江苏省常州市西夏墅中学高中数学 3.3.3 简单的线性规划问题课件2 苏教必修5

1、2021/8/8 星期日1一、问题情景 某校办工厂有方木料90m3,五合板600m2，正准备为外校新生加工新桌椅和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一张书橱可获利润120元. （1）假设你是工厂的生产科长，请你按要求设计出工厂的生产方案。 方案一：若只生产书桌，用完五合板，可生产书桌300张，可获得利润80300=24000元，但方木料没有用完. 方案二：若只生产书橱，用完方木料，可生产450张书橱，可获得利润120450=54000元，但五合板没有用完.2021/8/8 星期日2 （2

2、）设生产书桌x张，书橱y张，利润z元，写出x，y应满足的条件以及Z与x，y之间的函数关系式. 约束条件为 ： 目标函数为：(3)如果你是厂长，为使工厂原料充分利用，问怎么安排能够使资源最大限度的利用，且可获得最大利润？ 方案三、生产书桌100张，书橱400张，有最大利润为56000元 在上面两种情况下，原料都没有充分利用，造成了资源浪费，那么该怎么安排能够使资源最大限度的利用，且可获得最大利润？2021/8/8 星期日3二、线性规划在实际中的应用 线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用， 一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务； 二是给定一项任务，如何合理

3、安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：2021/8/8 星期日4例题 例1某工厂用A，B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产一件甲产品可获利润2万元，生产一件乙产品可获利润3万元，则如何安排日生产，可使工厂所获利润最大？分析：将已知数据列成表格产品AB耗时甲41h乙42h16128h2021/8/8 星期日5解设甲、乙两种产品的产量分别为x，y件，

4、工厂利润z万元约束条件为： 目标函数是：作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域2021/8/8 星期日6把目标函数z2x3y 变形为yxOx2y80y3x4它表示斜率为 随z变化的一组平行直线系 是直线在y轴上的截距，当截距最大时，z的值最大.如图可见，当直线z2x3y 经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大M2021/8/8 星期日7M点是两条直线的交点，解方程组得M点的坐标为：所以zmax2 x3y14 由此可知，每天生产甲产品4件、乙产品2件时，工厂可得最大最大利润14万元2021/8/8 星期日8 例2 投资生产A产品时，每生产一百吨需要资金200万元，需场地200m2，可获

5、利润300万元；投资生产B产品时，每生产一百米需要资金300万元，需场地100m2，可获利润200万元.现某单位可使用资金1400万元，场地900m2，问：应作怎样的组合投资，可获利最大？资金（百万元）场地（百平方米）利润（百万元）A产品（百吨）223B产品（百米）312限制149分析将已知数据列成表格2021/8/8 星期日9 解设生产A产品x百吨，生产B产品y百米，利润为S百万元，则约束条件为目标函数为作出可行域2021/8/8 星期日10把目标函数S3x2y 变形为Ay2xy9xO2x3y14它表示斜率为随S变化的一组平行直线系 是直线在y轴上的截距，当截距最大时，S的值最大如图可见，当

6、直线S3x2y 经过可行域上的点A时，截距最大，即S最大2021/8/8 星期日11A点是两条直线的交点，解方程组得A点的坐标为：所以Smin3x2y14.75 由此可知，,生产A产品325t，生产B产品250m时，获利最大，且最大利润为1475万元2021/8/8 星期日12例3营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的

7、日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？食物kg碳水化合物kg蛋白质kg脂肪kg花费（元）A0.1050.070.1428B0.1050.140.0721成人日常需要0.0750.060.06分析：将已知数据列成表格2021/8/8 星期日13解设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，则线性约束条件为：目标函数为：z28x21y作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域2021/8/8 星期日14把目标函数z28x21y 变形为xyo5/75/76/73/73/76/7它表示斜率为随z变化的一组平行直线系 是直线在y轴上的截 距，当截距最小时，z的值最小

8、M如图可见，当直线z28x21y 经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小2021/8/8 星期日15M点是两条直线的交点，解方程组得M点的坐标为：所以zmin28x21y16 由此可知，每天食用食物A143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元2021/8/8 星期日16三、练习题 1. 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工1件甲所需工时分别为1h、2h，加工一件乙所需工时分别为2h、1h，A，B两种设备每月有效使用台数分别为400h/台和500h/台如何安排生产

9、可使收入最大？ 设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z，目标函数为Z3x2y，满足的条件是2021/8/8 星期日17 Z 3x2y 变形为它表示斜率为 的直线系，Z与这条直线的截距有关xyO400200250500当直线经过点M时，截距最大，Z最大M解方程组可得M（200，100）Zmax 3x2y800故生产甲产品200件，乙产品100件，收入最大，为80万元2021/8/8 星期日182.某人准备投资1200万元兴办一所完全中学.对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位） 分别用数学关系式和图形表示上述限制条件若根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费160

10、0元，高中每人每年可收学费2700元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜（含20个与30个）那么开设初中班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？学段班级学生数配备教师数硬件建设（万元）教师年薪（万元）初中45226班2人高中40354班2人2021/8/8 星期日19把上面四个不等式合在一起，得到yx2030402030o 另外，开设的班级不能为负，则x0，y0.而由于资金限制，26x54y22x23y1200 解设开设初中班x个，高中班y个。因办学规模以2030个班为宜，所以， 20 xy302021/8/8 星期日20yx2030402030o 由图可以看出，当直线Z7

11、.2x10.8y经过可行域上的点M时，截距最大，即Z最大. 设收取的学费总额为Z万元，则目标函数Z0.1645x0.2740y7.2x10.8y.Z7.2x10.8y变形为它表示斜率为 的直线系，Z与这条直线的截距有关.M 易求得M（20，10），则Zmax 7.2x10.8y 252 故开设20个初中班和10个高中班，收取的学费最多，为252万元.2021/8/8 星期日21四、要点归纳与方法小结 （一）线性规划的两类重要实际问题的解题思路： 1.应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数 2.用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.(一般最优解在直线或直线的交点上，要注意斜率的比较） 3.要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解 2021/8/8 星期日22（二）线性规划问题的求解步骤：（1）审：审题（将题目中数据列表），将实际问题转化为数学问题；（2）设：设出变量，确定约束条件，建立目标函数；（3）画：画出线性约束条件所表示的可行域，作出目标函数线；（4）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法