河南省洛阳市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含解析

1、- -河南省洛阳市2018-2019学年第一学期期末考试高二数学试卷（文）一、选择题（本大题共 12小题，共60.0分）1.已知 p: x2-x-2 v 0, q ： log 2X v 1,则 p 是 q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】通过求解不等式求解 p,解对数不等式求解 q,然后利用充要条件的判断方法判断即可.【详解】解：由题意可知 p： X2-X-2 0,即（x+1） （x-2） 0,可得p： -1vxv2;q： log 2x 8 0）的两个焦点分别为F,G是椭圆上一点，且PG = 60二 259则aF1PFZ的

2、面积等于A.B.C.D.【答案】B【解析】由与P是椭圆上一点，|PF+|PF= 2口 = 10 , 两边平方可得 咯+ |%：+ 2叫叫=1州,即 |FFi + |PF/ = lK-2|PF1|PFz ,由于 zF1p/ = 6。，1 |PF十&一64|F./2| = 2c=8,.根据余弦定理可得二二，综上可解得|PFJ 尸&|=32 ,2 邛片|吟|.F/G的面积等于如修的你60=3g，故选B.等差数列an中，a3+ai0=5, a7=1, S是数列an的前n项和，则S的最大值为（）A. 1B.19C. 60D. 70【答案】D【解析】【分析】 利用基本量 网川表示条件% + %。=比 =

3、1,求解出看国,进而求解出工 ,得出国的最大值。【详解】解：设等差数列4的首项与公差为 、及a1 = 19所以,3林+ 41nT所以,z,3rt + 4 lit , .一次函数y -的对称轴为 n =, 因为MEN, 所以当凡=7时，5*5 = 70,故答案选D=【点睛】本题考查了等差数列的通项知识，等差数列常见的解题方法是基本量法，即将条件与目标用基本量来表示，进而求解问题。6.点P是抛物线y=x2上任意一点，则点 6.点P是抛物线y=x2上任意一点，则点 P到直线y=x-2的距离的最小值为（9位A.：17也 B.7质C.一)记D.：【解析】【分析】设出点P设出点P（为，W）,表示出点P到直

4、线的距离也，然后通过减元将距离变为单变量形式一jc 21,然后借助函数思想解决问题。V2【详解】解：设点P&次)，则九鹏rI” 厂产 口一点p到直线的距离d二-一，grp/ . IznX0| 君一 X。+ Z|JtT 以 d n n ,盘 式, 一. La 1因为:7所以点P到直线的距离的最小值为_ 4 _ 72疝产滑T故选C。【点睛】本题考查了点到直线的距离问题，常见的解题方法是将点到直线的距离转化为代数的形式，然后通过减元将多变量问题转化为少变量(单变量)问题，进而利用函数思想解决最值。7.已知函数f (x)的导函数为f (x),若f (x) =x3+f (1) x2-2 ,则f (1)的

5、值为()A.B.C.D. 0【答案】B【解析】【分析】求出原函数的导函数，在导函数解析式中取x=1即可得到答案.【详解】解：由f (x) =x3+f (1) x2-2 ,得 f (x) =3x2+2xf ( 1), f ( 1) =3+2f ( 1),解得 f ( 1) =-3 ,故选：B.【点睛】本题考查了导数的加法法则与减法法则，考查了基本初等函数的导函数，是基础的计算题.8.等比数列a n的前n项和为S,公比qw1,若a1=1,且对任意的n N*都有an+2+an+1=2an,则S等于()A. 12B.20C. 11D. 21【答案】C【解析】? + % + 1=2%等价于国2 + 口/

6、 = 2att,即/ +守=2 ,由此可解得q的值，进而求得S【详解】解：设等比数列的公比为 q则5 + 2 + % +1 - 2%等价于%/ += 2%故q* + q2 = 0,即 S + 2)(q1)二。所以 故故选C。【点睛】本题考查了等比数列的通项知识，等比数列问题的常见解法是借助于基本量进行解 题；求等比数列的前 n项和时，要对q的范围进行讨论。9.4 ABC中，B=30 , BC边上的高与 BC的比为1: &邑 则cosA等于（）A.CC. .A.CC. .D.5年26【解析】【分析】 设也:边上的高为h,则%? = 3式h，在乱A48D中可得用目=用，由勾股定理可得BD = 由,

7、故CD = 2,在中，百。=丫而1,再由余弦定理可得匕门”的值。【详解】解：设过 A点作9。的高，交9。边于点设同力二h,因为BC边上的高与BC的比为1: 3/3,所以BC=引据，在小A4Z?办中，=等，即:=上故4H = 2-Ad Z Ad由勾股定理可得日口二衣一加二屈, 在RtA4CD 中,AC =ND二 + CD* =钟 3h ,4M + 13必一27 户 5%13 厂门 -2x2hx 购 26故选D。【点睛】本题考查了解三角形中某个角的问题，当三角形的三条边的比例关系确定时，就可利用余弦定理解得角的大小，这也是解决本题的关键。10.已知双曲线(口 口,过左焦点产i的直线切圆，+/=口会

8、于点产，10.已知双曲线A. 1一 ,【答案】B曲线C右支于点Q,若耳A. 1一 ,【答案】BD.【解析】分析：连接P0,由F；P = W知P为尸血的中点，又。为片的中点，8Q0,且UP二夕G，利用双曲线定义结合切线性质可得b = ?a,从而可得结果.详解：连接P0,由耳尸二血知P为0Q的中点，又。为八的中点，所以OP/Q&,且8 =?七,因为点P为切点，则0P二口，巩 又因为Q在双曲线右支上，贝UQ&-QF；2 = 2口，即 QF = 4%在RtgOP中，叱=超片-=抬1=b ,则QFi=2/P = 2b,则b = 2%则双曲线的渐近线方程为 = 2*，故选B.点睛：本题主要考查利用双曲线的

9、简单性质及双曲线定义求双曲线的渐近线方程，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求渐近线方程问题，主要是找到关于里卜的关系式.11.定义在R上的可导函数f (x)满足f (x) +f (x) V0,则下列各式一定成立的是()A. ：., ?：.” .一： ；二：；. jB. ：., ?：.二.：jc. ；!二。1口二心。】d.；山二川什 1?【答案】A【解析】【分析】可导函数f (x)满足f (x) +f (x) 0,等价于(f0

10、,故函数目(力:人工”归*在R上单调递减，由此可以得出正确选项。【详解】解：可导函数 (幻满足+代工)b0)交于A, B两点，以线段AB为直径的圆过该a2 b237 汗椭圆的右焦点F2,若/ ABEC 五, -,则该椭圆离心率的取值范围为(A.B.C.D.A.B.C.D.【解析】【分析】,所以当斜率存在时，斜3T 7T,所以当斜率存在时，斜以AB为直径的圆的圆周角/ ABF2 -,故圆心角“吟 E J. 率/之余 然后将斜率k转化为曰也c的关系式，求解离心率的取值范围；当斜率不存在时，易得h二J易解离心率的值，综上便可得出答案。【详解】解：当过原点的直线斜率不存在时, 因为以AB为直径的圆经过

11、右焦点, 所以有卜二J此时E 二孝； 当过原点的直线斜率存在时，设过原点的直线为 y = ,百(。，门)，7T 7T因为/ ABF2C 丁、-所以圆心角 所以k ,即/之：,633直线与椭圆联立方程组y = lex直线与椭圆联立方程组y = lexxy!=1 ,解得a2 b2y=%b2 + a2k2口%2向b2 + 02 c因为以AB为直径的圆经过右焦点,所以，以因为以AB为直径的圆经过右焦点,所以，以AB为直径的圆方程为x2 + y2=c2,所以有b2 + a2k2 h2 + a2k即 a2h2 + a2h2/f2 = (b2 + a2k2)c2,故(Mb*故(Mb*= b2c2a2b2 ,

12、即/ =b4旷 J7门aV-aV-3，解得艮含2 c2b21故得到综上：E呜号，故选B【点睛】本题考查了椭圆离心率的取值范围问题，离心率的取值范围问题关键是要建立出关 于乌也c的等式（不等式），进而再结合二 = /十d求解出椭圆离心率的取值范围。二、填空题（本大题共 4小题，共20.0分）.抛物线y=4x2的焦点坐标是【答案】啕【解析】【分析】将抛物线y = 4/转化为标准形式，=, 进而解决问题。【详解】解：抛物线y = 4犷可转化为/ = -y- r 11故dp =不即：p = g所以抛物线的焦点坐标为【点睛】本题考查了抛物线的标准方程知识，解题的关键是要将抛物线的方程转化为标准形 式，然

13、后得出抛物线的焦点坐标。14.曲线y=sin2x在点(0, 0)处的切线方程为 .【答案】【解析】【分析】欲求曲线y=sin2x在点(0, 0)处的切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而解决问题.【详解】解：丁 y=sin2x , .f (x) =2cos2x,当x=0时，f (0) =2,得切线的斜率为 2,所以k=2;所以曲线在点(0, 0)处的切线方程为： y- 0=2X ( x-0 ),即 y=2x .故答案为：=【点睛】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程 等基础知识，考查运

14、算求解能力，属于基础题.15.若函数f (x) =lnx-ax有两个不同的零点，则实数 a的取值范围是 .【答案】【解析】【分析】函数= Mx一口方有两个不同的零点， 转化为函数尸与函数y二有两个不同的交点， 根 据图像求解临界情况，得出结果。【详解】解：函数f(为=工一口无有两个不同的零点，即切工一=o有两个不同的解，等价于函数y-1於与函数v =依的图像有两个不同的交点，当直线v =必与曲线y =1心相切时，只有一个交点，此时为临界情况，为二X设切点为为二X设切点为I/，比），则可得 ;，解得根据图像可以得到，当0口）时，直线y = ox与曲线y二出，有两个交点,【点睛】本题考查了函数的零

15、点问题，函数的零点问题可以转化为两个函数的交点问题，然 后通过对临界情况的分析，得出参数的取值范围。16.化简:5 正+%反+述+%+%+1需”护工+0198+201872019 =019【答案】；求和形式中的通项公式为【详解】 解 求和形式中的通项公式为【详解】 解 ,=用牛用牛. g + I）乖+炉口 啊跖可裂项为而E 然后逐项分解求其和。1故原式麻匚+01 =:-可占 TOC o 1-5 h z + ,丁 . K+故原式麻匚+01 =:-可占(k + 1) + /FTT20192018 + 2018/20191 .1 115019=_ = 1逐诃2019019 答案是,【点睛】本题考查了

16、数列的求和知识，数列求和常见的方法有公式法、倒序相加法、错位相 消法、裂项相消法等等，对通项进行裂项是裂项相消法解决数列求和问题的关键。三、解答题（本大题共 6小题，共70.0分）一,一一 ， 一 一 1 . . 一.已知命题 p： ? xo R, xo -ax o+a=0；命题 q：不等式 x+a X? xC （1, +）恒成立,一1若（p） A q真，求实数a的取值范围.【答案】(03【解析】【分析】 求出命题p对应的a的范围，命题q对应的a的范围，再根据( p) A q为真命题求解a的 范围。【详解】解：p真，即关于x的方程x2-ax+a=0有解，则0,即a2-4a0,解得a 4.那么p

17、真，则0v av 4,当 xC (1, +oo)当 xC (1, +oo)时，x+_=x-1 +* 一 1+12 (x-1)+1=3,x-13 x-1q ,贝U aw ( x+) min=3,即 aw 3,x若(p) A q真，实数a的取值范围是(0,3.【点睛】本题考查了建议逻辑的有关知识、函数的性质、方程的解等知识与基本技能方法, 考查了推理能力与运算能力，属于中档题。.数歹 Uan是等差数歹 U, ai=f (x+1), a2=0, a3=f (x-1),其中 f (x) =x2-4x+2 .(1)求通项公式an；1(2)若数列an为递增数列，令 bn=an+1 + an+2+an+3+

18、an+4,求数列匚工的前n项和S.十1【答案】(1)当 x=1 时，an =2n-4 ,当 x=3 时，a n=4-2n ; (2)口/一48( Zn + 3)【解析】(1)题目给出了一个等差数列的前 3项，根据等差中项概念列式a1+a3=2a2,然后把a和a3代入得到关于x的方程，解方程，求出 x后再分别代回a1=f (x+1)求a1,则d也可求，所以 通项公式可求.(2)利用数列是递增数列求出通项公式，化简数列的通项公式，通过裂项消项法求解数列的和即可.【详解】解：(1)数列an为等差数列，所以 a1+a3=2a2,即 f (x+1) +f (x-1 ) =0,又 f (x) =x2-4x

19、+2 ,所以(x+1) 2-4 (x+1) +2+ (x-1 ) 2-4 (x-1 ) +2=0,整理得 x2-4x+3=0 ,解得 x=1 或 x=3. 当 x=1 时,ai=f X x+1) =f (2) =2 - 4 x 2+2=-2 , d=a2-a i=0- (-2 ) =2,n n=ai+ (n-1) d=-2+2 (n-1 ) =2n-4 .当 x=3 时，ai=f (x+1) =f (4) =42-4X4+2=2, d=0-2=-2 .所以 an=4-2n.综上：当 x=1 时，an =2n-4 ;当 x=3 时，a n=4-2n .(2)数列an为递增数列，d0,所以数列a

20、n的通项公式为 an=2n-4 .bn=an+i+an+2+an+3+an+4=8n+4,:-:= (), 16(2n + l)(2n + 3) 32 2n + 1 2n + 3 2n+ 1 2n + 3 48(2n + 3)数列7的前n项和Sn= (- - - +2n+ 1 2n + 3 48(2n + 3)+ i3 d 5 b /【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差中项的概念、裂项求和等知识与方法，题目 体现的解题思想是数学转化思想和方程思想.动圆P与圆F: (x-2) 2+y2=i外切，且与直线 x=-i相切.(i)求动圆的圆心 P的轨迹C的方程；(2)轨迹C上是否存在两点 A,

21、B关于直线y=x-i对称？若有，请求出两点的坐标，若没有，请说明理由.【答案】(i) /二曲；(2)不存在，详见解析【解析】【分析】(i)根据题意知，点P到点F的距离与到直线x=-2的距离相等，并根据抛物线的定义知点P的轨迹是抛物线，找出焦点和准线，即可得出轨迹C的方程；(2)根据题意得知直线 AB与直线y=x-i垂直，可知直线 AB的斜率为-i ,然后设直线 AB的 方程为y=-x+m ,并设点A (xi, yi)、B (x2, y2),将直线AB的方程与抛物线的方程联立，计 0,求出m的取值范围，列出韦达定理，求出线段AB的中点M的坐标，再将点 M的坐标代入直线y=x-i的方程，可得出 m

22、的值，再对 m的值进行检验，从而可对问题进行解答.【详解】解：(i)设动圆P的半径为r,点P到直线x=-i的距离为d,曰=r+l rr则I才，即|PF|=d+1 .则点P到点F的距离与到直线x=-2的距离相等，点P的轨迹是以点F为焦点，直线x=-2为准线的抛物线，故其轨迹方程为y2=8x;(2)设存在满足条件的两点A (xi, yi)、B(X2, y2),因为两点A, B关于直线y=x-1对称，所以设直线AB的方程为y=-x+m,将直线AB与抛物线的方程联立 我二晟，消去y并整理得x2- (2m+8 x+m2=0, .= (2m+8)2-4m2=32m+640,即 m-2.由韦达定理得，xi

23、+x2=2m+J5, x2 rn2 .设线段 AB的中点为点 M (xto, y(0,则 x(o=m+4 y()=- (m+4)+m=-4,.A、B两点关于直线y=x-1对称，所以，点M在直线y=x-1上，即 m+4-1=-4 ,解得 m=-7.m=-7与m -2矛盾！所以，轨迹C上不存在两点 A、B关于直线y=x-1对称.【点睛】本题考查动点的轨迹方程、抛物线的定义，考查直线与抛物线的综合问题，求解直 线与抛物线的位置关系问题时，常用方法是设而不求法，借助韦达定理等手段，将多变量问 题逐步转化为单变量问题，进而解决问题，本题还考查了计算能力、推理能力等. TOC o 1-5 h z 20.在

24、 ABC中，tanA= j, tanB=:. TJ(1)求C的大小；(2)若 ABC的最小边长为 正,求 ABC的面积.3汗3【答案】(1) =； (2)弓 Tg【解析】【分析】(1)利用诱导公式、两角和的正切公式，求得 tanC=-tan (A+B)的值，可得 C的值.(2)根据三个角的正切值，可以得到a最小，利用同角三角函数的基本关系求出sinA、sinB的值，再利用正弦定理求出c的值，进而可得 ABC的面积.13【详解】解：(1) ABC中，= tanA=1, tanB=-,J_ . 一- tanA + tanB . tanC=-tan (A+ =-1 ,1 - tan A tanBC

25、(O.TT).加C=4(2) tanAvtanB, .Av B C, ，a为最小边，a=J2 .,1 sinA _ 3 sinB TOC o 1-5 h z 由 tanA=-=, tanB=,4 cosA 5 cosBsin 2A+cos2A=1, sin 2B+cos2B=1,13sinA=-, sinB=一1, ；：I7，.：三二！u c理 sinC b0)经过点(1,匚)，且焦距为2J3 .a b上(1)求椭圆C方程；(2)椭圆C的左，右焦点分别为 Fi, F2,过点F2的直线l与椭圆C交于A, B两点，求 F2AB面积S的最大值并求出相应直线 l的方程.【答案】(1) 了十/二1; (

26、2) +位一串=0,，-6-踮=【解析】【分析】(1)将点(当代入椭圆方程得 与十靠:1 ,又焦距为2曲，故得5用,进而根据/ 二/十/ 得的值;(2)设直线l的方程为x=my+京，借助韦达定理，用 m表示出三角形AF 2AB面积，利用基本 不等式求出最大值，进而得出直线方程。【详解】解：(1)由已知可得记=1 ,解得a2=4, b2=1, a2-b2 = 3椭圆C方程为Ly2=1, 4(2)由题中左、右焦点易知F1 (-/, 0), F2 (-3 0),若直线l的倾斜角为0,显然F, A, B三点不构成三角形， 故直线l的倾斜角不为0,可设直线l的方程为x=my婿,消 x 可得(吊+4) y2+2j3my-1=0.设 A (xi, yi)、B(X2, y2),2师1贝U yi+y2= - -, yiy2= -m + 4m + 4|y i-y |y i-y 2|=.；/.为：.1：.一12m2 +4十 1、(m2 + 4) m2 + 4,1 _4%2 + 1 d * + 1.F 2AB的面积 S=|FiF2|?|y 72|=4?/?=4后?，2m2 + 4+ 1 + 3当且仅当 吊+1=3,当且仅当 吊+1=3,即m=时，等号成