数学解题技巧之反证法和数学归纳法探讨

1、 / 10【备战 2013 高考数学专题讲座】第 12 讲：数学解题方法之反证法和数学归纳法探讨江苏泰州锦元数学工作室编辑3 8 讲，我们对数学思想方法进行了探讨，从第九讲开始我们对数学解题方法进行探讨。数学问题中，常用的数学解题方法有待定系数法、配方法、换元法、数学归纳法、反证法等。反证法是“间接证明法”一类， 是从反面的角度的证明方法，即： 肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。在应用反证法证题时，一定要用到“反设 ”，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方

2、面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法 ”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法 ”。数学上证明与自然数N 有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与自然数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。一般地，在高中数学中证明一个与自然数n 有关的命题P（n），有如下步骤：（ 1 ）证明当n 取第一个值n0 时命题成立。n 0对于一般数列取值为0 或 1，但也有特殊情况；（ 2）假设当n=k（ kn 0， k 为自然数）时命题成立，证明当n=k+1 时命题也成立。综合（ 1 ）（

3、2），对一切自然数n（ n 0），命题P（n）都成立。结合 2012 年全国各地高考的实例探讨反证法和数学归纳法的应用：一、反证法的应用：典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例 1： （ 2012 年上海市理18 分） 对于数集X 1,x1, x2, , xn ，其中 0 x1x2xn， n 2，定义向量集Y a|a （s,t）,s X,t X . 若对于任意a1 Y ，存在 a2 Y，使得a1 a2 0，则称 X 具有性质 TOC o 1-5 h z P. 例如 X 1,1,2具有性质P.（ 1）若 x 2，且 1, 1, 2, x ，求x的值；（ 4分）（ 2）若X 具有性质P，求

4、证：1 X，且当xn 1 时，x1=1； （ 6 分）（3）若X 具有性质P，且x1=1 ，x2q （ q 为常数） ，求有穷数列x1,x2,xn的通项公式.（8 分）【答案】解：（1）选取a1 （x, 2） ，则 Y 中与a1 垂直的元素必有形式（ 1, b）。 TOC o 1-5 h z x=2b ，从而x=4。(2)证明：取a1(x1 , x1)Y ，设a2(s,t) Y 满足a1a20。由 (s t)x10得 s t 0， s、 t异号。1 是 X 中唯一的负数，所以s、 t中之一为1，另一为1。故 1 X。假设xk1 ，其中 1 k n ，则 0 x11xn 。选取a1(x1,xn)

5、 Y ，并设a2(s,t) Y 满足a1a20，即sx1txn 0。则 s 、 t 异号，从而s 、 t 之中恰有一个为1。若s=1，则x1txntx1 ，矛盾；若t =1 ，则xnsx1sxn ，矛盾.x1 =1 。i13)猜测xiq ， i=1, 2, n,。记 A k 1,1, x2, xk ， k =2, 3, n, 。先证明：若Ak 1具有性质P，则Ak 也具有性质P。任取 a1 (s,t)， s、 t Ak .当 s、 t中出现1 时，显然有a2 满足a1 a2 0。当 s 1 且 t 1 时， s、 t1 。 A k 1 具有性质P，有a2(s1 , t1 )，s1、t1A k

6、1 ，使得a1a2 0。从而s1 和t1 中有一个是1，不妨设s1 = 1，假设 t1A k 1 且 t1A k ，则t1xk1 。由(s,t)( 1, xk 1) 0，得stxk1xk1，与 s Ak 矛盾。t1 A k ，从而 A k 也具有性质P。现用数学归纳法证明：xiqi 1， i=1, 2, n,。当 n =2 时，结论显然成立。假设 n k 时， Ak 1,1, x2, xk 有性质P，则xiqi 1 ， i=1, 2, k,；则当 n k+1 时，若 Ak 1 1,1,x2,xk, xk 1 有性质P，则Ak 1,1, x2, , xk也有性质P，所以Ak 1 1,1, q,

7、,qk 1,xk 1 。取a1(xk1,q)，并设a2(s, t) 满足 a1a20，即xk1sqt 0 。 TOC o 1-5 h z 由此可得s 与 t 中有且只有一个为1 。若 t 1 ，则 s 1 ，所以 xk 1 q q ，这不可能；sk1 kk1k s 1 ，xk 1 qt q q q ，又 xk 1 q ，所以xk 1 q 。i1i1综上所述，xiqxiq ， i=1, 2, n,。【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系，数学归纳法和反证法的应用。【解析】 ( 1)根据题设直接求解。( 2)用反证法给予证明。( 3)根据题设，先用反证法证明：若A k 1 具有性质P，则

8、Ak 也具有性质P，再用数学归纳法证明猜测xiqi 1 ， i=1, 2, n,。例2： ( 2012 年北京市理13分) 设 A 是由m n 个实数组成的m 行 n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于 1 ，且所有数的和为零，记s(m， n)为所有这样的数表构成的集合。对于A S(m， n)，记Ri(A)为A 的第行各数之和(1 m ) ， Cj(A)为A 的第 j 列各数之和(1 j n) ；记 K(A) 为 R1(A) , R2(A) , , Rm(A) , C1(A) , C2(A) , , Cn(A) 中的最小值。解： （ 1 ）由题意可知r1 A =1.2， r2 A = 1.2

9、， c1 A =1.1 ， c2 A =0.7， c3 A = 1.8 ，K A 0.7 。2）先用反证法证明K A 1 ：若 K A 1 ，则C1 A = a 1 1 ，a11a1a11a11a1 或a 1 10a1。0b1。 0a b2。由题设所有数和为0，即a b+c 1=0 a b= 1 c， 0 1 c 2 ，解得 3 c 1，12tt t 2t+2t+2t 1 2t+1ct 1 A = ct 2 A = = c2t+1 A =1+ t+2 = t+2 。下面证明2t+1 是最大值。t+22t+1若不然，则存在一个数表A S（ 2， 2t+1 ） ，使得 K A =x 2t+1 。t

10、+2由 K A 的定义知A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于x ，而两个绝对值不超过12，故A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间x， 2 中 . 由于 x 1 ，故 A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x 1 。设 A 中有 g 列的列和为正，有 h 列的列和为负，由对称性不妨设g h ， 则 g t ， h +t1另外，由对称性不妨设A 的第一行行和为正，第二行行和为负。考虑 A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于t+1 个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1） ，每个负数的绝对值不小于x 1（即每个负数均不超过 1 x）

11、。r1 A =r1 A t 1 t 1 1 x =2t 1 t 1 x=x 2t 1t+2 x 0， bn 0， an 2 nan2 ，得bn =2。a1bn2 ，得bn =2。a1bna11b1， b2， b3中至少有两项相同，与b1 b2 b3矛盾。a1= 2 。2222bn=2= 2。21a1 =b2 = 2 。等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。（1）根据题设a 1 a nbn和 b 11 bn ，求出bn 11bn，从而证明n1an2bn2n 1anan1an 1 0 知 q 0 ，下面用反证法证明q=1若 q 1,则 a1= a2 logq 2 时，an 1 a1qn

12、 2 ，与（）矛盾。qa1a1若 0 q a2 1，当 n logq 时，an 1a1q 1 ，与（）矛盾。qa1q=1 。 an a1 n N * ，1 1 ，于是a1b1 b2 b3。an bn又由 a n 122 即an bn又由 a n 122 即a1anbnbn 1an 1bnan1 而得证。ab2）根据基本不等式得到1 2，且 1, 1, 2, x ，求 x的值； （ 4分）（ 2）若X 具有性质P，求证：1 X，且当xn 1 时， x1=1； （ 6 分）（3）若X 具有性质P，且x1=1 ，x2q （ q 为常数） ，求有穷数列x1,x2, xn的通项公式.（8 分）【答案】解

13、：（1）选取a1（x, 2） ，则 Y 中与a1 垂直的元素必有形式（ 1, b）。 x=2b ，从而 x=4。（ 2）证明：取a1 （x1 , x1） Y ，设a2（s,t） Y 满足a1 a2 0。由 （s t）x10得 s t 0， s、 t异号。 TOC o 1-5 h z 1 是 X 中唯一的负数，所以s、 t中之一为1，另一为1。故 1 X。假设xk1 ，其中 1 k n ，则 0 x11 xn 。选取a1（x1,xn）Y ，并设a2（s,t） Y 满足a1a20，即sx1txn0。则 s 、 t 异号，从而s 、 t 之中恰有一个为1。若s= 1，则x1txntx1 ，矛盾；若t

14、 = 1 ，则xnsx1sxn ，矛盾. x1 =1 。i1（ 3）猜测xiq ， i=1, 2, n,。记 Ak 1,1, x2, , xk ， k =2, 3, n, 。 TOC o 1-5 h z 先证明：若Ak 1具有性质P，则 Ak 也具有性质P。任取 a1 (s,t)，s、t Ak.当s、 t中出现1 时，显然有a2满足a1a20。当 s 1 且 t 1 时， s、 t1 。 A k 1 具有性质P ，有a2(s1 , t1 ) ，s1 、t1A k 1 ，使得a1a20 。从而s1 和t1 中有一个是1，不妨设s1 = 1，假设 t1 Ak 1 且 t1 Ak ，则t1xk1 。

15、由(s,t) ( 1, xk 1) 0，得stxk1xk1 ，与 s Ak 矛盾。 t1 A k ，从而 A k 也具有性质P。现用数学归纳法证明：x qi 1 ， i=1, 2, n,。当 n =2 时，结论显然成立。i1假设 n k时， Ak 1,1, x2, xk 有性质P，则 xqi 1 ， i=1, 2, k,；则当 n k+1 时，若 Ak 1 1,1,x2,xk,xk 1 有性质P，则Ak 1,1, x2,xkk1也有性质P，所以 Ak 1 1,1, q, , q, xk 1 。取a1(xk 1, q)，并设a2(s, t) 满足a1a20，即xk1s qt 0。由此可得s 与

16、t 中有且只有一个为1 。若 t 1 ，则 s 1 ，所以 xk 1 q q ，这不可能； s s 1 ，xk1 qt qqk1qk，又xk1qk1，所以xk1 qk 。i1i1综上所述，x q x q ， i=1, 2, n,。【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系，数学归纳法和反证法的应用。【解析】 ( 1)根据题设直接求解。( 2)用反证法给予证明。( 3)根据题设，先用反证法证明：若A k 1 具有性质P，则 Ak 也具有性质P，再用数学归纳法证明猜测 x qi 1 ， i=1, 2, n,。例2： ( 2012 年全国大纲卷理12 分) 函数 f(x) x2 2x 3。定义数

17、列xn 如下：x12, xn 1 是过两点P(4,5), Qn(xn, f(xn )的直线PQn与 x轴交点的横坐标。1)证明：2 xn xn 1 3 ；2)求数列xn 的通项公式。2解： ( 1) f (4) 4由2xn3得， 1由2xn3得， 1xn 1 2。0 xn14 3。xn 1xn0 即xnxn 1 。综上可知2 xn xn 13恒成立。由所给出的两点P(4,5), Qn(xn, f (xn)，可知，直线PQn 斜率一定存在。直线PQn的直线方程为y 5f (xn) 5(x 4) 。xn 42令 y 0，可求得5= xn2xn 8 x 4 ，解得x= 4xn 3。 TOC o 1-

18、5 h z xn 4xn 24xn 3。 xn 1。xn 2下面用数学归纳法证明2 xn 3 ：当 n 1 时，x12，满足2 x1 3， HYPERLINK l bookmark9 o Current Document 4x 35x2x2假设 n k 时， 2 xk 3成立，则当n k 1 时，xk 1 k 4x2x2由 2 xk 3得，4 xk 2 5，即1 55 ，1 11 45 3。kkxk 2 44xk 2 2 xk 1 3也成立。综上可知2 xn 3对任意正整数恒成立。下面证明xn xn 1 ：xn 1 x4xxn 1 x4xn 34xn 3 xn2 2xn(xn 1)2 4xn 2xn 22）由xn 1 4xn 3得到该数列的一个特征方程x 4x 3即 x2 2x 3 0， TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark15 o Current Document xn 2x 2解得 x3或x 14xn3xn34xn35xn5xn 1 3= n