高一数学必修一复习资料

1、:必修复习资Coca-cola standardization office ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18集合.关于集合的元素的特征（1）确定性（组成元素不确定的如：我国的小河流）（2）互异性（3）无序性集合相等：构成两个集合的元素完全一样（1）若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B.例：已知 A=1, 1+d, l+2d, B=1, q, q2,若 A二B,求的，d, q 的值。解：d=I， q=.元素与集合的关索；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belongto） A,记作（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（n

2、otbelongto） A,记作agA子集与真子集：如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集 合B的子集，记作4口8或8 3 4.若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q,或Q不包含P.记作若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的 真子集.Au8或8nA.子集与真子集的性质：传递性：若4口8, BqC,则AqC空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N或N.；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R.集合的表示方法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，

3、写在大括号内。如：1, 2, 3, 4, 5, x, 3x+2, 5y3-x, x+y）,；（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号:，内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。如：x x-32, （x, y） y=x2+l, 直角三角形，；（3）自然语言描述法：小于10的所有正偶数组成的集合。（2, 4, 6, 8）问：1、1, 3, 5, 7, 9）如何用自然语言描述法表示2、用例举法表示集合A = xeNlx0, A=1, 3, 5, 7, 9, B=1, 4, 7, 10,且

4、XAA = 0,XnB = X,试求 p、q；8、已知集合A=a+2, (a+1)3, a2+3a+3,且1A,求实数a的值9、已知集合A=x x5x+6=0, B=(ximx+l=0, AUB二A,求实数m的值组成的集合。10、集合 A =x X-2IW2, xeR), B=y|y=-X2, 1WxW2,则 Cr(AAB)等于()x：xR, xW0C.0D.(空集)IK已知a, bcA,且A为a, b, c, d, e的真子集，则满足条件的集合A的个数是 ()12、记函数f (x)=lg (2x-3)的定义域为集合M,函数g (x)=Jl一2的定义域为集合 N,求：(1)集合 M N； (2

5、)集合 mClN, MUN13、已知集合A=x x -B=x x5x+420,若AAB二中，则实数a的取值范围是()函数函数概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系使对于集合A中 的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f A-B为 从集合A到集合B的一个函数。记作：支f(x), xA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做 函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域区间：(1)、开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)、无穷区间；区间的数轴表示例1：已知函数f(x)=+

6、_,求函数的定义域。x + 2例2：设一个矩形周长为80,其中一边长为x,求它的面积关于x的函数的解析式，并写 出定义域。函数的定义域小结：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实 数的集合(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都 有意义的实数集合.(即求各集合的交集)(5)满足实际问题有意义.例3：下列函数中哪个与函数y=x相等(D 尸(、公尸；(2)尸(V7); 2(3)产V? ; (4)

7、y x练习：1.求下列函数的定义域?(1 ), + X2 1- - 2 42-冈2_ylg?(|x|- =x+-(X)=X =x+-(X)=X：+ (X)=(X)= (x-) 2r(x)的定义域为(-1, 1),求函数F (x) =f (1-x) +f d)的定义域。x2.已知 A二1,2, 3, k, B=4, 7, a；, a:+3a, aN xA, yB, f： xf y=3x+l 是从定义域A到值域B的一个函数，求a, k, A, Bo解：a=2, k=5, A=1, 2, 3, 5, B=4, 7,16,10)映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则/,使对

8、于集合 A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素)，与之对应，那么就称对应A f B为从集合A到集合B的一个映射.记作 “/： A-B”说明：(1)这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其中/表示具 体的对应法则，可以用多种形式表述.(2) “都有唯一”包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个 的意思.例：1.已知A=x, y, B=a, b, c,从集合A到集合B的所有不同的映射有()个。2.已知A=x, y, B=a, b, c,从集合B到集合A的所有不同的映射有()个。函数的表示方法：解析法、列表法、图像法练习：1.已知f (x-2)

9、 =2x:-9x+13,求f (x)配凑法答案：f (x) =2x2x+3.已知 f (依+1) =x + 2依，求 f (x+1) , f (x2)换元法答案：f (x+1) =x:+2x, (xNO) ； f (x:) =x1 1 (xW 1 或 xNl).已知f (x)是一次函数，且有f f (x) =9x+8,求f (x)待定系数法答案：f (x) =3x+2 或 f (x) =-3x-4.设f (x)满足关系式f (x) +2f (-) =3x,求f (x)消元法X答案：f (x) x, xx xR, xWOx6,已知xWO,函数f (x)满足f (x-)二六+=，则f (x)的表达

10、式为() xx27.已知函数f (x)=,、(f(x-l), (x若函数 f (2x+l) x2x,则 f (3.已知函数f (x)=二，则f (1f(4) +f (；)的值为() 4.已知 f (二+1) =lgx,求 f (x).已知f(X)是二次函数，且f( 12.定义在(-1, 1)内的函数f (x(x)的解析式.,那么f (5)的值为() 4)=0)+f(2)+f (b +f(3)+f (b + 230)=0, f (x+1) =f (x) +x+l,求 f (x)满足：2f (x) f (x) =lg (x+1),求函数 f函数的基本性质增函数：一般地，设函数y二f(x)的定义域为

11、I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任 意两个自变量x：,也，当xx二时，都有区)红(整)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。 注意：(1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；(2)必须是对于区间d内的任意两个自变量小,右；当xKx：时，总有风)(天).减函数：一般地，设函数y二f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任 意两个自变量x：, X2,当xKx,时，都有f(xjf(xj,那么就说f(x)在区间D上是减函 数。函数的单调性定义：如果函数尸f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y二f(x)在这一区间具有 (严格的)单调性，区间

12、D叫做y=f(x)的单调区间。例1:物理学中的玻意耳定律P二器(k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。(设判断函数单调性的方法步骤：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：任取 Xf, xD,且 Xi OB、x+y0C、x+y20D、x+yWO3、函数y=logg (4 + 3x-x:)的一个单调递增区间是()A. (一8, |) B.已 +8)c. (-1, ；) D.弓，4 ).下列函数中，一在区面(0,2)上为增函薮的是()=x+=Vx=x2 4x + =x.函数f (x)=3 (xeR)的值域是() l+x2

13、A. (0, 1) B, (0,1C. 0,1) D. 0, 1.已知函数f (x) ax2 + 2ax+l, x 3, 2的最大值为4,求其最小值.函数的奇偶性和周期性：函数的奇偶性定义：.偶函数：一般地,对于函数/*)的定义域内的任意一个X,都有/(-x) = /(x),那么/(X)就叫做偶 函数.(学生活动)依照偶函数的定义给出奇函数的定义.奇函数：一般地，对于函数/(X)的定义域的任意一个X,都有/(_x) = _/(x),那么/(X)就叫做奇函 数.注意：函/是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于

14、定义域内的任意一 个X,则-X也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.练习：1.已知函数f (x)是定义在(-8, +oo)上的偶函数，当x (8, 0)时，f(X)=X-X1,则当 x (0,+8)时,f (x)二.已知f (x)是定义在R上的偶函数.且在0, +8)上为增函数，若f (a) 2f (2),则实数a的取值范围是：.函数f (x)对任意实数x满足条件f (x+2) 4-，若f(1)二一5,则 f(X)f (f (5)=第二章基本初等函数指数函数一、指数和指数塞的运算n次方根的含义一般

15、地，若则X叫做a的A次方根，其中且n次方根的写法零的a次方根为零，记为强=。小结：正数的偶次方根有两个，并且互为相反数：负数没有偶次方根；零的任何次方根为 零。【例1】写出下列数的n次方根(1)16的四次方根；(2 ) 2 7的五次方根；(3)9的六次方根解：(1 ) V16 =2(2 ) -V27(3 ) 我=土“3、n次方根的性质归纳：n次方根的运算性质为(1 )丽)”=a(2 ) n为奇数，n为偶数，=山=心一a, a b)解：而才=一8；(2)J(Wq =10；=|3_乃| =万_3；yj(a-b)2 = a-b = a-b.随堂练习.求出下列各式的值7玳 3-3)、(心1)(3)gf

16、4 (al)解：(1) V(-2)7 =-2； (2) 3(3_3)3 =3-3.a - 3) = |3a - 3 = 3a-3【例3】：求值：分析：(1)题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；解：随堂练习.若一2 +1 = 一 1,求亦取值范围解：a 1.计算亦可+ #(3 2)4 -玳2 公尸解：-9+V3第二节1、分数指数累规定：(1)、正数的正分数指数幕的意义为：正数的负分数指数鎏的意义与负整数鎏的意义相同.- 1 .即：a n = (a 0, m, n e N )(2)、0的正分数指数基等于0, 0的负分数指数幕无意义.2、分数指数幕的运算性质整数指数幕的运算性

17、质，对于分数指数事同样适用，B|J：(1)，/(1= ar+s(a 0,r,5 e (?)(/)$ =a(4(V,seQ)(ab)r = ab (a 0,b 0,r e Q )3、无理指数幕思考：若。0, P是一个无理数，则/该如何理解自主学习：学生阅读教材第6 2页中的相关内容归纳得出：虎的不足近似值，从由小于虎的方向逼近点，拒的过剩近似值从大于点 的方向逼近虚。所以，当点不足近似值从小于应的方向逼近时，5的近似值从小于 5。的方向逼近5。.当点的过剩似值从大于点的方向逼近3时，5的近似值从大于5的方向逼近5, (如课本图所示)所以，50是一个确定的实数.总结：一般来说，无理数指数嘉是一个无

18、理数)是一个确定的实数，有理数指数 塞的性质同样适用于无理数指数塞.这样募的性质就推广到了实数范围 练习：轻松过关1、下列式子中计算正确的是(D )A (x2 )4 = x1 B (x3) = xb C x3 x2 = x6 D(3a2= 9a42下列式子中计算正确的有(A )(1 ) aj-1= J-4 ;( 2 ) -jyly/a = a7 ( 3 )4=a + alA0B1C2D33、（及厂（利、”的值是（B）c 2V24、下列说法正确的是（4、下列说法正确的是（C ） A5无意义 B 5 25 C 5141 5、用计算器算10理-104 = 0.5霹 5L42 D5/ 50 12 8；

19、(保留4个有效数字)6、已知/+-=3,则a + c/2 9 6、已知/+-=3,则a + c/2 9 一7、计算（次）方（痂7户彳而的值解：原式=9一 10亍适度拓展8、化简：+/）2 _4+解：原式=+ +e-3卜 2 ee) + 4 (e=) 39、已知 9、已知 a + “-i=3,求 J 解原式=3行，提示：， 综合提高1 o、已知： =2、/7,的值= (a + cr)(a2 +cr2)R ”2-2一9？求，=riR ”2-2一9？求，=ri Fj i7晨b -6a，b +9b-33 1/3亍的值.32解：由a%-2 -6凉户+9凉=（用尸一3只了,乂 lab, :. a a 3Z

20、?3 ,从而得公尸 10a 10alx0, axl在第二象限内的图 象纵坐标都小于1在第二象限内的图 象纵坐标都大于1xVO, axl利用函数的单调性，结合图象还可以看出：(1)在必涉上,/(幻二/ (。0且。工1)值域是()(6)或(2)若x工0,则/(x) w 1;/(x)取遍所有正数当且仅当xeR;(3)对于指数函数/(幻=，(。0且aWl),总有八1)=；(4)当时,若 XV%2,则/(XI) V f(%2);练习：1、函数/(A) = (3、的定义域和值域分别是多少？ xeR,y0 22、当xe-1,1附，函数/(x) = 3，2的值域是多少？(一：，1 )对数函数对数与对数运算对数

21、：一般地，若/= N(a0,且。1),那么数x叫做以a为底V的对数，记作x = Iogd N叫做对数的底数，N叫做真数.2、对数式与指数式的互化在对数的概念中，要注意：(1)底数的限制 0,且 W1a = N u log. N = x指数式O对数式塞底数一一对数底数指数一X一对数暴一N一真数恒等式：二N负数和零没有对数。Logal=0； logaa=l两类对数：10” =100 = 1()2,于是 x = 2所以2(4)由In/ = x，得x = In9即ex = e2所以2运算性质：如果0,且owl, M0, N0,那么： N)= logfl M +bgN；Mlog。W = bgM - bg

22、N；logfl M = n logfl M (n e R) .换底公式log。b = 0 7 且。工!?，。0,且 cwl； Z?0 ).log,。证明：设明二b,所以loga三logb 因为loga三xloga：所以X=logcaVlogca=logcb/logca=logab换底公式推论(1)log lv bv = logn/?； m(2) logj7 = - (2) logj7 = - log/, a图象特征：/!( ?=iog lx x1-函数图象都在y轴右侧困数的定又域为（0，+8）图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R函数图象都过定点（1, 1）自

23、左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数第一象限的图象 纵坐标都大于0第一象限的图象 纵坐标都大于0第二象限的图象 纵坐标都小于0第二象限的图象 纵坐标都小于0嘉函数定义：一般地，形如y = N （A-eR）的函数称为暴孙函数，其中X是自变量，。是常数.如）, = /,）, = /,）,=/工等都是塞函数，塞函数与指数函数，对数函数一样，都是基本 初等函数.五种基本塞函数：定义域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第I象限 单调增减性在第I象限 单调递增在第1象限 单调递增在第I象限 单调递增在第1象限 单调递增在第1象限 单调递减定点(1, 1)(1, 1)(1, 1)(1, 1

24、)(1, 1)爆函数性质：（1）所有的幕函数在（0, +8）都有定义，并且图象都过点（1, 1）（原因：1=1）： （2）工0时幕函数的图象都通过原点，并且在0, +8上，是增函数（从左往右看， 函数图象逐渐上升）.特别地，当工1时，（0, 1） , y = *的图象都在y = x图象的下方，形状向 下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗）当/QV1时，xG （0, 1） , y = /的图象都在y = x的图象上方，形状向上凸，a越 小，上凸的程度越大（你能说出原因吗）（3） a V0时，鎏函数的图象在区间（0, +8）上是减函数.在第一家限内，当戈向原点靠近时，图象在y轴的右方无限逼近）

25、，轴正半轴，当x慢慢地变 大时，图象在x轴上方并无限逼近1轴的正半轴.例题：证明幕函数/（X）= /7在0,+8上是增函数证:任取 X, x, e 0, -ho）,且x1 x2 则_ （右一丙）（。+迎） 历+后一 8一不因 为 VO，+W7 。所以/（5） /2），即/（X）= G在0, +8上是增函数.第三章函数的应用函数与方程零点定义：对于函数1y =/（x）（x。），把使/（x） =。成立的实数x叫做函数y = /（x）（xe。） 的零点.函数零点的意义：函数），= /*）的零点就是方程/“）= o实数根，亦即函数y = /（x）的图象与x轴交点的横坐 标.B|J：方程/*） = 0有实数根O函数y = /（x）的图象与大轴有交点O函数y = /（x）有零点.函数零点的求法：求函数y = /（X）的零点：（代数法）求方程/。） = 0的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y = /（x）的图象联系起来，并 利用函数的性质找出零点.二次函数的零点：二次函数y = ax1 +bx + c(a H 0).(1 ) 0 ,方程内2+法+。= 0有两不等实根，二次函数的图象与X轴有两个交 点，二次函数有两个零点.(2 ) = 0