现代控制理论在动态经济学中的应用

1、现代控制论在动态经济学中的应用王翼自动化学会前理事长宋健教授在自动化杂志的发刊词中写了这样一段话来描述控制理论应用的广泛性：“ 凡是能用定量方法描述的自然现象和社会现象，只要可能由人进行控制的，都可以用控制论的方法进行研究，并能得到人们预想不到的结果”（见教材第2 页，第 17 行） 。这一段话深刻地描绘了现代控制理论的广阔的应用前景，控制论诞生以来的事实证明了它有强大的生命力，它的发展不仅对自动化学科，对很多其他学科（包括经济和管理科学）的发展都作出了重要的贡献，甚至对促进人们的思维方式的变革也产生了重大的影响。反馈的思想、最优化的思想在很多领域被广泛地应用就是例证。 因此有人提出广大的自然

2、科学和社会科学工作者，都必须具备一定的现代控制理论的基础，这对拓展思路、提高工作水平是大有裨益的。经济学家认为经济变量是随时间变化的，经济系统是动态的，对经济系统的研究也应 该是进行动态分析。对经济系统的动态分析包括稳定性分析、能控性、能观测性分析和动 态最优化。控制论诞生以后很快就有人研究控制论在经济系统中的应用，并在第一届IFAC 大会上正式称这一领域为经济控制论。对经济系统的动态分析的研究一直与控制论的发展紧密相连。事实上，在维纳（N.Wiener）的专著控制论问世之前，反馈、调节、稳定等概念已经在一些经济学的文献中出现，此后经典控制论中的PID 调解器曾经于20 世纪 50 年代中期被

3、用于经济系统的镇定。 说明经济学与控制论的发展紧密相连的另一个突出的例子是LQG 问题中的分离定理（见教材第10 章） ， 它 首先由经济学家提出，称为 确定性等价原理， 后来在控制论中得到证明。经济学家H.A.Simon 和 H.Theil 分别与1956、 1957 年独立提出，1960 年由控制论专家证明 。 美国的经济学家和控制论专家在20 世纪 70 年代通力合作研究控制论在经济系统中的应用对这个领域的发展做出了重大的贡献。麦克康耐尔（McConnell ）和布鲁伊（Brue）在经济学一书中定义：经济学是为了在最大 程度上满足人类的物质需要而有效地利用有限 或稀缺资源的社会科学。并指

4、出“经济学是建筑在每个人为了实现 最大 满足，或最大 限度地实现其目标，而进行理性的决策。例如将自己有限的收入用于购买能使它们获得最大利益的物品或服务。对经济系统进行动态分析很自然地引出“动态最优化问题”，经济学家常称为“跨期最优化问题”，即最优控制问题。经济学家samuelson 曾说经济问题可以动态地处理已为人们熟知。他强调经济学的学生如果没有掌握一定的动态系统的理论，常常影响他对现代经济学的理解。动态系统的理论应该包含微分方程和差分方程的求解，稳定性分析，能控性、能观测性分析和最优控制。为了对经济学进行深入研究，掌握这些基本内容是非常重要的。换一个角度来说，自动化专业的学生都有较好的动态

5、系统的理论基础，因此我们有条 件对这个领域感兴趣，有条件对这个领域的问题进行研究。这方面不乏成功的实力。现仅就以下几方面向大家介绍现代控制论在动态经济学中的应用。对宏观经济系统的动态分析可以追溯到萨缪尔森(Samuelson) 1939年和希克斯(Hicks )1950年的著名的经济周期模型。随后就是20世纪50年代和60年代期间对经济增长问题的密集地研究。此后罗默(Romer)1986年关于经济增长的论文发表又发起对新的经济增长理论 的研究高潮，至此长盛不衰。目前对经济系统的动态分析已经渗透到微观经济学和宏观经济 学的很多领域，成为经济学研究的一类重要的方法。动态经济学也成为经济学的一个十分

6、重 要的领域。近20年来，大批欧美的大学的经济类的研究生开设了动态经济学课，讲授对经济系统 进行动态分析的理论和方法，与此相应的是出版了大量的动态经济学的教材。见参考文献 4-20,仅参考文献中列出的2000年以后出版的教材就有 13种。动态经济学的主要基础是微分方程、差分方程、线性代数、概率统计和现代控制理论。所涉及的这几个领域，自动化专业的学生 都有较好的基础的，因此我们 有条件对这个领域感兴趣，有条件对这个领域的问题进行研究。现仅就以下几方面向大家介绍现代控制论在动态经济学中的应用。1.稳定性、能控性与能观测性在动态经济学中的应用能控性和能观测性与稳定性是控制系统的三个非常重要的性质，对

7、于研究经济系统的 分析与控制，这三个性质也是非常重要的。下面介绍经济系统的能控性和能观测性与稳定性。(1)经济系统的能控性能控性是研究控制变量对系统的状态能否产生影响的问题。对经济系统来说，它的能控性是政策变量或决策变量对经济系统的内生状态能否产生影响的问题。这里政策变量、决策变量就是经济系统的控制变量，例如政府支出，利率、货币发行 量、消费策略都可以作为经济系统的控制变量。1)典型经济系统的能控性分析【例1线性价格调整模型的能控性考虑n种商品的价格调整模型Pi = iEDi(p1, Pn) i =1, ,n其中R是商品i的价格，Di(P1,，Pn)和S(Pi,，Pn)分别是商品i的需求函数和

8、供给函 数，EDi(P1, ,Pn) =Di(P1, , Pn)-Si(P1, , Pn)是商品i的过度需求，工是描述反应速度的常数。Pi = iEDi(p1, , Pn) = Di(p1, , Pn) - Si(p1, , Pn) i = 1, ,n现假设需求函数和供给函数都是价格的线性函数。nDi(Pi, Pn) =、aj Pjaioj=1 nSi（Pi, , Pn） =bij Pj bi0j坦aio, bo-an。1bio9aio, bo-an。1bio9，n01 TOC o 1-5 h z Piip=： , A =aj, B =a,r=,:Pn -n-则n种商曲的亦格调整模型写成矩阵形

9、式为p= r(A B) p+ ao - bo至此模型中还没有引进政策变量。如果在需求函数中引入一个能影响需求量的策略变量u,即假设nDi（d，, Pn）- aj Pj aio Uij =1比如目前的家电下乡的优惠政策就是一种能影响需求的策略变量。记U = UiUn T ,则价格调整模型化为P= r( AP= r( A)P aobou或者P= r(a B)p+ r(ao - bo)+ ru由参考文献23的推论5-1 （教材现代控制理论 61页第5题）只需讨论系统p= r（a- B）p+ ru的能控性。对应于该系统的能控性矩阵为U =（a- b）r （a - b）n-1 r如果工o i =1,，n

10、,则rank r = n ,因此U的秩为n,这个系统完全能控。【例2】寡头垄断模型的能控性设有N个公司垄断某种产品的生产，设公司 i在周期k内的产量为qi（k）,初始产量 qi（o）已知，i =1,，N。公司i以利润最大化的原则决定自己的产量，在解公司i的利润最大化问题时，公司i假设其他公司将保持前一周期的产量。这一假设称为Cournot预期。公司i的利润函数为i（q, ） = Pqi -弓式中p是商品的价格，Ci是公司i的成本函数。设Ci (qi ) = biq i - cip = aSq aCi (qi ) = biq i - cip = aSq a。bi . 0NSq 八 qiij于是公

11、司i的利润最大化问题为：Nmax =a% qi (k) qi (k 1) a0qi(k 1) -bqi(k 1) g 11 l d这个利润最大化问题的一阶必要条件为:二 i，(k 1)N= 2aqi(k 1) aq ql(k) a0 -bi =011由上式可解出1 N b - anqi(k 1)、ql (k) -0i =1, ,N2 12al-i它是利润最大化问题的解 q1,，qN必须满足的差分方程组。为分析政府对寡头垄断市场控制的可能性，设政府可以依靠一个决策变量 场,例如税收政策，出口补贴等，它可以使公司的单位产出的成本下降，这时公司 数改为：u(k)影响市i的成本函Ci(q) = (bi

12、 -u)qCi这时5,，qN满足的差分方程组化为N b - u - anqi(k 1)ql(k)i =1, , Ny2a记x =(q1,，qn)T ,则得到寡头垄断系统的状态方程组x(k 1) = Ax (k)其中一0_1 2IL-2b1 a0f =2a9N 一 a0-11 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark807 o Current Document 1,、系统x (k 1) = Ax (k)1u(t)系统2a的能控性矩阵为A NF1) HYPERLINK l bookmark830 o Current Document 11A NF1)，A(U1)2a2a

13、1 - N1-N1 21 d 1 1-N dU = -112a 2a 2即对公司i可以引进策略变量ui 即对公司i可以引进策略变量ui ,使其成本函数为Ci(qi) =(bi -Ui)qi Ci则模型修改为：1x(k 1) = Ax(k) f - u(k) 2a其中u(k)=U1(k) uN(k)，系统1x(k 1) = Ax(k)-u(k)2a的能控性矩阵为U - - I A AN2a 2a2aU的秩为N,该系统完全能控。这表明如果能对每个公司引进一个策略变量影响它的成本函 数，就可以对寡头垄断系统进行控制。2)使系统能控的最小政策手段集合设经济系统的数学模型为并假设它是能控的，其中 u =

14、u1,，UmT是政策手段向量，也就是说 政策手段有 m个。如 TOC o 1-5 h z 果政策手段减少到 m-1个，减少到m-2个，甚至减少地1个，该经济系统还能控吗？因为在经济系统中使用政策手段是需要成本的，因此讨论这个问题是有现实意义的。在以上系统中假设系统矩阵 A有n个线性无关的特征向量 1，% ,则1P = V1, vn0 I使得PAP= 三A0一于是微分方程组(3-2),经变换y(t) =Px(t)化为1y = Px = P Ax + Bu = PAP y + PBu = Ay + PBu即y=阿+ PBu记F = PB = - fj ,于是上式可改写为y1 -1 y1f11u1f

15、1 mu myn - nynfn1u1fnmum这个方程组中，每个方程只有一个状态变量，称为解耦形式。从这个解耦形式可以看出：该经济系统是能控的充分必要条件是矩阵F没有一个行向量为 0向量。由此出发，可以求使系统能控的最小政策手段集合。首先考虑一个政策手段 ui ,为检验单用ui时经济系统是否能控，考虑x = Ax b ui式中bi是矩阵B的第i歹U。这时方程 y=Ay+ PBu化为yi =必fiiuiyn n yn fni Ui由以上分析可以得出结论：如果矩阵F的第i列没有0元素，那么该经济系统是可以由一个政策手段U能控的。如果矩阵 F的所有列都有0元素，那么该经济系统不能由一个政策手 段能

16、控。这时我们可以 用类似的方法讨论能否用两个政策手段进行控制。3)输出能控性和路径能控性设经济系统的数学模型是x 二 Ax Bu输出方程是y(t) =Cx (t)系统的输出可以理解为我们能够观测到的经济变量，方程方程是这些经济变量用状态变量表示的方程式。定义设yo是初始输出向量，如果存在策略变量u(t)在有限时间tf将yo转移到任意事先给定的输出向量 y(tf) = yf,则称yo是输出能控的。如果对任意y0都是输出能控的则称 该经济系统是 完全输出能控的。关于输出能控性有如下定理：定理经济系统x = Ax Buy(t) =Cx (t)输出能控的充分必要条件是矩阵CB CAB CA2BCAn、

17、B的秩为r , r是输出向量的维数。例2的寡头垄断模型中，其实控制总产量y = q +qn就可以了。这相当于y =Cx, C=(1，,1),x =(qj，qn)T这时矩阵CB CAB CA2BCAn4B的秩为1,等于输出向量的维数，因此经济系统是输出能控的。就是说，政府可以依靠一个决策变量u(k),例如税收政策，出口补贴等，使公司的单位产出的成本下降，从而控制该产品的总产量。与输出能控性相对应前面定义的能控性称为状态能控性。状态能控性和输出能控性都是将系统控制到一个点，称为点到点的能控性。从经济学的角度来看这是不够的。 经济调控 的目的不仅是把经济系统的状态控制到某一点，而且要求在一个时间区间

18、内保持这一点， 或者进一步使经济系统的状态按预定的路径运行，因为如果xf这不是均衡状态，将经济系统控制到这个状态后，经济系统还会离开这个状态。例如就业问题中，我们不仅要把就业水平控制到了一个理想的水平，而且要将它保持下去，这就提出了 路径能控性 的问题。路径能控性要求严格跟踪已给的轨线。关于路径能控性有如下定理：定理经济系统x = Ax Buy(t) =Cx (t)路径能控的充分必要条件是矩阵 CB CABCA2nB0CBCA2T B00CBCAn-1 B的秩为(n 1)r , r是输出向量的维数。【例3】Phillips模型为Y ,(:g，；)Y，:退二 Y - . - (?式中a是产出对超

19、额需求的调节速度，P是政府支出G对它的理想值(？的调节速度，0是边际消费倾向，a 0, P 0,0 s 1。引进新的变量% =Y,X2 =Y,记x = & X2，u = (?,化为等价的一阶微分方程组x = Ax Bu即x=01 ： x 0 u_(_:/;)该经济系统的出变量为 x1 =Y ,因此输出方程为y = Cx C = 1 01对于这个经济系统输出能控就是能否通过政府支出能不能控制产出x1 =Y的问题。能控性矩阵0IU =B AB= I R R R yP otP (a co + P)的秩为2 (=n),由定理，该经济系统是能控的。矩阵CB CAB =0 I:娟(、小 - I：)aP0:

20、娟(、小 - I：)aP0:娟门一：娟(：心一 F)2一 o(P (a + P )aPCB CAB CA 2 B CA3 B 0 :0 CB CAB CA2 B =0 000CB CAB 0 0秩为3( = (n +1)r)，由定理，该经济系统是路径能控的结论：Phillips模型对任何非0的参数a , P和任何国都是状态能控，输出能控和路径能控的。即通过对公共支出的操纵可以不仅可以达到要求的产出水平，而且可以在有限时间内保 持这一要求的水平。而且因为该经济系统是路径能控的可以依靠对公共支出的操纵使产出 沿任意要求的路径运动。例如要求产出的路径为Yd(t) =Ye t正数6是要求的增长率，求一

21、个公共支出轨线(?(t)，使得在它的作用下由Phillips模型决定的产出Y(t) = Yd (t)。这样我们的问题是求G?(t)使得微分方程Y ,(:红，；)Y 、律u Y = ： : G?的解为Y(t) =Yd(t) =Y0e显然G?(t)具有佻)=邮，的形式，将Y(t) =Y0e8和G?(t) =&e伊代入以上微分方程得到Y0e t 2:，:：(、：)、 = ；： G0e取P = 5 ,则由上式解得& =卜2 -噌：)：广：Y0于是修=卜 2 : (;) ; /： -Y0et4)有约束条件时经济系统的能控性定义设X0是经济系统初始状态，如果存在策略变量U(t)wu使得在有限时间tf将它转

22、移X(tf)=0,则称x0是在约束条件下能控的。定理如果经济系统x = Ax Bu渐近稳定并且能控性矩阵U =B AB A2B，An,B的秩为n,那么该经济系统是在约束条件下能控的。Austria和Nigeria的小模型 x = Ax Bu这里Y,R,M分别是产出、利率和货币供给量。Austria：_ 0.2693 -17.404Austria：_ 0.2693 -17.404Tg 9.450-0-132.876B =1-1.30 -95.658矩阵 A 的特征值为 k = -0.3022, 2 = -8.8785 , rankBAB = 2Nigeria：A _ 0.535 -3110.50

23、71Nigeria：A _ 0.535 -3110.50710.191-189.610_010926.226| -1.30 1565.854矩阵 A 的特征值为 = 0.2264, % = -1.8643 , rankB AB = 2结论：两个模型都是在约束条件下能控的(2)经济系统的能观测性在实际经济系统中，状态向量不一定能测量，能直接测量的是经济系统的输出。经济系统的能观测性是研究能否通过对经济系统的输出的观测确定经济系统的状态的问题，因此经济系统的能观测性将涉及经济系统的输出方程。下面给出经济系统的能观测性的定义：例4相关市场的能观测性已给出相关市场的模型为p = r( A -B) p

24、+ a。-b0+u设该市场的观测输出为平均价格y(t)1T p(P1Pn)n n则能观测性矩阵为V =- n1T11T r(a-b)-iT(r( a-b)V是一个n阶方阵，该系统完全能观测等价于方阵 V非奇异。当V =- n1T11T r(a-b)-iT(r( a-b)V是一个n阶方阵，该系统完全能观测等价于方阵 V非奇异。当1T 1( A-B)为一个常数乘 以1T时，V奇异，这时系统不完全能观测。例5寡头垄断系统的能观测性假设我们感兴趣的只是产品的总产出量，选取y(k) =1T x：k) =Xi(k)Xn这时C=1 11T能观测性矩阵为1T 1- N1T2A 2 J 一V的秩为1,系统不完全

25、能观测。即由总产量的测量不能确定每个公司的产量。(3)经济系统的稳定性经济学家希望所研究的经济系统是稳定的，因为对于这样的系统一旦偏离了它的均衡状态可以返回均衡状态。这相当于要求经济系统是渐近稳定的。 但是如果经济系统能控，可以通过反馈使闭环系统稳定， 系统稳定化的问题。有些经济系统是开环不稳定的，这是经济系统镇定的问题或称经济在经济系统的最优控制问题中，很多均衡状态是鞍点。 对于二维系统，设系统有两个实特征值，一正一负，正特征值对应的特征向量所在的过均衡点的直线称为不稳定臂,值对应的特征向量所在的过均衡点的直线称为稳定臂。 沿着稳定臂返回均衡状态。当初始状态选在稳定臂上时,负特征系统将1)二

26、维线性动态经济系统的稳定性分析很多动态经济系统是由两个常系数线性微分方程构成的方程组描述的，下面就二维的情况进一步讨论关于动态经济系统稳定性的某些问题。设二维经济系统的状态方程组为其中A二 a11_a21a22a)2显然x = 0是它的均衡状态，如果矩阵A可逆则x =0是该系统的唯一均衡状态。设a有两个不同的特征值八1人并假设V1, V2是与它们对应的特征 向量，则二维经济系统的状态方程组的通解为x=C1 v1e 1tC2v2e 2t下面仅对九i,九2为实数的几种情况进行分析：情况1兀，九2为不同的负实数当tT8时，eT。，i =1,2。由解式知，当tT8时，x(t)T0,即此时均衡 状态x

27、=0是渐近稳定的。这时所有从初始状态出发的解都收敛到均衡状态，这个均衡状态称为稳定结点。结点的特征是所有的轨线都通过这一点。情况2兀，九2为不同的正实数当tT笛时，e为 T笛，i =1,2。由解式知当tT笛时x (t)T笛，即此时均衡状态 X =0是不稳定的。这个均衡状态称为 不稳定结点。情况3九i为正实数，%为负实数前面关于稳定性的定义要求从均衡状态邻近的任意初始状态出发的的解都保持在均衡 状态邻近。由于 人为正实数，此时均衡状态X = 0是不稳定的。在二维经济系统的状态方程组中经常出现这种情况，这时经济学 家并不简单地作出这个系统不稳定的结论，而是做进一步地分析。下面就对这一情况做进一步的

28、分析。在通解x(t) = C1vle 1tC2v2e 2t中，由初始条件x (0) = C1vlC2v2决定C1C2 (两个方程，两个未知数的方程组)当初始状态x(0)位于v1所在的直线上时，由于从v1所在的直线出发的解满足x (0) =C1v1 C2 v2而x(0)又位于vi所在的直线上，因此 C2 = 0,即解式化为x (t) = C1vle 1t这个解总保持在v 1所在的直线上，又由于 为正实数，所以当t T g时e T 9 , 因此称Vi所在的直线为该动态经济系统的 不稳定臂。当初始状态X位于V2所在的直线上时，由于从V2所在的直线出发的解满足x (0) =CiVi C2 V2而x(0

29、)又位于V2所在的直线上，因此 Ci =0,即解式化为x(t) = C2v2e 2t这个解总保持在 V 2所在的直线上，并且由于九2为负实数，所以当tT 8时e/T 0,因此 称V2所在的直线为该动态经济系统的 稳定臂。对于从不在稳定臂和不稳定臂上的点(初始状态)出发的解由解式x(t) = C1 V1e 1tC2V2e 2t给出，在这个解中正特征值占优 。从V1, V2上面出发的解的路径和从 V1下面,上面出 发的解的路径将趋向于 Vi的方向，这时解将趋向于正无限大； 从Vi, V 2下面出发的解的路径 和从Vi上面,下面出发的解的路径将趋向于 Vi相反的方向，这时解将趋向于负无限大。这 种情

30、况下经济系统的均衡点称为 鞍点。图i给出了相图上各部位的点的走向，第一象限的粗箭头是Vi ,另一个粗箭头是 “。按稳定性的定义，经济系统的均衡点为鞍点时，由于有一个正的特征值，因而这个均衡状态是不稳定的。但对这种只有初始状态在V 2所在的直线上时，解才返回均衡状态的情况，常称这个均衡状态是 条件稳定的。在研究这类经济系统时，如果两个变量中，一个变 量的初始值已给， 决策者能自由地选择另一个变量的初始值，就可以选择这个初始值，使得初始状态在稳定臂上，这时经济系统就可以回到均衡状态。经济学中确有一些常见的经济系统的均衡状态是鞍点。例如在最优经济增长模型和投资模型中常出现均衡状态是鞍点的情况。因此

31、概念。鞍点是动态经济系统的稳定性分析的一个重要以下通过实例做进一步说明。经济学中确有一些常见的经济系统的均衡状态是鞍点。例如在最优经济增长模型和投资模型中常出现均衡状态是鞍点的情况。因此 概念。鞍点是动态经济系统的稳定性分析的一个重要【例6】已给动态经济系统的数学模型X =0是它的均衡状态。下面分析该动态经济系统的稳定性。首先求该微分方程组的解。系统的特征方程为2-4 1 -1特征值 及=3相对应的特征向量是24-1V1 =02二1-4 1 -1特征值 及=3相对应的特征向量是24-1V1 =02的解V1所在的直线11为不稳定臂。特征值 = -1相对应的特征向量是一 24 4V2V2-2v2所

32、在的直线12为稳定臂。该例的相平面分析见图 3-3,解的路径由图中的箭头给出，图中第一象限的粗肩头代表 向量V1 ,第四象限的粗肩头代表向量v2。下面进一步分析二维线性动态经济系统渐近稳定的条件。设系统的状态方程为X 二 a HaX 二 a Ha1121a12Xa22它的特征方程为特征值为aiidet1特征值为aiidet1a21a2 Ia a22(a -(aIi a22) &ia22 - a12 a21 = 0(an a22)二 (an a22)- 4 a)i a22 一 a12a212因此二维线性动态经济系统渐近稳定的充分必要条件为：i ： ；，2 = (a11 a22)= tr A :二

33、 0和a11a22 a12a21= det A 0其中tr A表示矩阵A的迹，它的定义是矩阵A的对角线元素的和。于是得到二维线性动态经济系统的如下命题：命题1二维定常线性动态经济系统(全局)渐近稳定的充分必要条件为tr A 0 d e A 0由于上面的两个特征值又可以表示为trA士 ,.： (trA)2 -4det A1,2 二2这表明当且仅当det A 0时，储,%一个为正的实根，一个为负的实根，由此得到关于二 维线性动态经济系统的均衡点是鞍点的如下结论：命题2二维线性动态经济系统的均衡点是鞍点的充分必要条件是det A : 0注多变量线性经济系统的鞍点关于畛点的分析可以推广到一般的n维线性

34、经济系统x = Ax如果系统矩阵 A有k个具有负实部的特征值， 有n - k个具有正实部的特征值， 则存在 包含均衡状态的k维稳定流形使得当初始状态位于该流形上时，系统的状态将收敛到均衡状态。当初始状态位于这个 k维稳定流形以外时系统发散。2)二维系统的相平面分析及在经济系统的动态分析中的应用对于二维经济系统，可以通过相平面分析经济系统的行为，方法是绘制相图。相图是经济系统的状态随时间的演化及调节到均衡状态的过程的图形表现。相图定性地给出我们需要的有关动态经济系统的行为的所有信息对于二维经济系统的动态分析是很有用的。 相图分析是在相平面上进行的， 因此适用于 具有两个状态变量的经济系统。 由于

35、我们遇到的大量实例仅含有两个状态变量， 而且常常有 些函数并未具体给出，相图分析就更显得重要了。二维经济系统有两个状态变量，它们随时间的演化由两个微分方程描述：X1 二fX1 二f1(X1,X2)X2 二f2(X1,X2)这个微分方程组写成向量形式为、KI :f1（X1,X2） x = f （x）x =f （x）=%-2（Xi,X2）-这样的方程组称为独立的，因为它的右端独立于时间。数学中称为自治系统、定常系统、时 不变系统等。相平面分析在状态空间进行，即在X1-X2平面上进行。在X1 - X2平面上横坐标表示X1 ,纵坐标表X2 X2。为了通过绘制相图分析状态随时间的演化，需找出状态变量随时

36、间上升或下降 的区域具体做法是：令x1 =0,得到曲线l1 ： f1（Xi, X2） = 0设想方程组是描述两种相关商品的市场，看第一种商品的市场， 当X1 =0时，这个市场达到均衡。fi（Xi，X2）=0给出了第一种商品达到均衡时X1X2间的关系。沿曲线li , Xi = 0 ,曲线li称为Xi的平稳轨线，它将 平面分成两个区域，在一个区域中X1 0 ,因而X1随时间的增加而上升。看第二种商品的市场，当 X2 =0时，这个市场达到均衡。f2（X）,X2）=0给出了第二种商品达到均衡时X1X2间的关系。在X1-X2平面上令X2=0,得到曲线12： f2（Xi,X2）=0沿曲线12, X2 =0

37、,曲线12称为X2的平稳轨线，它将平面 Xi- X2分成两个区域，在一个区域 中X2 0 ,因而X2随时间的增加而上升。曲线li和曲线12的交点Xi =0和X2 =0同时成立，两个市场同时处于均衡状态，因而是经济系统的均衡状态记为(Xi，X2)0判断的在Il哪边的区域内Xi0;X1; X1则表明在li的右侧X； 0 , Xi(t)随时间递增，在li的左侧Xi 0 , Xi(t)随时间递减。如果沿着li导数丝=1。fXijXi则表明在li的右侧X；0, X(t)随时间递增。类似地，判断的在l2哪边的区域内x2 07X2；：X2则表面在l2的上侧X2 0 , X2(t)随时间递增，在l2的下侧X2

38、 0 , X2(t)随时间递减。如果沿着l2导数2 = 2 0；：X2：X2则表明在l2的右侧X2 0 , X2(t)随时间递增。相图是在相平面Xi-X2平面绘制的，步骤如下:(1)令x1 =0得到Xi的平稳轨线li ；令X2 = 0得到X2的平稳轨线120 11与12的交点 为该经济系统的均衡状态。(2)分析在Xi的平稳轨线li两侧Xi变化的方向并用箭头(称为相箭头)标出；分析在X2的平稳轨线12两侧X2变化的方向并用箭头标出。方法是计算 空,如果;:Xi90表明当X增加时Xi减小，因此在Xi的平稳轨线li的使Xi增加的一侧为 0 ,即当x2 -2X1 + 9时，x1上升；当 -2xi -X

39、2 +9 M0时Xi -2xi+9时，x1下降。同样当x1 X2+30 时，即当 X2 0, X2上升，；当 Xi X2 + 3 0时，即当 X2 A Xi +3时，x2 0 , X2下降。于是得到描述两个相关市场的行为的相图 -图2-9。如果已给经济系统的初始状态(相关市场的两种商品的初始价格)，则可以应用图 2-9定性地描绘出经济系统的相轨迹。例如当初始状态为xi(0) =2,x2(0) =2时，按相图的相箭0,是水平方向，当2-9所示的相轨线。0,是水平方向，当2-9所示的相轨线。00.511.522.533.544.55头所指的方向，再结合上面导出的“当相轨迹穿过l2 （x2 =0）时

40、斜率为相轨迹穿过11 （乂 =0）时斜率为 9，是垂直方向”的结论，可以画出图2.最优控制在动态经济学中的应用在动态经济学中最大量的问题是跨期（隔时）最优化的问题。这一类的问题中，当前的决策影响到未来的决策， 因此必须跨期进行研究。 最优经济增长问题是最典型的例子，本期多消费是以牺牲未来的消费为代价的。因此最优经济增长问题是一个跨期最优化问题。很多动态经济学教程都是集中讨论跨期最优化问题。跨期最优化问题可以在连续时间的框架下进行讨论，也可以在离散时间的框架下进行讨论，本文将在连续时间的框架下进行讨论。由于连续时间跨期最优化问题的求解或进行定性分析，最终都归结为微分方程（组）的求解或对微分方程（

41、组） 进行定性分析。因此，本文以连续时间跨期最优化问题的求解和定 性分析为主线，将动态分析这中需要的微分方程（组）的有关结果纳入其中。(1)跨期最优化(最优控制)问题的提法设经济系统的数学模型为x = f (x, u,t),x(to) = Xo其中X =x，X2，XnT是n维状态向量,u =Ui，U2,，UmT为m维控制向量 或决策向 量。反映对经济系统进行控制的目的的目标函数为tfJ( u) = L( x, u,t)dttoto,ti是最优化实施的区间。跨期最优化问题是：求最优策略u (t)使得u (t)WU并使J u最 大，其中U是决策变量允许的集合。因为目标函数J u依赖于函数u(t),

42、是函数u(t)的函数，常称为称为 目标泛函。这里经济系统的状态变量有n个，决策变量有 m个，为了叙述简单我们仅以一个状态变量一个决策变量的情况介绍对经济系统进行动态分析的基本方法和步骤。考虑如下的跨期最优化问题：Tmax Ju = L(x(t),u(t),t)dt TOC o 1-5 h z u(.)0s.t. X = f (x(t),u(t),t) x(0) = XoXo是给定的状态变量的初始值。(2)跨期最优化的问题的解由最大值原理11162o,可以导出上面的跨期最优化问题的最优解满足的必要条件，为叙述必要条件，先引进Hamilton(哈密顿)函数： HYPERLINK l bookmar

43、k221 o Current Document H (x,u,%) = L(x,u) + 哥(x,u)(1)最优解满足的必要条件为：-:H 八二 0fuX = f (x(t),u(t) x(0) = Xo:H.X九称为协状态变量，(4)称为协状态方程。由(3)、(4)构成的微分方程组称为 正则方程 组或正规方程组。如果最优策略受到约束，问题是求uW U ,使得目标函数 J(u)最大，在上面的必要条件中，条件(2)应以H (x*,H (x*,入*, u*, t)=_H(x*,入*, u,t)u U取代。这个跨期最优化的问题中， 状态变量的终值没有给定，称为终端自由的跨期最优化问题。当状态变量的终

44、端值也给定时，需以条件x(T) = xT代替条件.(T) = 0o终端是自由的跨期最优化问题，应用最大值原理求最优策略的具体步骤如下：第1步：构造系统的哈密顿函数：H (x，入，u,t) = L(x,u,t) + 入 T f (x, u,t)第2步：应用(2),由H空=0 (当U没有约束时)；:u或应用(2)，由Max/H (x*,入*, u*, t) =H(x*,入*, u,t)(当约束 uw U 时)u U导出决策变量u与状态变量x和协状态变量 人的关系，记为u = u(x,入)。第3步：写出以下正则(正规)方程组：x = f (x, u,t),x(t0)=x(0二 H1 入=入(tf)

45、= 0 x，将u =u(x,入)代入正则方程组解出x =x*(t),入=入*。)。第4步：将x = x * (t),入=入* (t)代入u =u (x，入)得到最优策略u* =u(x* (t),入* (t) ) = u*(t)如果决策问题还要求满足边界条件x(tf) = xf ,则以x(tf) = xf取代正则方程组中条件Mtf) =0。为了具体说明以上方法，我们应用最大值原理解一个基金会的最优策略问题。【例7】基金会的最优策略问题某基金会获得一笔基金 20万元，准备存入银行在60年内奖励某些方面有特殊贡献的人。基金会准备在第 60年留下3000元处理基金会的结束事务。假设每年取用的奖金在 1

46、.5万元至4万元之间，已知银行的利率为年利10%,设计一个使用奖金的最优策略，使基金会在60年内从银行取走作奖金的钱的总和最多。设基金会在银行的存款数为x(t),每年取用的钱数为 u(t),则该系统的状态方程为x = 0.1x-u,x(0) = 2 0问题为求u(t)使x(60) =0.3,并使基金会内从银行取走作奖金的钱的总和60J(u) = u(t)dt 0 最大。这里u(t)是决策变量，它是定义在 (0,60)上的函数，J(u)是目标泛函，这是一个典型 的跨期最优化问题。在经济学中常把这个问题简记为：60Max1.5u(t)4Max1.5u(t)4J(u) = u(t)dt0st. x=

47、0.1x-u x(0) = 20 x(60)= 0.3下面应用最大值原理解这个跨期最优化问题：第1步：先写出哈密顿函数H = u 0.1x - u = 0.1x1(1 - ,)u第2步：由最大值原理，u应使哈密顿函数最大，为此应取1.5当1九0时，即九1时u* =4当1 一九 0寸，即儿1时第3步：由于第二步中u只依赖于九，该问题的协状态方程又不依赖于x ,因此我们可以直接解协状态方程：, - -0.1,它的解为 (t) = -“下面分析 Mt)何时小于1,何时大于1。由以上(t)的解式知：如果九(0) 1 ,则在(0, 60)区间内九(t)1,因此在(0, 60)区间内u(t) =4 ,这时

48、 状态方程的初始问题x=0.1x-4x(0)=20的解为x(t) u20e0.1t 40对于这个解，显然 x(60) 1,因此开始时应取u=1.5，解初始问题x =0.1x -1.5x(0) =20应用MATLAB函数 dsoke(Dx1=0.1*x1-1.5,x1(0)=20) ans = 15+5*exp(1/10*t) 得到轨线: x(t) =5(e0.1t 3)对于这个解 x(60) 0.3 ,因此最优解必须在适当的时刻(记为 ts)由u* = 1.5切换到u* = 4,即最优控制为:u*1.50 u*1.50 t tsts :二 t dsoke(Dx2=0.1*x2-4,x2(60)

49、=0.3) ans =40-397/10*exp(1/10*t)/exp(6)得到上面的终值问题解的轨线: x(t) =-39.7e00) 40下面求1i与12的交点对应的时间ts ,为此需解方程5(e0.1ts 3) -39.7e0.1(20)40可以用MATLAB函数解这个方程： solve(15+5*exp(1/10*t)=40-397/10*exp(1/10*t)/exp(6) ans =10*log(250/(50*exp(6)+397)+60这个式子的值可以直接由MATLAB算出： 10*log(250/(50*exp(6)+397)+60ans =15.8995u*问题的解表明切

50、换时间ts上16年，于是得到这个跨期最优化问题的最优策略 1.50 t 16u*、416t 60应用此策略基金会从银行取走的钱的总数为J =16父1.5 + 44父4 = 200 万元应用MATLAB的绘图功能绘出的该例求切换时间的示意图： TOC o 1-5 h z 200,180、.160 -I140 -120 -x 100 、.8060 -40 -r20,0 1EE1J0102030405060t例7表明，在跨期最优化问题的求解过程中，实质的运算是求微分方程组的满足初始条件和终端条件的解，有时辅以适当的图形，这些工作都可以由MATLAB完成。这个例就是依据最大值原理给出的必要条件，应用M

51、ATLAB,采用人-机交互的方式完成的。应用Matlab完成了 4件事：1求微分方程的初值问题的解，即求曲线 | 2求微分方程的终值问题的 解，即求曲线3解代数方程组，求Ii和l2的交点；4绘图。哈密顿函数和协状态变量在经济系统的动态最优化问题中有明 显的经济意义：如果目标函数是总利润，状态变量是资本存量，则协状态变量九为资本的影子价值(shadow value、边际价值或影子价格。影子价值入的含义是在t时刻资本存量增加一个单位所引起的 利润的最大值的增量。哈密顿函数的经济意义是瞬时利润函数，即H(x,%u,t)N是系统达到最 优时在区间t,t + &上的总的利润增量。因此最大值原理要求使利润

52、 最大的策略必使哈密顿函数达最大值，即MaxH(x*, 2*,u*,t)= H(x*,*u,t)u U由于很多跨期最优化的问题的目标函数中带有贴现因子，我们考虑如下的跨期最优化 的问题：max Ju =L(x(t),u(t)e-tdtu(.)0st. x = f (x(t), u(t) x(0) =Xo x(T)= Xt其中P是贴现率。Xo和Xt是给定的状态变量的初始值和终端值。由最大值原理111620,可以导出这个问题的最优解满足的必要条件，为叙述必要条件引进当值Hamilton(哈密顿)函数:H (x,u,九)=L(x,u) + 知(x,u)(5)则最优解满足的必要条件为:(6).:H:u

53、(6)X = f (x(t),u(t) X(0)=X0 X(T)=Xt(7)X如果已知函数 L(.)和f (.)的具体形式，我们可以用上面给出的四步解法求出最优策 略。但是在很多经济系统中，并没有给出函数L(.)和f(.)的具体形式，只是由它们的经济含义，可以得知它们具有某些性质。这时我们虽然不能象例1那样求出跨期最优化问题的解，但是我们仍然能够从函数L(.)和f (.)的这些性质出发得到跨期最优化问题的解的某些定性的结果。(3)局部稳定性分析对以上跨期最优化问题的定性分析是在关于函数L(.)和f (.)的某些假设下进行的，经济系统中常遇到的函数L(.)和f(.)经常满足这些假设条件。这些条件

54、是：函数L(.)和f (.)连续可微，并且满足以下条件Lxx(x,u)：二0 Luu(X,u)；0 Lux(x,u)=0fXX(X,u) 0 fuu(x,u) 0 fux(x,u)=0在现代控制论第6章的例(p.16,p.135)中讲了最优经济增长问题： 状态方程为k = f (k)-c(t) -(、 r)k x(0) = X0 目标函数为效用的贴现值J(C)= 0 6一%(则)出消费C(t)应满足约束条件0 c(t) f (k) 最优经济增长问题是求c(t)使效用的贴现值 J(c)最大。U (C)是消费的效用函数，它具有边际效用递减的性质，即 U (C) 0 ,在这里相当于 条件Luu(x,

55、u) 0,并且被积函数不依赖于状态变量，这相当于条件Lux(x,u) = 0。f(k)是生产函数，它也具有边际产出递减的性质，即 f(k)0,因此状态方程的右端函数满足fxx(x,u) 0o再由于假设了 Luu(x,u)0和 Lu(x,u)0,得到Huu(x,u, ) = Luu(x,u)u(x,u)：二 0这是跨期最优化问题的充分条件，这个条件满足时由必要条件(5)-(8)导出的解必是跨期最优化问题的解。对于跨期最优化问题进行定性分析主要依赖于x-K平面上的相图或 x - u平面上的相图。为了画出X-九平面上的相图，首先需要在正则方程组(7)、(8)中消去U,得到关于X、%的方程组或者关于

56、X、u的方程组。由于它们都是源自必要条件(5) - (8),因此进行分析时，不论从哪个方程组出发都会得到相同的结果。由假设Lux(x,u)=0和fux(x,u) =0,条件(6)化为二 H二 L二f一.= Lu(u) +Mu(u) =0(6):ufufu由于Huu(x,u,九)0 ,因此对方程(6)可以应用隐函数定理，得到u=u?(入)，代入正则方程组(7)、(8)中消去u ,即得到关于x、儿的方程组。由假设Lux(x,u)=0和fux(x,u) =0,方程(8)可以改写为H1- =- - fx(x) , - Lx(x)二 x于是得到正则方程组 TOC o 1-5 h z HYPERLINK

57、l bookmark229 o Current Document x = f (x(t),u?(九)x(0)=x。 x(T)=xt(9)?：=B fx(x)口 Lx(x)(10)下面的问题是：假设正则方程组存在稳态解，分析稳态解的稳定性。求正则方程组的稳态解，是在(9)中令x = 0,在(10)中令4 = 0得到代数方程组(11)(10)。线f(x(t)M,)=0- fx(x)-L(11)(10)。线代数方程组(11)、(12)的解就是系统的稳态解 ，记为xs、Zso分析方程组(9)、 的稳态解的稳定性的方法是 在稳态解邻近线性化，然后分析得到的线性系统的稳定性 性化以后得到的线性方程组的系数

58、矩阵是代数方程组(11)、(12)的雅可比矩阵：(13)_fx(xs)fu (乳 s)l?s)(13)b-sfxx(xs)-Lxx(xs)-fx(xs)x=xs,九步可以利用以下定理进行稳定性分析：局部稳定性定理假设二维经济系统的数学模型是非线性微分方程组x = f (x)x = x1 x2Tf = f1 f2T如果对该方程组在均衡状态附近线性化得到的线性微分方程组，均衡状态是渐近稳定的，则原非线性系统的均衡状态是(局部)渐近稳定的。tr A 0 d e A 0局部鞍点定理假设二维经济系统的数学模型是非线性微分方程组Tx = f (x)x =xi X2设函数f(x)连续可微，那么在某均衡点 x

59、的邻近可以做Taylor展开，得到线性化的微分方 程组x = A(x - X)式中_421aaijXi 三_421aaijXi 三XiX2 =X2i, j =1,2如果det A 0 ,则存在解xi(t), X2 (t)收敛到均衡状态 x ,与过点x平行于对应于负特征值 的特征向量的直线相切。对于这里的动态最优化问题均衡铁机条件是局部鞍点的条件是：A= fX堂det A 0一汉 丸-Xd,7TsOlech (奥利奇)定理已给二维经济系统Tx = f (x) x =X1 X2如果对所有x , tr A 0 , a11a22丰0或者a12a21丰0 ,则原非线性系统的均 衡状态是(全局)渐近稳定的

60、。这里 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark331 o Current Document A/ ,an电tfi( x).A( x)=, aj1, j =1,2 HYPERLINK l bookmark333 o Current Document 21 a22_/上对于这里的动态最优化问题均衡铁机条件是局部鞍点的条件是：|1X.Xa = a.诿.生旦J&Xa一进一步假设fX(XS)0,则J(XS,九)的(1, 1)元素为负，(2, 2)元素为正。由Lxx(x,u) 0 fXX(X,u) 0,得出(2, 1)元素为正，式(6)关于九求导数，得到(?() =-九(我)