小学奥数专题-组合之插板法.教师版

1、 m m n m n 07-5-4. 之 m m n m n 0教学目使学生确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；了解组数的意能根据具体的问,出符合要求的组合；掌握组的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；会分析数字有关的计数问以及与其他专题的综合运,养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习对组合的一些计数问题进行归纳总结,点掌握组合的联系和区别,掌握一些组合技巧, 如排除法、插板法等知识要一、组合问题日常生活中有很分组”问题如体育比把参赛队分为几,全班同学中选出几人参加某项活 动等等这种分问题就是我们将要讨论的组合问这里我们将着重研究多少种分组方法的问题一般地, 个不同元素中取出

2、m )元素组成一组不计较组内各元素的次序 叫从 个同元素 中取出 个素的一个组合从排列和组合的定义可以知,列与元素的顺序有而合与顺序无关果个组合中的元素完全相 同,那么不管元素的顺序如,是相同的组合,有当两个组合中的元素不完全相同,是不同的组合从 个同元素中取出 元素 ( m )的有组合的个数 ,叫做从 n 不同元素中取出 个同元素的 组合数记作 一般地求从 n 个同元素中取出的 m 个素排列数 P可分成以下两步:第一步从 n 个同元素中取出 个元素组成一组共 C种方法；第二步将一个组合中的 m 元素进行全排共有 种排法根据乘法原得到 mP 因此组合数 C n P mm这个公式就是组合数公式二

3、、组合数的重要性质一般地组合数有下面的重要性质 C n( m )这个公式的直观意义: 表示从 n 个素中取出 个素组成一组的所有分组方法 表示从 n 个 元素中取出( n )个元素组成一组的所有分组方法显, n 个元素中选出 m 个素的分组方法恰是从 n 元素中选 m 个素剩下( )个素的分组方法例如从 5 人选 人开会的方法和从 人选出 2 人不去开会的方法是一样多的,即 C规定 C n例题精C插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总使用插板法一般三个要求:所要分7-5-4.组合之插板法.题库教师版page 1 5 3 3 7 解的物体一般是相同:要分解的物体必须全部分完:参与

4、分物体的组至少都分到 1 个物体不能有没分 到物体的组出现 3 3 7 在有些题目中 已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符 ,对此应当对已知条件进行适当的变形 ,使 得它与一般的要求相再适用插板法使插法般如三类 个人分 n 个西,求每个人至少有一个这个时候我们只需要把所有的东西排成一排 在其中的 ( 个空隙中放上 ( 个板所以分法的数目为 C 个分 n 个东西要求每个人至少有 个个时候,们先发给每个人 ( 个还下 n ( 个西,这个时我们把剩下的东西按照类处理就可以了所以分法的数目为 n 个分 n 个东西允许有人没有分到时,们不妨先借来 m 东每个人多发 1 个这样就和类型一样了不过这时候

5、物品总数变成了 n ) 个因分法的数目为 Cm 【 1 将三同的花四同样黄摆成排 ,求盆花不相 共 法【考点】计数之插板法 【度2 星 【型】填空【关键词】希望五年级一, 18 种同放【解析】 四盆花摆好,剩下 5 个子可插进红选三个位置将三盆红花插, C =5种选择 =10 ,以有 【答案】 10 种【 2 在 23, 的意列使相两互的列式有_ 种【考点】复杂乘法原理 【难度4 星 【型】解答【关键词】西城实验【析 这 数之间如果有公因,那么无非是 3 数中的 4 个偶数一定不能相邻对于这类多个元素不相邻的排列问考虑使插入法即首先忽略偶数的存对奇数进行排列然将偶数插入但在偶数插入时,要考虑

6、6 相的况奇数的排列一共有 24 种对任意一种排列 4 个形成 空,将 6 插入,以有符合条件的 个位置可以插再在剩下的四个位置中插入 、8,一共有 24 种所以一共有 24 种【答案】 1728【 3 有 10 粒,分三吃,每天至吃粒共有少不的法【考点】计数之插板法 【度2 星 【型】解答【析 如图 eq oac(,:)| eq oac(,) 将 粒如下图所示成一这样每两颗之间共有 9 个,从头开始吃若相邻 两块糖是分在两天吃就在其间画一条线隔开表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉, 个空中画两条竖一共有 种法【答案】 36【固小有 块糖每至吃 块7 天完她共多种同吃？【考点】计数之插板法

7、 【度3 星 【型】解答【析 分三情况来考虑: 当红最多一天吃 块时 余各每天吃 1 块 吃 块这天可以是这七天里的任何一天 ,有 7 种吃 法； 当红最多一天吃 时 有一天吃 2 块 其余五天每天吃 块 先选吃 块那天 ,有 7 种选择 , 选吃 2 块那天有 6 种择由法原理有 7 42 吃法； 当 小 红 最 多 一 天 吃 2 块 时 , 必 有 三 天 每 天 吃 2 块 , 四 天 每 天 吃 块 , 从 天 中 选 天 有 C (种)法 根据加法原小红一共有 42 (种不同的吃法7-5-4.组合之插板法.题库教师版page 2 56 3 5 5 2 另外还可以用挡板法来解这道 块

8、有 9 个选 空放挡板, C6 3 5 5 2 9【答案】 9 种不同的吃法【固有 12 块糖小光 天吃,每天至要一块问共 种吃【考点】计数之插板法 【度3 星 【型】解答【关键词】西城实验【解析 将 12 块排成一,间共有 11 个空, 个中挑出 个插挡,把 块糖分成 6 堆则样的每一种分法即对应一种吃,所以共有 C 11 462 【答案】 462【固把 5 件同礼全部给 3 个朋 ,要使个朋都到物 则礼的同法共 种【考点】计数之插板法 【度3 星 【型】解答【关键词】十三小升初入测试【解析 把 件同的礼排成一,中间有 个间隔现用两个板去,每个间隔最多放一个板这 个 的每一种放法都把 5 件

9、物分成 3 份所这两个板的每一种放法都应一种分礼物的方法而板的 放法有 C 种所以分礼物的不同方法有 6 种【答案】 【固把 7 支完全同铅分甲乙丙 个人每至 支,问有少方？【考点】计数之插板法 【度3 星 【型】解答【析 将铅笔成一排 两块挡板将这一排铅笔隔开成三份 , 后分与甲、乙、丙 ,挡可插入的位置一共 有 7 个 个置中安插两个不分次序的挡板一共有 6 种法处理分东西的问题用 隔板挡)可以顺利解决【答案】 15【固学合团从 个班补 名同,每个至 1 名共多种抽方？【考点】计数之插板法 【度3 星 【型】解答【析 插板法8 名同学之间有 7 个, 5 板,共有 77 (种)方法【答案】

10、 【 4 只无差的子到 3 个同盘里允许的子着请一有少不的法？ 【考点】计数之插板法 【度3 星 【型】解答【解析 把 10 只差别的橘子放到 个同的盘子里允许有的盘子空着然后在每个盘子里再加一个橘 这就变成了把 13 只差别的橘子放到 3 个同的盘子里不允许任何一个盘子空着反过来也是一 样把 只橘子放到 3 个子不允许任何一个盘子空着,从每一个盘子中取出一个橘,这就变回 题目中的放法所以把 10 只差别的橘子放到 个同的盘子里且允许有的盘子空着的放法数 和把 只无差别的橘子放到 个同的盘子里且不允许任何一个盘子空着的放法数目相同 我们现在来计算把 13 只无差别的橘子放到 个同的盘里且不允许

11、任何一个盘子空着的放法数 目这时我们用隔板地方,这 只子排成一则这 13 只子之间有 12 个隙我们只要选 定这 12 个空隙中的 2 个隙再两个空隙中分别放一块隔这样就分成了 组就相当于把这 只橘子分成了 堆,如下图所以只要求出从 12 个隙中选出 2 个隙多少种方法就可以了 C ,所以题目中所求的不同的放法有 66 种【答案】 【巩固 将1 个相的果放 3 个不的子,许盘空。共有 【考点】计数之插板法 【度3 星 【型】填空【关键词】学而思杯, 级第 【解析】 C 105 种【答案】 105 种种同放。7-5-4.组合之插板法.题库教师版page 3 59 【 5 把 20 个果给 3 个

12、朋,每人最分 3 可有少不的法 【考点】计数之插板法 【度3 【型】解答9 【解析 先每人 2 个还有 个果每至少分一个13 个插 板,有 C【答案】 种法【固三学组织次欢会共演 个目如果校少出 3 个节,那么这所校出目 数不情共多种【考点】计数之插板法 【度3 星 【型】解答【析 由于校至少演出 个所以可以由每所学校先分出 2 个节目,下的 8 个目再由 3 学校分 也就是在 8 个体间插入 个板8 个物体一共有 个隔这样的话一共有 法【答案】 【 6 (1小有 10 块每至吃 1 块, 天完共多种不吃()小明有 块糖每至吃 1 块, 天 8 天之吃,共有少种法【考点】计数之插板法 【度3

13、星 【型】解答【析 将 10 拆 自然数的有两种拆法,若 8 天中有 7 天每天吃一,外一天吃三有 8 种法若 8 天中有 6 天每天吃一,外 天天吃两块有 种法所以共 种法（2考虑有 n 块每至少吃 1 块 天内吃完的情况将 n 块排成一行,样在 n 块之间就 产生了 个隙可以在这些空隙中插入竖如果一条竖线都没有,代表着 天把所有的糖吃 完如果每个空隙都插入竖线 ,代表着每天吃一块糖 天完每个空隙都可以选择插或者不插 ,这样每一种插法都代表着一种吃法每个空隙都有插或者不插两个选所以 个隙有 2n-1种插法即 块每天至少吃 1 块一有 n-1种不同的吃法 块时 之内吃完共有 9=512种吃法

14、糖 9 天吃完时,其中 天吃 2 块其余 8 每天吃 共有 9 种法10 糖 10 天完时每 天吃 1 块有 种吃法512-9-1=502,以 块糖 天或 8 天之内吃完,共有 502 种法【答案】 502【固有 粒每至吃粒吃为共多种同吃？【考点】计数之插板法 【度3 星 【型】解答【析 初看题似乎觉得很好入手比可以按天数进行分类枚: 吃完的有 1 种法这吃 10 ；2 天完的有 9 种法,；当枚举到 天吃完的时情就有点错综复杂,叫人无所适从所以我们必须一种角度来思考 不妨从具体的例子入手来分析,如这 10 块分 4 天完第 1 天吃 2 块第 天吃 块第 3 吃 1 块第 天吃 4 块我们可

15、以将 10 eq oac(,“)代 10 粒把 个 eq oac(,“)排一排, eq oac(,“)之共 个位若邻两块糖是分在两 天吃的就在其间画一条竖线如下图| eq oac(,)| 比如上图就表示第 1 天 块；第 2 天 ；第 天吃 块第 天 4 这样一每一种吃糖的方法就对应着一在 9 个位中插入若干个|的方法要求有多少个不同的 吃法就是要求在这 个空位中插入若干“的法数由于每个空位都有画|与不两可能:每个空位都有画“|”与不画“”两种可能根据乘法原理,在这 个位中画若干“的方法数有: 这也就说明吃完 颗糖共有 512 种同的吃法 【答案】 97-5-4.组合之插板法.题库教师版pag

16、e 4 52 2 2 【 7 马路有号 1 , 10 的十只路 为约电能清面可把中三灯掉,但又 不同关相的只在两的也能掉情下求满条的灯法多种2 2 2 【考点】计数之插板法 【度3 星 【型】解答【解析 10 灯关掉 只,实际上还亮 只灯 而要求不关掉两端的灯和相邻的灯 题可以转化为在 只着的路灯之间的 6 个档中放入 只灭的, 【答案】 203620 种法【固 学新建一道上 12 盏灯,为节用而不响常照 可以灭中 盏 但端灯能灭也能灭邻的 2 盏,么熄的法有少？【考点】组合之基本运用 【难度3 星 【题型】解答【解析】 要熄的是除两端以外 盏,不相邻以看成有 0 盏,共有 空位,这 9 个位

17、中找 个空位的方法数就是熄灭 盏的方法,么熄灯的方法数有 9【答案】 369 36 (种【 8 在四数各数之是 4 的四数多？【考点】计数之插板法 【度3 星 【型】解答【解析 设四位数为 ,照题意,们有 A 但对 A 、 B 、 、 D 要求不,因为这是 一个四位数,以应当有 A 而他三个字母都可以等于 0,样就不能使用我们之前的插板法, 因此我们考虑将 B 、C 、 D 加上 这 B C 、 D 都少是 1,且这个时候它们的和为 4 即问题变成如下表达:一个各位数字不为 0 的位数它的各位数字之和为 这样的四位数有多少个？采用插板法,有 6 个,要插入 个可知这样的四位有 C 个3620

18、个,应着原四位数也应该有 【答案】 20【固大 2000 小于 3000 的位中字等于 9 的数有少？【考点】计数之插板法 【度3 星 【型】解答【解析 大 小 的位数首位数字只能为 所后三位数字之和为 后位数字都有可能为 0, 为使用隔板先将它们变成至少为 的可以将每个数都加上 这样它们的和为 且个数都至少为 1,么采用隔板,相当于在 9 个隔中选择 2 个入隔板, C9位数有 36 个36 种法所以满足题意的四【答案】 36【 9 兔妈摘 个相的菇分在 个相的子 ,果允有筐共多种同装 法如分在 3 个不的筐里不允有筐又有少不的法【考点】计数之插板法 【度4 星 【型】解答【解析 装在 个相同的筐子里,两不同的装法意味着这两种装法中 3 个子里的蘑菇数量不完全相 同可以进行分类讨:果每个筐至少有 个, 1 种情况；果每个筐至少有 4 个则相当于把 1 蘑菇分装在 筐子,且至少有 1 个子是空 的否则没有筐子是空,将与中的情况相同,(和0,1,2