对应与变换精品课件

1、对应与变换第1页，共17页，2022年，5月20日，2点3分，星期三一、对应与变换第0章 几何变换概论3. 变换 定义0.7. 集合A到自身的对应f 称为变换, 若f 是双射, 则称f 为集合A上的一个一一变换. 注. (1). 变换是特殊的对应. (2). 设在A上定义了一个变换f , 则A的任一个元素a都具有双重身份, 即a既是A中某个元素在f 下的像, 也是A中某个元素在f 下的原像, 因为f -1也是A上的一个变换. (3). 集合A上的变换f 与自身的乘积ff也记作f 2. 定义0.8. 若集合A上的一个变换将A的每一个元素变为其自身, 则称之为集合A上的一个恒同变换, 恒同变换记作

2、i.第2页，共17页，2022年，5月20日，2点3分，星期三一、对应与变换2. 对应的乘积(复合)第0章 几何变换概论3. 变换 定理0.3. 设f 为集合A上的一个双射. 则 定义0.9. 设f 为集合A上的一个双射. 若存在aA, 满足f(a)=a, 则称a为f 的一个不变元素. 设P为集合A中的元素或子集所带有的某种性质(或数量), 若变换f 能够保持P不变, 则称P为变换f 的一个不变性质(或数量), f 的不变性质和数量统称为f 的不变性. 归纳：高等几何将用几何变换的观点讨论问题, 主要是研究几何空间中的图形在某种双射(一一变换)下的不变性. 类似于代数中对同构的讨论.整理发布第

3、3页，共17页，2022年，5月20日，2点3分，星期三一、对应与变换第0章 几何变换概论二、正交变换解几中的坐标变换平面上的点、图形均不改变其位置, 但是随着坐标系的变动而取得不同的坐标或得到不同的描述.改变观点平面上的点变换在平面上点的集合上给定某种双射(一一变换)f , 研究点以及由点构成的图形与他们在f 下的像之间的关系.坐标系运动而点和图形不动点和图形运动而坐标系不动第4页，共17页，2022年，5月20日，2点3分，星期三第0章 几何变换概论二、正交变换1. 正交变换 定义0.10. 保持平面上任意两点间的距离不变的点变换称为平面上的一个正交变换. 定理0.4 (1). 两个正交变

4、换的积是一个正交变换, 从而任意有限个正交变换的积是一个正交变换. (2). 平面上的恒同变换是一个正交变换. 证明 由定义0.10, 显然. 注：设为平面上的一个正交变换, A, B为平面上两个点, 且 (A)=A, (B)=B, 则|AB|=|AB|.第5页，共17页，2022年，5月20日，2点3分，星期三第0章 几何变换概论二、正交变换1. 正交变换 定理0.5 正交变换使平面上共线三点变成共线三点; 不共线三点变成不共线三点, 而且保持两直线的夹角不变. 证明 设A, B, C为平面上三点, 为正交变换, 且上述三点在下的像依次为A, B, C. 若A, B, C共线且B在A, C之

5、间, 则有|AB|+|BC|=|AC|. 由正交变换的定义有即A, B, C仍然为共线三点且B在A, C之间. 若A, B, C不共线, 则必有即A, B, C仍然为不共线三点. 第6页，共17页，2022年，5月20日，2点3分，星期三第0章 几何变换概论二、正交变换1. 正交变换 定理0.5 正交变换使平面上共线三点变成共线三点; 不共线三点变成不共线三点, 而且保持两直线的夹角不变. 证明 设A, B, C为平面上三点, 为正交变换, 且上述三点在下的像依次为A, B, C. 设A, C分别在B两边上且异于B, 则A, B分别在B的两边上. 且|AB|=|AB|, |BC|=|BC|,

6、|AC|=|AC|. 即ABCABC, 于是, B =B, 即正交变换保持两直线的夹角不变. 注：(1). 正交变换使得一个三角形变为与其全等的三角形. 进而, 正交变换使得任何封闭图形变为与其全等的封闭图形, 使得任何平面图形变为可以与其重合的图形. (2). 正交变换使得平行直线变为平行直线, 矩形变为与之全等的矩形.第7页，共17页，2022年，5月20日，2点3分，星期三第0章 几何变换概论二、正交变换1. 正交变换 定理0.6 正交变换使平面上的直角坐标系变为直角坐标系. 证明 由定义和定理0.5, 显然正交变换将平面上的一个直角坐标系O-exey变为另一个直角坐标系O-exey.但

7、是有下述可能右手系右手系右手系左手系第8页，共17页，2022年，5月20日，2点3分，星期三第0章 几何变换概论二、正交变换1. 正交变换 定理0.7 对于平面上的一个取定的直角坐标系, 点变换是正交变换 具有表达式 证明 可据定理0.6利用向量法证明, 略.其中(x, y)与(x, y)为的任一对对应点P, P的坐标, 矩阵 注1：对于正交变换的矩阵A, 显然有A-1=A, 且|A|=1或|A|=-1. 当|A|=1时, 将右手系变为右手系, 称为第一类正交变换； 当|A|=-1时, 将右手系变为左手系, 称为第二类正交变换.第9页，共17页，2022年，5月20日，2点3分，星期三第0章

8、 几何变换概论二、正交变换1. 正交变换 注2：正交变换(0.1)在形式上与平面解析几何中的直角坐标变换式完全相同.从相对运动的观点看, 坐标变换也是正交变换第10页，共17页，2022年，5月20日，2点3分，星期三第0章 几何变换概论二、正交变换(1). 平移变换 定义0.11. 将平面上的每个点都向着同一个方向移动相同的距离的变换称为平面上的一个平移变换, 简称平移. 定理0.8 设在平面上取定了一个直角坐标系O-exey, 并给定一个向量c(c1,c2). 则由此可惟一确定平面上的一个平移, 其直角坐标表示为其中(x,y)与(x,y)为平面上任一点P与其在下的像点P的坐标. 注：显然,

9、 平移是正交变换.2. 正交变换实例第11页，共17页，2022年，5月20日，2点3分，星期三第0章 几何变换概论二、正交变换(1). 平移变换 定义0.12. 将平面上的每个点都绕着同一个点旋转相同的角度的变换称为平面上的一个旋转变换, 简称旋转.(2). 旋转变换 定理0.9. 设旋转使得平面上的每个点都绕着坐标原点旋转角度, 则的直角坐标表示为 证明 设|OP|=|OP|=r. 则利用三角恒等式展开, 可得第12页，共17页，2022年，5月20日，2点3分，星期三第0章 几何变换概论二、正交变换(1). 平移变换(2). 旋转变换 注：显然, 旋转变换是正交变换. 定理0.10 平面

10、上的一个平移与一个旋转的乘积是一个第一类正交变换. 进而, 平面上有限多个平移与旋转的乘积是一个第一类正交变换. 第一类正交变换称为平面上的刚体运动.(3). 轴反射变换 如右图, 怎样的变换可以使得 ABC 重合于 ABC ?仅平移或旋转是不可能的.第13页，共17页，2022年，5月20日，2点3分，星期三第0章 几何变换概论二、正交变换(1). 平移变换(2). 旋转变换(3). 轴反射变换 定义0.13. 设l为平面上取定的一条直线. 将平面上的每个点都变为关于l的对称点的变换称为平面上的一个轴反射变换, 简称轴反射, 直线l称为反射轴. 特别地, 关于x轴的轴反射为 关于y轴的轴反射

11、为 注1：显然, 轴反射是一个第二类正交变换. 注2：应用轴反射(0.4)于上述平面, 即可将三角形ABC变为三角形ABC.第14页，共17页，2022年，5月20日，2点3分，星期三第0章 几何变换概论二、正交变换(1). 平移变换(2). 旋转变换(3). 轴反射变换 定理0.11 平面上的一个轴反射与一个第一类正交变换的乘积是一个第二类正交变换. 定理0.12 正交变换的逆变换仍然是一个正交变换. 定理0.13 设M表示平面上全体正交变换的集合. 综上, 有 上述性质使得M对于变换的乘法构成一个群, 叫做正交变换群. 注：以几何变换的观点看待欧氏几何. 欧氏几何就是研究在正交变换群M的作用下保持不变的几何量和几何性质, 即所有与距离有关的几何量和几何性质.第15页，共17页，2022年，5月20日，2点3分，星期三第0章 几何变换概论三、仿射变换1. 透视仿射变换 定义0.14. 对于空间中两平面, 给定一个与两平面不平行的投射方向, 则确定了到的一个透视仿射对应(平行投影). 上任一点P在上的像即为过P且平行于投射方向的直线与的交点P. 注1：透视仿射对应是两平面的点集之间的一个双射. 透视仿射对应使共线点变为共线点, 不共线点变为不共线点, 平行直线变为平行直线； 透视仿射对应保持同一直线上两线段的比值不变