高考数学理科练习题空间向量与立体几何

1、- -c.5D.3010D 建立如图所示的空间直角坐标系:1八则 A(1,0,0) , B(0,1,0), N2, 0,12，1 ，1-，c.5D.3010D 建立如图所示的空间直角坐标系:1八则 A(1,0,0) , B(0,1,0), N2, 0,12，1 ，1-，11,2，0,1, BM= -, 2，1,cosAN BMAN BMI AN| BM. AN1 1-2X2+1224+0+1x11,4+4+1至二噜故选D.专题限时集训（八）空间向量与立体几何专题通关练（建议用时：20分钟）模）在直三棱柱 ABCABiCi, / BCA= 90 , M N分别是 AB, AC的中点，BC= AO

2、 CC= 1,则AN与BM所成角的余弦值为（1 A. 1 A. 10.二面角的棱上有 A, B两点，直线AC BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB已知AB= 2, AO 3, BD= 4, CD=肝,则该二面角的大小为 （）A.30B. 45C.60D. 120A.30B. 45C.60D. 120由已知可得CA-AB= 0, AB- BD= 0,如图,CD= C/V AB+ BD.I CD由已知可得CA-AB= 0, AB- BD= 0,如图,CD= C/V AB+ BD.I CD2=(CAvAB+ BD2= |CA2+1AB2+|bd2+2CA-2AB BA 2CA- BD=

3、 32 + 22 + 42+ 2 X 3 X 4cos CX BD =(屈)：.cos .cos Ca 语即CA Bb =120 ,，所求二面角的大小为60 ,故选C. （2018 全国卷I ）在长方体 ABCDABCD中，AB= BC= 2, AC与平面BBCC所成的角为30 ,则该长万体的体积为 （）A. 8B. 6 ：2C. 8 ：2D. 8 ,3BC 在长方体 ABCDABCD中，ABL平面BCCB ,连接BC, AC, /ACB为直线AC与平面BBCC所成的角，/ ACB= 30 .又AB= BC 一八，一，一 ABB所以在RABC中，BC =商kb= 2g在RtBCC中，CC= 2

4、732-22 =2J2,所以该长方体体 = BCx CCx AB= 8 4.（2019 汕头模拟）如图，在正方体 ABCDABCD中，M N分 BC, CD的中点，则下列判断错误的是 （）MNL CCMNL平面 ACCA1MN/平面 ABCDMIN/ AiBiD 在正方体 ABCDAiBCiD中，M N分别是BC, 的中点，以 D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD为z 建立空间直角坐标系，设正方体ABCDAiBiCD的棱长为则 M121） , N011） , C（0,2,0） , C（0,2,2） , MN=（-1,0) , CC= (0,0,2) , MN CC= 0,MNLCC,故 A确

5、；A(2,0,0) , AC= ( -2,2,0),MN AC= 0, MNLAC.AS CC= C,MN_ 平面 ACC1,故 B 正确;平面ABCD勺法向量n= (0,0,1),MN n=0,又MN平面ABCD MN/平面 ABCD故C正确;A1(0,2,2) , B(2,2,2). ABi = (2,0,0),MNW A1B1不平行，故D错误.故选 D.5.（2019 全国卷出）如图，点 N为正方形ABCM中心， ECD正三角形，平面ECDL平面ABCDM是线段ED的中点, 则（）A.BM EN,且直线BMB.BW EN且直线BMEN相交直线C.A.BM EN,且直线BMB.BW EN且

6、直线BMEN相交直线C.BM EN,且直线BMD.BM EN,且直线BMB 取CD的中点Q连接ON EO因为 ECE正三角形，所 以EQL CD又平面 ECD_平面 ABCD平面ECD平面ABCD= CD所 以EQL平面ABC而正方形 ABCD勺边长为2,则E0= ；：3, QN= 1, 所以EN2= E0+ QN= 4,得EN= 2.过M作CD的垂线，垂足为 P,连 接 BP,则 MP= ，C鼻 3,所以 bM= mP+ bP=呼 + | +22 =7,得BM= 7p,所以BW EN连接BD BE,因为四边形 ABC泗正方形，所以 N为BD的中 点，即EN, MB匀在平面BD型，所以直线 B

7、M EN是相交直线，选 B.6.一题多解如图，AB是。0的直径，PA垂直于。Q所在平面，点 C是圆周上不同于 AB两点的任意一点，且 AB= 2, PA= BC= 则二面角 A-BGP的大小为 .法一：(几何法)由题意可知 ACL BC 3 TOC o 1-5 h z 又PAL平面ABC飞、.PALBC.PAn AC= A,j . - 4 4 Jaior BCL平面 PAC二BCL PC / PCA二面角 A BC P的平面角.在 RtBCA中，AB= 2, BC=. . AC= 1.在 RtPCA中，PA= 3/3,PA -tan / PCA= rz= 3/3,AC 兀./ PCA=一3法二

8、：(坐标法)以A为原点，AP为z轴，AC为y轴，过A且 垂直于AC的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示.由 AB =2, PA= BC= 3/3,可知 AC=122-3 =1.PB=（的 1,血,PC= （0,1，小）. R0,0 , PB=（的 1,血,PC= （0,1，小）.设平面PBC勺法向量n=(x, y, z),则n PB= 0,n , Pe 0,3x 木x+y J3z=0, 什 mn PB= 0,n , Pe 0,即“取 z=1 得 n=(0,4，1).y-x3z=0,平面ABCW法向量m (0,0,1)设二面角 ABGP的平面角为0 ,则cos能力提升练(建议用时：15分钟

9、)7.如图，在各棱长均为 2的正三棱柱 ABGABG中，D, E分别 为棱AB1与BB的中点，M N为线段GD上的动点，其中，M更靠近 D,且 MNk GN.(1)证明：AE，平面AGD;(2)若NE与平面BGGB所成角的正弦值为 嚓,求异面直线BM与NE所成角的余弦值.解(1)证明：由已知得 ABG为正三角形，D为棱AB的中点,GD，A1B1,在正三棱柱 ABGABG中，AAL底面 ABG, GDZ底面 ABG,则AA1XGD 又 ABAAA=A, A1B1, AAU平面 ABBA,，GD，平面 ABBA,又AEC平面ABBA1,GD)! A1E.易证AE AD又 Am GD= D, AD,

10、 GDT平面 AGD,.AEL平面 AGD.(2)取BG的中点Q BG的中点O,连接AQ则AQL BG OO1 BG OO1 AQ以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则 R0,1,0) , E(0,1,1),G(0 , - 1,2) , D3, 2, 2 ,设GN=入Gb=号入，2入，0 ,则 NE=Ce Cn=(0,2 , - 1) -好入，|入，0易知n = (1,0,0)是平面BCCB的一个法向量,|cos N|cos NE, n | = _,13人6入 +5201 一一，解得入1 一一，解得入=3(负值舍去),加2入CD=拿1, 0BMi= BC+ Cm=亚 i,3

11、.cosNE, BM =3 2.cosNE, BM =3 221611 11 io40 异面直线异面直线NE与BM所成角的余弦值为11 10408.如图，CD AB分别是圆柱的上、下底面圆的直径，四边形ABCO边长为2的正方形，E8.如图，CD AB分别是圆柱的上、下底面圆的直径，四边形ABCO边长为2的正方形，E是底面圆周上不同于 A B两点的一点，AE= 1.(1)求证：BE1平面DAE(2)求二面角CDBE的余弦值.解(1)证明：由圆柱的性质知,又BE 平面ABEDAL平面ABEBE! DA又AB是底面圆的直径，又AB是底面圆的直径，E是底面圆周上不同于 A,B两点的一点，.BE! AE

12、(2)(2)过A在平面AE卧作垂直于 AB的直线,又 DAO AE= A, DA A巨平面 DAEJfBE!平面 DAEJf建立如图所示的空间直角坐标系，. AB= AD 2, AEE= 1, . . BEE= 4 E 乎,J, 0 , D(0,0,2), B(0,2,0),/31ED= 2，2 , BD= (0, - 2,2),取平面CDB勺一个法向量为ni= (1,0,0),设平面EBD勺法向量为n2=(X2, y2, z2),n2 , ED= 0,则n2 - BD= 0, TOC o 1-5 h z -X2 -V2+2Z2= 0,_ ，-即 22取Z2=1,则n2=(，3, 1,1)为平

13、面EBD勺一个法向量.一 2y2 + 2z2= 0,m - n21315 .cos m, n2 = -一= = 4,|m| 禀|；55 又易知二面角 GDBE为钝角，.二面角GDBE的余弦值为一噂内容押题依据探索性问题，线面平行的性质、线面角的求法探索性问题图考还未考查， 可以较好的考查考 生的思维，逻辑推理、运算等核心素养【押题】 如图，在四棱锥 P-ABCDK底面ABCD1平行四边形，PDL平面 ABCD PD= AD= BD= 2, AB= 2派(1)若PA/平面BDE证明：PE= EC(2)在(1)的条件下，棱PB上是否存在点 M使直线DM与平面BDE成角的大小为30。？ 若存在，求P

14、M： MB的值；若不存在，请说明理由.解(1)连接AC交BD于点F,连接EF,则EF是平面PACW平面BDE勺交线，因为PA/平面BDE PAZ平面PAC所以PA/ EF.又因为F是AC中点，所以E是PC的中点，所以PE=(2)由已知条件中， aD+bD= A百，所以AD BD以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴建立空 直角坐标系. TOC o 1-5 h z 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),C(-2,2,0) , E( 1,1,1) , DE=( 1,1,1) , DB= (0,2,0).，一一. . . _ _ 、一一 _假设在棱PB上存在点 M设PM=入PB：0W入W1),17得 M0,2 入，2 2 入)，DM= (0,2 入，2 2 入)，记平面BDE勺法向量为 m=(X1, y1, Z1),n1 , DE= 0,X1+y + Z