待定系数法求二次函数的解析式-知识讲解(提高)

1、待定系数法求二次函数的解析式学问讲解(提高)撰稿：张晓 审稿：杜少波【学习目标】能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；经受探究由条件特点，机敏选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次 函数三种形式是可以相互转化的【要点梳理】学问点一 、 用待定系数法求二次函数解析式二次函数解析式常见有以下几种形式(1)(1)一般式：y2 axbx c(a , b, c 为常数，0);(2)顶点式：a(xy2h)k(a , h, k 为常数，a0);(3)交点式：ya(xx1)( x x2) ( x1, x2 x轴交点的横坐标，a0)确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数

2、解析式的步骤如下22 第一步，设：先设出二次函数的解析式，如y a(x xj(x X2)0;y ax2 bx c y a(x h)2 k ，其次步，代：依据题中所给条件， 代入二次函数的解析式中， 得到关于解析式中待定系数的方程第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，复原：将求出的待定系数复原到解析式中要点诠释：在设函数的解析式时， 肯定要依据题中所给条件选择适宜的形式： 当抛物线上的三点坐标时，(组)；可设函数的解析式为 y ax2 bx c ；当抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时可设函数的解析式为y a(x h)2k ；当抛物线与 x轴的两个交点(xi, 0) ,(X2,

3、 0)时，可设函数的 解析式为 y a(x x1)(x x2).【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式x 0 1所示 求抛物线的解析式，写出顶点坐标【答案与解析】y ax2 bx ca 0yaxbxc2A,B, C三点,由图象可知A, B, C的坐标分别为0，2，4，0， 5，-3c 2,16a 4b c 0, 解之，得25a 5b c 3，1 1 21(x23x23 2-)22258212yx223x2该抛物线的顶点坐标为【点评】 这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中猎取信息图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式是求“图象所表示的

4、函数解析式”，那就必需加上自变量的取值范围.要特别留意：假设这道题x0.3与4，-.求这条抛物线的解析式2【答案与解析】y1 x24mxn经过点(0，-)2y13-x2 mx n经过点0,兰和4上，422这条抛物线的对称轴是直线x 2.设所求抛物线的解析式为设所求抛物线的解析式为1 / y (x42)2h.31将点02代入，得一42)2 h32解得1 h2这条抛物线的解析式为-(x1 (y42)2一即2y - x243x2【点a值已经知道，只需求出 m,n 的值。条件给出了两个点，因此，可以从二次函33数的一般式入手列方程组解答.还可以从所给两点0,上,4,丄的特征入手：这两点关于抛物线22的

5、对称轴对称，因此可知对称轴是直线ii2x ,yN X ,y ii2x 2，这样又可以从抛物线的顶点式入手yiyx 1当点 M2 ,这一点很重要也很有用抛物线 y ax bx c A,2B, C三点,y ax2 bx c 的顶点坐标为1,4,x 轴两交点间的距离为 6,求此抛物线的函数关系式【答案与解析】由于顶点坐标为1 , 4x1，又由于抛物线与 x 轴两交点的距离为 6,所以两交点的横坐标分别为:x113 , x21 3 ,则两交点的坐标为4 , 0、 2, 0;求函数的函数关系式可有两种方法:解法1:设抛物线的函数关系式为顶点式:y a(x 1)2y細1)y所以抛物线的函数关系式为24 (

6、a 丰 0)，把(2, 0)代入得 a解法2:设抛物线的函数关系式为两点式：y ax 4x-2 a工0,把1, 4a所以抛物线的函数关系式为:9( x4)( x-2) ；【点评】在求函数的解析式时，要依据题中所给条件选择适宜的形式 举一反三:【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式ID号：356565 关联的位置名称播放点名称：3-4】x 轴的交点是 A2,0，B 1，0，C2，8 1 求该抛物线的解析式；2求该抛物线的顶点坐标.【答案】1y 2x2 2x 4 ；192； ,-.22类型二、用待定系数法解题如下图，二次函数y-x21 22bx c的求这个二次函数的解析式；设该二次函数图象的

7、对称轴与图象经过 A(2 , 0) , B(0, -6)求这个二次函数的解析式；设该二次函数图象的对称轴与【答案与解析】 4,解得6.y4x 6.这个二次函数的解析式为(1)把 A(2，0)，B(0，-6)代入 y21 x2bx C2(2) T该抛物线的对称轴为直线x点C的坐标为(4 , 0),AC= OC-OA= 4-2 = 2 .1 1SAABC - gAC gOB - 2 6 6.ABC的面积时，一般要将坐标轴上的边作为底边，另一点的纵(横)坐标确实定值为高进 行求解.(1)A B 两点坐标分别代入解析式求出 b, c的值.(2)C的坐标再求出ABC的面积.举一反三：【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式ID号：356565 3-4】【变式】二次函数图象的顶点是(1,2)，且过点 0,?.求二次函数的表达式；2求证：对任意实数 mM (