历年考研数学一真题及答案1987

1、本文格式为Word版，下载可任意编辑 历年考研数学一真题及答案(1987 历年考研数学一真题1987-2022 （经典珍藏版） 1987年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.把答案填在题中横线上) (1)当x =_时,函数2x y x =?取得微小值. (2)由曲线ln y x =与两直线e 1y x =+-及0y =所围成的平 面图形的面积是_. 1x = (3) 与两直线 1y t =-+ 2z t =+ 及 121 111 x y z +=都平行且过原点的平面方程为 _. (4)设 L 为取正向的圆周2 2 9,x y +=则曲线

2、积分 2(22)(4)L xy y dx x x dy -+-? = _. (5)已知三维向量空间的基底为 123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),=则向量(2,0,0)=在此基底下的 坐标是_. 二、(此题总分值8分) 求正的常数a 与,b 使等式2 01lim 1sin x x bx x =-?成立. 三、(此题总分值7分) (1)设f 、g 为连续可微函数,(,),(), u f x xy v g x xy = =+求 ,.u v x x ? (2)设矩阵 A 和 B 满足关系式 2, +AB =A B 其中 301110,014? ?=? A 求矩阵. B 四、(此题总分

3、值8分) 求微分方程26(9)1y y a y +=的通解,其中常数0.a 五、选择题(此题共4小题,每题3分,总分值12分.每题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设2 ()() lim 1,() x a f x f a x a -=-则在x a =处 (A)()f x 的导数存在,且()0f a (B)()f x 取 得极大值 (C)()f x 取得微小值 (D)() f x 的导数不存在 (2)设() f x 为已知连续函数0 ,(),s t I t f tx dx =? 其中0,0, t s 则I 的值 (A)依靠于s 和t (B)依靠于s

4、 、 t 和x (C)依靠于t 、x ,不依靠于s (D)依靠于s ,不依靠于t (3)设常数0,k 则级数21(1)n n k n n =+- (A)发散 (B)十足收敛 (C)条件收敛 (D)散敛性与k 的取值有关 (4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式|0,a =A 而* A 是A 的伴 随矩阵，则*|A 等于 (A)a (B)1a (C)1 n a - (D)n a 六、（此题总分值10分） 求幂级数11 12n n n x n -= 的收敛域，并求其和函数. 七、（此题总分值10分） 求曲面积分 2(81)2(1)4,I x y dydz y dzdx yzdxdy =+-? 其中

5、 是由曲线13()0z y f x x ?=?=? =? 绕y 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y 轴正向的夹角恒大于.2 八、（此题总分值10分） 设函数()f x 在闭区间0,1上可微,对于0,1上的每一个,x 函数()f x 的值都在开区间(0,1)内,且()f x 1,证明在(0,1)内有且仅有一个,x 使得().f x x = 九、（此题总分值8分） 问,a b 为何值时,现线性方程组 123423423412340 221 (3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +=+=-+-=+=- 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.

6、十、填空题(此题共3小题,每题2分,总分值6分.把答案填在题中横线上) (1)设在一次试验中,事件A 发生的概率为,p 现进行n 次独立试验,则A 至少发生一次的概率为_;而事件A 至多发生一次的概率为_. (2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1 个球放到 第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为_.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为_. (3)已知连续随机变量X 的概率密度函数为221(),x x f x -+-= 则X 的数学期望为_,X 的方差为_. 十一

7、、（此题总分值6分） 设随机变量,X Y 相互独立,其概率密度函数分别为 ()X f x = 1 0 01x 其它,()Y f y e 0y - 00y y , 求2Z X Y =+的概率密度函数. 1988年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、(此题共3小题,每题5分,总分值15分) (1)求幂级数1 (3)3n n n x n =-的收敛域. (2)设2 ()e ,()1x f x f x x ?=-且()0 x ?,求()x ?及其定义域. (3)设为曲面2221x y z +=的外侧,计算曲面积分 333 .I x dydz y dzdx z dxdy =+? 二、填空题(

8、此题共4小题,每题3分,总分值12分.把答案填在题中横线上) (1)若21()lim (1),tx x f t t x =+则()f t = _. (2)设 () f x 连续且 31 (), x f t dt x -=? 则 (7)f =_. (3)设周期为2的周期函数,它在区间(1,1-上定义为 ()f x = 2 2x 10 01 x x -=则函数()f x 在点0 x 处 (A)取得极大值 (B)取 得微小值 (C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少 (3) 设 空 间 区 域 2222222212:,0,:,0,0,0,x y z R z x y z R x y z +则 (

9、A)1 2 4xdv dv =? (B)1 2 4ydv ydv =? (C)1 2 4zdv zdv =? (D)1 2 4xyzdv xyzdv =? (4)设幂级数1 (1)n n n a x =-在1x =-处收敛,则此级数在 2x =处 (A)条件收敛 (B)十足收敛 (C)发散 (D)收敛 性不能确定 (5)n 维向量组12,(3)s s n 线性无关的充要条件是 (A)存在一组不全为零的数12,s k k k 使 11220s s k k k + (B)12,s 中任意两个向量均线性无关 (C)12,s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D)12,s 中存在一个向量都不能用

10、其余向量线性表示 四、(此题总分值6分) 设()(),x y u yf xg y x =+其中函数f 、g 具有二阶连续导数, 求222.u u x y x x y ?+? 五、(此题总分值8分) 设函数()y y x =满足微分方程322e ,x y y y -+=其图形 在点(0,1)处的切线与曲线21y x x =-在该点处的切线重 合,求函数().y y x = 六、（此题总分值9分） 设位于点(0,1)的质点A 对质点M 的引力大小为 2 (0k k r 为常数,r 为A 质点与M 之间的距离),质点M 沿直 线y = (2,0)B 运动到(0,0),O 求在此运动过程中质点A 对质

11、点M 的引力所作的功. 七、（此题总分值6分） 已知,=AP BP 其中100100000,210,001211? ?=-?-? B P 求5 ,.A A 八、（此题总分值8分） 已知矩阵20000101x ?=?A 与20000001y ? ?=? ?-? B 相像. (1)求x 与.y (2)求一个满足1 -=P AP B 的可逆阵.P 九、（此题总分值9分） 设函数()f x 在区间,a b 上连续,且在(,)a b 内有 ()0,f x 证明:在(,)a b 内存在唯一的,使曲线()y f x =与两 直线(),y f x a = =所围平面图形面积1S 是曲线()y f x =与两直线(),y f x b = =所围平面图形面积2S 的 3倍. 十、填空题(此题共3小题,每题2分,总分值6分.把答案填在题中横线上) (1)设在三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知A 至少出现一次的概率等于19,27 则事件A 在一次试验 中出现的概率是_. (2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件两数之和小于65 的概率为_. (3)设随机变量X 听从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知 22(),(2.5)0.9938, u x x du -=? 则X 落在区间(9.95,10.05)内的概率为