数法高维混合问题求解基本步骤：1、时空变量的分离： 2、空间变量的分离： 3、求解固有值问题：4、求解关于T(t)的常微分方程5、构造叠加解并求出定解。例1 求定解问题：（四）补充：亥姆霍兹方程（高维混合问题）4.1 齐次方程的分离变数法（四）补充：亥姆霍兹方程（高维混合问题）4.1

14、齐次方程的分离变数法解：1、时空变量的分离： 代入方程整理后得：得关于时空的微分方程：亥姆霍兹方程（四）补充：亥姆霍兹方程（高维混合问题）4.1 齐次方程的分离变数法（续上例） 2、对方程(2)做空间变量分离代入方程(2)整理后得：3.求解固有值问题（四）补充：亥姆霍兹方程（高维混合问题）4.1 齐次方程的分离变数法（续上例） 分别求解两个本征值问题，得 （四）补充：亥姆霍兹方程（高维混合问题）4.1 齐次方程的分离变数法（续上例） 4、求T(t)5、一般解为：由初值条件，再由多元傅立叶展开得：（一）傅里叶级数法4.2 非齐次方程和输运方程回顾：齐次波动方程 的求解结果 本征函数（一）傅里叶级

15、数法4.2 非齐次方程和输运方程傅里叶级数法基本思路： 1、将待求函数展开为傅里叶级数形式 为对应齐次方程在齐次边界条件下本征函数2、将表达式代入方程，求解令 ，代入方程（一）傅里叶级数法4.2 非齐次方程和输运方程例：求解定界问题 解：由齐次边界条件可知，解得本征函数为（一）傅里叶级数法4.2 非齐次方程和输运方程（续上例） 由边界条件： （一）傅里叶级数法4.2 非齐次方程和输运方程（续上例） 定解可得： （一）傅里叶级数法4.2 非齐次方程和输运方程（续上例） （二）冲量定理法4.2 非齐次方程和输运方程冲量定理法只适用于初始条件均取0值的定解问题。齐次方程?（二）冲量定理法4.2 非齐

16、次方程和输运方程齐次化原理，也称冲量定理。冲量定理1：设 是方程的解(L表示自变量为x,y,z的常系数线性偏微分算子),则的解为：（二）冲量定理法4.2 非齐次方程和输运方程冲量定理2：设 是方程的解(L表示自变量为x,y,z的常系数线性偏微分算子),则的解为：（二）冲量定理法4.2 非齐次方程和输运方程冲量定理法的物理思想： 将非齐次方程中等式右边函数视作持续作用力，求解时将该作用力分离成许许多多“瞬时”作用力的叠加。 考察单个“瞬时”作用力作用时段内，由于时间极端，因此在该期间内作用力可视作一冲量，在该时段内，方程可变化为齐次方程（齐次化）。 通过求解该齐次方程，求得在单个瞬时时段内的方程

17、解，将该解对时间积分，则可求得方程解。（二）冲量定理法4.2 非齐次方程和输运方程例：求解定解问题解：令由叠加原理，有：（二）冲量定理法4.2 非齐次方程和输运方程（续上例）利用分离变量法求解方程（I）很明显，本征值为 ，本征函数为 方程解为：（二）冲量定理法4.2 非齐次方程和输运方程（续上例）利用冲量定理法求解方程（II）由冲量定理1，构造方程边界条件不变时间变为，值不变时间变为，值等于函数（二）冲量定理法4.2 非齐次方程和输运方程（续上例）利用分离变量法求解：通解写为：很明显，本征值为 ，本征函数为由定解条件：（二）冲量定理法4.2 非齐次方程和输运方程（续上例）（三）输运问题4.2

18、非齐次方程和输运方程例：求解定解问题解：方程满足冲量定理要求（初始条件为0）用冲量定理法求解。由冲量定理2，构造方程：（三）输运问题4.2 非齐次方程和输运方程（续上例）利用分离变量法求解：很明显，本征值为 ，本征函数为通解为：由冲量定理2，（二）冲量定理法4.2 非齐次方程和输运方程（续上例）4.3 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件定解问题： 必须对非齐次边界定解问题进行处理，才能利用先前所学方法进行求解。基本思路：选取适当的未知函数进行代换，使新的未知函数的定解问题和边界条件均为齐次的。4.3 非齐次边界条件的处理（一）一般处理方法解：引入线性函数 ,并令其满足非齐次边界条件，即：4.3 非齐次边界条件的处