工程数学精品课件

1、工程数学第1页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三主要意义数学理论解决实际问题信号与系统（复变函数）数字信号处理（积分变换）电磁场理论（数理方程）培养推理、归纳、演绎和创新能力2第2页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三复变函数与积分变换主要内容复变函数内容与高等数学相对应复数、复函数、复导数、复积分、级数新添内容留数和保形映射积分变换高等数学的内容傅立叶变换新添内容离散傅立叶变换、离散沃而什变换、梅林变换、z变换3第3页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三主要要求按时完成作业学习态度认真深入领会数学理论掌握并能运用数学理论和方法解决实际问题成绩

2、平时3040期末考试60704第4页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三复变函数5第5页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三复变函数发展史十六世纪引入十七和十八世纪，复变函数得到了发展J.达朗贝尔（17171783）和L.欧拉（17071783）逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并应用复数和复变函数研究流体力学十九世纪，奠定了复变函数的理论基础A. L. 柯西（17891857）和K.外尔斯特拉斯（18151897）应用积分和级数来研究复变函数G.F.B.黎曼（18261866）研究了复变函数的映照性质二十世纪，复变函数称为数学的重要分支应用

3、领域不断扩展电学、热学、理论物理、空气动力学、流体力学数学的其他分支（如微分方程、积分方程、概率论和数论等等）6第6页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三主要内容第一章、复数与复变函数第二章、解析函数第三章、复变函数的积分第四章、级数第五章、留数7第7页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三第一章、复数与复变函数8第8页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三主要内容1.1 复数的概念与运算1.2 复变函数9第9页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三1.1 复数的概念与运算主要内容：1、复数及其代数运算2、复数的几何表示3、复数四则运算

4、的几何意义4、复球面5、复数的乘幂与方根10第10页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三1、复数及其代数运算什么是复数？称为复数实部虚部虚数单位x = Re(z)y = Im(z)称为纯虚数称为实数11第11页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三1、复数及其代数运算两个复数相等的条件；当且仅当实部与虚部分别相等一个复数等于零的条件：当且仅当实部与虚部同时等于零共轭复数：x + iy和 x iy记做12第12页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三代数运算复数的和、差、积、商对复数 和 ：和、差：乘法：除法：13第13页，共40页，2022年，5月2

5、0日，4点4分，星期三代数运算算律：交换律：结合律：分配律：14第14页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三2、复数的代数运算复数的常用运算（1）（2）（3）若 ，则 与 至少有一个为零证明：若（4）15第15页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三代数运算举例：例1：例2：求证：16第16页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三代数运算共轭复数的运算性质：（1）（2）（3）（4）17第17页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三2、复数的几何表示实数（x,y）与x轴和y轴构成的二维实数平面一一对应那么复数呢？复数 由一对有序实数（x，

6、y）唯一确定x轴上的点对应实数，因此x轴被称为实轴y轴上的点对应虚数，因此y轴被称为虚轴 表示复数z的平面被称为复平面或z平面复数的第一种表示方法18第18页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三2、复数的几何表示复数z与从原点O到z = x + iy 所引向量构成一一对应关系复数的第二种表示方法Oxyzx+iyargz|z|z|：向量z的长度，称为复数z的模Argz：由实轴的正向到向量之间的夹角， 称为复数z的幅角19第19页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三复数的模复数模|z|的性质：（1）（2）（3）（4）（5）（6）Oxy|z1+z2|z1-z2|z1z

7、220第20页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三复数的模求证所以：21第21页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三复数的模求证当 时：有：当 时，同理有：所以：22第22页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三复数的幅角Argz有无穷多个值，每两个值相差2 的整数倍只有一个值在（ ， 的范围内，该值被称为主值，记做argzArgzargz2k （ ）tan(Argz)=当z0时，z的模值为0，幅角不定23第23页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三复数的幅角例5：求Arg（22i）和Arg（34i）24第24页，共40页，2022

8、年，5月20日，4点4分，星期三3、复数四则运算的几何意义根据直角坐标系和极坐标系的关系可得复数z的三角表达式：根据欧拉公式：可得复数z的指数表达式：25第25页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三3、复数四则运算的几何意义定理11：两个复数乘积的模等于它们模的乘积；两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和即：例7：z1= -1, z2 = i, 求Arg（z1z2）？表示集合的相等，即对等式左端的任一值，等式右端必有一值与之对应，反之亦然对两个非零复数：Oxy|z1+z2|z1z226第26页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三3、复数四则运算的几何意义定理12：两

9、个复数商的模等于它们模的商；两个复数商的幅角等于它们被除数与除数的幅角差即：对两个非零复数：用指数表达式计算复数的乘积与商，可得：27第27页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三3、复数四则运算的几何意义例8：z1= 1+ i, z21i, 求z1z2，z1/z228第28页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三3、复数四则运算的几何意义由于因此：当 增加或减少 时， z点沿圆周移动一圈回到出发点，因此，两者表示同一个复数Ox yOxyzz029第29页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三O4、复球面（1）复数的球面表示NzPZ：复平面上任意一点N

10、：球面与垂直于复平面的射线的交点P：z和N的连线与球面的交点（异于N）或者说，过N和球面上异于N的任意一点P的直线，与复平面交与一点z因此，球面上点P与复平面上点z一一对应，即复数可以用球面上的点表示30第30页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三4、复球面（2）扩充复平面当P点无限逼近于N点时复平面上没有复数与之对应z点无限远离原点：该点就被称为“无穷远点”包含了无穷远点在内的平面称为扩充复平面为了使扩充复平面的点与球面上的点一一对应，规定“无穷远点”是唯一的无特殊情况，只考虑有限复数及复平面31第31页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三4、复球面（3）复数

11、不等于0的有限复数 与 的运算为：那么关于 ， ， 以及 的运算呢？无意义！32第32页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三5. 复数的乘幂与方根主要内容：复数的乘幂复数的方根33第33页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三（1）复数的乘幂n为正整数n为正整数约定 ，因此n为负整数定义 ，因此：数学归纳法34第34页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三（1）复数的乘幂 当r = 1时，则上述公式变为： 即：棣莫弗（De Moivre)公式35第35页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三2、复数的方根称满足方程 的复数 为该方程的n次方根记做 ，即 ，或是记做 ，此时求解该方程：设 ，则：36第36页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三2、复数的方根所以，复数的方根为：复数方根的几何意义当 时可以得到n个单根n个单根在几何上表现为以原点为中心，以 为半径的圆中，内接正n 边形的n个顶点k取其他值，得到的根与这n个单根中的某个根重合137第37页，共40页，2022年，5月20日，4点4分，星期三2、复数的方根