XX年的的暑假平面几何讲义：四点共圆(教师版)

1、四点共圆文武光华数学工作室潘成华平面几何中证四点共圆的几个基本方法方法一：平面上有四点A、B、C、D , 若AD ,则 A、 B、C、D 四点共圆A方法二线段 AC、BD 交于 E , 若 AE ECBE ED ,则 A、B、C、D 四点共圆DEB方法三线段 AC、BD交于 E,若 AE BECE ED,CE则 A、B、C、D 四点共圆ADBCA方法四：若四边形ABCD,AC180 ，则 A、B、C、D 四点共圆DBC方法四、已知AD 是 ABC 内角或外角平分线，AB AC,且 BDDC,则A、B、C、D 四点共圆ADAOCOCBBD证明 设BAD,因为 ADAD,所以sin Bsin C，

2、所以 sin BsinC ，DBDCsin BADsin CAD内角时 BC 180,外角时 BC ，所以A、B、C、D 四点共圆托勒密定理：Tolemy( 托勒密定理）若四边形 ABCD是圆 O内接四边形 , 则 AD?BC+AB?CD=AC?BDDDAAOOEBCBC证明 在 AC上取点 E, 使 EDC= ADB,因为 ABD=ACD,所以 ABD EDC, ADEBDC，于是 (AB/CE)=(DB/DC),(AD/AE)=(DB/BC), 于是 AD?BC+AB?DC=AE? BD+BD?CE=AC?BD例 1、已知点 D、E 在 ABC 内， ABDCBE , BAECAD .求证

3、 ACDBCE .AAQRDDEECCBPB证明 ( 一) （文武光华数学工作室南京潘成华）作E 关于 BC、AB、AC对称点P、R、Q , 易知BRD BPD ,ARD AQD, 于是DPDRDQ,所以DCP DCQ, 得到PCDQCD, 进而BCEACD .证明（二）作BDS 外接圆交 AD 延长线于 S , 可知ABE ASC , 所以ABS AEC , 得到ACEASBASCDBCDSB,ABE ,得到所以BCEACD.ADECBS例 2、已知（文武光华数学工作室南京潘成华） E 是ABC 内一点，点D在BC上，且BAEDAC ,EDBADC.则AECBED180AAKFEEGBDCB

4、LDC证明 先证明 ABBEJ, 过 E 作 AB、AC、BC 垂线 EF、EG、EL 交 AB、AC、BC 分别ACEC于 F、G、L ，直线 EL、AD 交于 J , 取 AF 中点 K , 易知 B、F、E、L 四点共圆，FLE、G、C、L 四点共圆，所以 ABsin CBEFLCE (1),( B、C 是 ABC 的内ACsin BLGLGBECE角) ，因为EDBADC ，所以 ELLJ , 于是 KL / /AJ , 易知 A、F、E、G 四点共圆，圆心是 K，BAEDAC , 所以 AD FG , 进而 KL / /FG ，得到 KL 是 FG 中垂线，所以 FL LG ，(1)

5、 得 ABBEACEC下面我们证明AECBED180，因为 sin AECAC sin EAC,AEsin BAEABsin BAE, , 两式相除得sinAECsinEACsinBADBEsinBAEsinBAEsinDACAB sinBADECBDECsinBED , 因为AC sinDACBECDBEsinDECAECBAEBEDDEC360所以， AECBED180证明（二）在 AB 取 H , 使得AHBPDB , 所以AHP ADC , 进而得到AAHD APC , 易知 H、 P、D、B 四点共圆，所以 APCBPDBHDAHD180HPBDC例 3、叶中豪老师 2013 年国庆

6、讲义一几何题我的解答已知， D 是 ABC 底边 BC 上任一点， P 是形内一点，满足 12，34。求证： PBABPCAC 。A1A122HIPP343B4DCBDC证明作BPD、 CPD 外接圆交 AB、 AC 分别于 H、 I ，易知AHP ADC , 所以AHDAPC ，所以ACAD（1）, 易知 APIABD , 进而得到 ABPPCDHADI , 所以 ABAD（ 2） , 易知 A、H、P、I 四点共圆，所以BPDIAHIAPIABC , 所以HI / /BC , IHDHDB3 HDP3HBP4 ADIIDCHID , 所以HD ID , 进而根据（ 1）、（ 2）得到 PB

7、AB。PCAC例 4、已知 ABC 是锐角三角形， AD 是 BC 边上中线， H 是 ABC 垂心，HIAD 于点 I ，求证B、C、H、I 四点共圆AAIHIHBDCBDCG证明（一）：延长 AD 到 G 使得 AD=DG , 易知四边形 ABGC 是平行四边形，因为CH AB， BHAC, 所以HBGHCG 90 , 得到 I、B、G、C、H ，所以B、C、H、I 四点共圆AIHFBDC证明（二）HACHBDBFD , 所以 FD 是 (AIHF ) 切线，所以DC 2FD 2DI DA,所以DIC DCA , 得到DCADACBHI , 所以 B、C、H、I 四点共圆第四题、第51 届

8、波兰数学奥林匹克，1999例 5、已知 在 ABC中， AB AC, 点P在 ABC内部，点 D是BC中点，CBPACP.求证BPDAPC180 .AAPPyxBDCxDyBC证明（文武光华数学工作室南京 潘成华）设ACPx ,ABP y ,BPD,DPC,APB, APC,因为 BDCD,可知，可APAPsin ysin xBP sinPC sin知 sin y sinsin xsin, （1）， ABAC, 可知 sinsin得到 sin ysinsin x sin（ 2），根据（ 1）、（ 2）得sinsin180 ，即 BPDAPC 180 。sinsin证明 ( 二) （文武光华数学

9、工作室潘成华给出）延长 CP交以 A为圆心， AB为半径的圆于 F , 直线 FA 交 BP于 G,FACPPBC, , 因此GPCB , 于是 G在 A上，PFG PBC , 所以APF DPB , 可知APFBPD ,即BPDAPCAPFAPC180 , 得证GAFPBDC例 6、已知 M 是 ABC 边 BC中点， AM 交 ABC 外接圆 O于 D ,过点 D作DE /BC交 O于E,在 AD上取点 F ,使得 FCAC.求证AFCEFCAAOOMMCCBFBFEDED证明 ( 一) （文武光华数学工作室南京潘成华）因为 DE / /BC , 点 M 是 BC 中点，所以 ABEC 是

10、调和四边形，易知直线AE 、过点 B、 C 切线共点，得到 MC 平分AMC ,ECF90ABEOAEPME 1 EMF ,因此 C是EMFP旁心，进而2AFCEFC .证明（二）因为 M 是 ABC 边 BC 中点，所以 S ABD S ACD , 得到 AB BDAC CD,易知BCED 是等腰梯形，所以AB CEAC BE , 根据托勒密定理可知2AB CEAB CE+AC BE=AEBC 2BM AE , 得到 AB CE BMAE ，ABMAEC ,所以 ABM AEC ，所以 EACBAD , 可知 EABCAD , 取 AE 中点 S, 同理可得ACSECBBAEDAC , 所以

11、 CS与 AD 交点设为 N , 则 N 为 AF 中点，所以CN/EF,于是EFCNCFAFCANSBMCFCJ /BD交 AD于 J，所以DE证明（三）（田开斌老师）作ACJ BDCE ,JCEBDCBCE ,AFC90DAC90DBC90ECBJEC , 所以JJ、F、E、C 四点共圆，因为JCEC, 所以 AFCEFCBMCFDE例 7、 已知 AD 是 ABC 角平分线交 BC 于 D ， ABD、 ACD、 ABC 外心分别是O1、 O2、 O , 求证 O1O=OO2AAO1O1O2O2OOBDCBDC证明易知O AB90AO O90ADC90B1 BACOACDAC112OAD

12、 ， BAO901 AOB90CDAO2, 所以O1AO=O2 AO （1），又21ADC、2ADB，于是12ADC +ADB=180，所以AOOAO OAOO +AO OA 、 O1、 O2、 O 四点共圆，根据（1）得到 O1O=OO 2证明（二）记ABC 三角 A、B、C ，设直线BO1、 CO2交于 E，BCECACO2C (90ADC)C(90B1A)B CA ,同理EBCBC A,222所以 BECE ， BOO1ADC、 CO2OADB ，BOO1 +CO2OADC +ADB=180EA所以 E、 O1、 O2、O 四点共圆得到 O1O=OO 2O1O2O例8、已知DC P 、

13、O 交于 A、B , 四边形 ABCD 是平行四边形， C 在O上， PFBC交 AB于 F ,直线 CF 交 O于G .求证E、 G、 D、C四点共圆DADAKPPGOFGOFCECBE证明延长 DA 交等腰梯形， CF FGP 于点 K , 连接 KE、KB ，易知 AKBE 是等腰梯形，AF FBEF FK , 所以 K、G、E、C 四点共圆，因此DKEC是K、G、E、C、D五点共圆 , 进而E、G、D、C四点共圆例 9、已知O、I分别是ABC 外心，内心，求证OIAI 的充要条件是ABAC2BC ,AAOOIIC证明CB延长 AI 交圆 O于 D, 根据托勒密定理， AB?DC+AC?

14、BDBD=AD?BC(1), 因为 OIAI ，所以 AI=ID, 由（ 1）得：AB+AC)?BD=BC?2DI, 因为 BID= IBD, 于是 BD=DI,所以 AB+AC=2BC此题，若 O，I 分别是 ABC外心，内心， AB+AC=2BC，求证 OI AI证明方法是一样的例 10 、 P 为 ABC 外接圆上一点， P 在 BC、 AC 上的射影为 D、E . 点 L、M 分别是 AD、 BE 中点。证明 DE LM .AALLN证明 取 AB 中点 N ，连接 MN、NL、AP、BP , 易知 BPD APE ，所以 DPBD ,PEAE所以 DPNL ,可知 MNL EPD,所

15、以 DELMPEMN第十题、已知 M 是 ABC 边 BC 中点， AM 交 ABC 外接圆 O 于 D ,过点 D作DE /BC交 O于E,在 AD上取点 F ,使得 FCAC .求证 AFCEFC例 11、已知（文武光华数学工作室南京潘成华） O、 I 外切于S,O弦AB切 I 于T,点 P 是 AI 延长线上一点 ,求证 BPAB 充要条件是 TSSP. （2014 68 8 ：49 于镇江大港中学）PPBBOOARASQSTTII证明（文武光华数学工作室南京潘成华）过 S 作两圆公切线交 AT 于 Q ,线段 AS、 QI 交于R,TS等价于IR / /PS, 等价于AIAR, 因为S

16、PAPASQTRQSAABS , 得到 TR / /BS, 因此， AIAR 等价于AIAT, 等价于APASAPAPIT / /BP,即 BPAB例 12、刚才看了一下 2014 年第 5 期中等数学数学奥林匹克问题（高） 383，不难，我把解答写一下已知 H是锐角ABC 的垂心，以 AH 、AB 为直径的圆交BHC 外接圆于 D、E , 直线 AD交BC于G ,直线 AE、HC交于 F,求证 GF / /BHAAHDEMHDEFFBGCBGCOJN证明（文武光华数学工作室南京潘成华）设BHC 外接圆为 O ,直线 AG交 O于N , 所以 H、O、N 共线，延长 CH 交 AB于点 M ,

17、 易知A、M、H、D 四点共圆，所以BADDHCANC , 所以 AB / /CN , 同理 BN / / AC ,所以 ABNC是平行四边形，得到 G 是 BC、 AN 中点，连接 AF 交 O 于 J , 因为 BE AF , 可知 B、O、J 共线，所以 OG 是 AHN、 BJC 中位线，得到 AH、CJ 平行且相等，所以 F 是 HC 中点，可知 GF / /BH例 13、（文武光华数学工作室南京潘成华）设 ABC 周长为 2 p ，AEAF pAC ，求证 ABC 的 C旁切圆与ABC 外接圆外切。（ 2014-6-12 8：56）证明设 ABC的C旁切圆切直线 EF、AB、 AC

18、 于 D、L、M , AC 交 AEF 外接圆于N,直线 AD交 ABC 的C旁切圆于 K ,22AD AK ,所以 AFD AKF ,AFAL所以AKFAFDAEF180ANF , 所以点 K 在 AEF 外接圆外接圆上，因为A是BAF 中点，所以点 K 是两圆的切点，即ABC的 C旁切圆与 ABC 外接圆外切。CFEBACFNEBLA例 14、CDAB于 D ， H、O是ABC垂心，外心，ODDE 交 AC 于 E ，求证BACDHECCOOHHEEABDBDAKJ证明 ( 一) 延长 CD 交 O 于 J ,延长 ED 交 BJ 于 K ,根据蝴蝶定理可知 DEDK ,根据鸭爪定理可知

19、DHDJ ,所以 HE / /BJ ,等腰BACBJDDHE .证明（二）在 BD 取 S 使得 DS AD ,所以SCDACDBCO ,设 BH、CS 交于 T ,CBODBT ,根据等角共轭点性质，可知CDTBDOCDE ,又CDBHACDCDS ,可知 C、 D、S、H 四点共圆，可知DHEDHTCSD ABCOTHE例 15、第 47 届 IMO 预选， 2006 年BASD如图，在梯形 ABCD 中， AB / /CD , ABCD , 点 K、L 分别在线段 AB、CD 上，且AKDL , P、 Q 分别在直线 KL 上，且APBADC ,CQDBAD .KBLC求证A、 D、 P

20、、Q 四点共圆OJDLCPAKBQ证明（一）因为 AKDL，易知 AD、 QP、 DC 共点，设为KBLC设 AQ 交圆 (DCQ) 于 J ,CQDBADODC , 因此 QD是圆 (QDC ) 切线，APDADCDJC,所以DJ/AP,所以 PADODJAQP , 因此 A、 D、 P、 Q 四点共圆EDLSPXAKQ,CTYB证明 （二）（文武光华数学工作室潘成华）因为 (AK/KB)=(DL/LC),AB/CD,根据位似知识可知AD、 QL、 BC的延长线共点，设为E, 过点 L 作 LX/AP 交 AD于 X, 作 LY/PB 交 BC于 Y, 因此 XY/AB, 设 XL、 DQ交

21、于 S,LY、QC交于 T,根据 Menelaus 定理可知 (XS/SL)=(XD/DE)*(EQ/LQ)=(YC/CE)*(EQ/LQ)=(YT/TL), 于是 ST/XY,SQT+ SLT=DAB+ADC=180, 所以 L、 S、Q、T 四点共圆，易知 SQL= STL=XYL= ABP=180- APB- BAP=180 - ADC-BAPDAP,进而 A,D,P,Q 四点共圆例 16、2012 年西部数学奥林匹克几何题已知 ABC 外心、垂心分别是O 、 H , ADBC 于 D ,AO 中垂线交 CB 延长线于 E . 求证AEF 外接圆过 OH 中点 .AAFFOMOHHEBD

22、ECBDKC证明（文武光华数学工作室南京潘成华）取 OH 、 BC 中点 M 、K , 根据欧拉定理可知 AH2OK、AH / /OK ,所以 MFOK、MF / /OK , 所以 MKOFAF ,又易知 MD MK , 所以 AF MD , 因此 AFMD 是等腰梯形，可知 A、 F、M 、 D 四点共圆，因为 A、 F、E、D 四点共圆，所以 M 在 AEF 外接圆上 , 即 AEF 外接圆过 OH 中点M.例 17、已知两同心圆，从大圆上一点A 作 AB、AC 切小圆于 B、C ,直线 AC 交大圆于 D . 求证 AE2BE2DECEAABCEBCEODSD证明（文武光华数学工作室南京

23、潘成华）设两圆圆心O ,延长 AB、AC 交 AB、AC 分别交大圆于 S、D , 所以 BC 是ASD 中位线，DAEDSEBEC ,BSEADE , 所以 ADE ESB ,所以 AEDEDEAE 2BE2BE 2BEBEBSDC , 所以 DE2DC2 ,结论等价于DC 2CE，等价于DC 2BE CE,因为 DC2DO 2OC2EO 2OC 2BECE 得证例 18、（ 2004 年日本数学奥林匹克几何题）已知如图，点 D、 E 分别是 AB、AC 上两点，且ADCEDBAE 过点 D、E 分别作AC、AB 的平行线交过点 A 作 ABC 外接圆的切线分别于 H、I , 延长直线 DE

24、 交ABC 外接圆于 F、G求证（ 1） H、F、G、I 四点共圆， (2) BC 是（HFG）切线HHAAIIGEGEDDFFBCBJC证明因为 HG / /AC, AD /EI , 因为 ADCE ，所以直线 DH、EI 交点必在 BC 上DBAE设为 J, ABCIACAHJ , 所以 A、 H、B、J 四点共圆，同理 A、I、C、J 四点共圆 AD DBHD DJGD DF 因此 H、F、J、G 四点共圆同理 I、F、J、G 四点共圆，于是 H、F、 G、I 四点共圆， AJBACBHABAIJ , 所以 BC 是（HFG）切线例 19、已知 AB、AC 分别是圆 O 两切线、 B、C

25、 是切点， CD 平分ACB, 交AB于D, DF 切O于E,交BC延长线于 F.求证BC 3CFAADDHEEBKICBF证明（文武光华数学工作室南京潘成华）连接 AO 交 BC 于 I , BE、DO 交于, 设线段 CD 交 O 于 H ，易知 I、K 分别是 BC、BE 中点， A、H、I、O 共线，根据配位中线知识可知ECDBCK , 所以ECAHCB , 又BECBHC , 所以EKCHBCHCBECB , 进而 BE2KE2EC , 又ECF BFE ,得到 BF2EF4CF , 即 BC3CF .A证明（二） ED 2DHDCDK DO,所以 DKE DCO ,DKHDCO ,

26、 所以HKEHBC , 所以HKE HBC , 可知DHEHCEACHACEBCHCBCHBCCBEHBK于是 BKHCEH , 得到 CEBK KE , 下面同证法（一）BKCF例 20、回答广州陈泽桐老师几何题O已知 J是 ABC的 A旁切圆， D、E 是切点，点 F 是 DE 延长线上一点，CF交 AB于G.则 FCAB的充要条件是FGABFGACBCAACGFBESCGFDJBERDJT证明（文武光华数学工作室南京潘成华）设 JC、DE 交于 S , BS 延长线交直线 AE于 R , CS 交直线 AD 于点 T , 三角形三角 A、B、C , 根据 Menelaus定理 ADGFC

27、E 1,DGCFAE所以 CFCE ,ACABAB, CSE901 ABC=DBJDCJ 所以FGDGBCAEBD2B、S、J、D四点共圆，可知BSCS, 可知, 根据Menelaus定理 ,BS SRERADBS1,所以 ERBD ,ABABABsinC,2ABBDSRACBCAEBDARsin(BC )2FCABECsin C(1)成立的充要条件是2，FGACBCDG sin( BC )2ECECJCsin CJC,FGAB 等价于 JCTC11,DGJCDG2DGDGTGsin GCTsin( AC )2即 ECsinCsin C根据（ 1）结论成立2C )2DG sin( Asin(

28、BC )22例 21、已知：自 O 外一点 P 作切线 PA、PB 及割线 PCD ，自 C 作 PA 的平PEF 。行线，分别交 AB、AD 于 E、F 。求证： CEPCAEBCAEBFOFOMDD证明：联结 OA、OB O，作OMCD于 M 。由垂径定理知 CMMD 。由OAPOBPOMP90，得A、B、M 都在以 PO 为直径的圆上，即 P、 A、M 、B 四点共圆，ABMAPM 。而 CE / /PA ，得APMECM 由此ABMECM ，推出 B、C、E、M 四点共圆。得EMCEBC、而EBCD ，故 EMCD ，EM / / AD 。在 CDF 中，由中位线逆定理即得EC EF。

29、例 22、已知 A为 O 上一点， B 为圆外一点， BC、BD 分别与 O 相切于C、D ， DEAO 于 E ， DE 分别交 AB、AC 于 F、G 。求证： DFFG 。BBDKDCFCMFGGOAAEOE证明：设 AB 交 O于 K ，联结 OB、CD 交于 M 。则 OB 垂直平分 CD ，即 M 是 CD中点。联 KM 、KD、MF 。由 BK BA BD 2 BM BO ，得 BKM BOA，于是BMKBAO ，由此DMKAFEKFD ，得 K、M 、 F、D 四点共圆，于是DMFDKFDCA， MF / /CA。因 M 是 DC 中点，故 F 也是 DG 中点，即 DFFG

30、。证毕例 23、已知 PA、PB 是 O 切线， A、B 是切点， PCD 是割线， DJ / /AP 交 AB 于 J , 直线 JC 交 AP 于 I , 求证 AI PI (2013 11 11 21:30)AIOAIOPPCDCKDBBJJL证明作OKPD于K,延长AC、DJ于 L ,易知 A、P、B、K、O 五点共圆，可知JDPADPABK , 所以B、K、D、J四点共圆，于是AJKCDBCAJ ,于是ACA/BK ,易知CKDK ,所以LJDJ , 进而根据相似知识可知AIPI .例 24、ABC 是等边三角形，AD/ /BE, BDDE,连接CE, 取CE 中点F ,求证ADF1

31、20KADADEBFCMEBFC证明（田开斌给出）延长ED到K,使得 DK=DB,KDADEBDBEADB , 所以 ADKADB , 所以 AKAB AC,于是DKC1DAB30 ,KBC DMF ,可2AD知 MDK30 , 因为 AD / /BE ，所以 ADF120X证明（二）上海 -leenco 林可先生证明：作等边三角形DBY , 连接 YC交 DA 延长线于X ,连接 XB,所以 Y是 DEB外心，BEY 30 ,EABD CBY 所以XYBXDB , 得到BFX、 D、Y、B 四点共圆，于是YXD60 ,得到CXY、BE 夹角 60 ，可知 XYE 90,所以 YECF EF,

32、于是YDFEDF ,ABDEBDBED ,YDBE , 易知 DFEY , 得到 FDE所以ADF180FDEDBE 60 ，进而ADF120例 25、已知ABC 中， H、O 是 ABC 垂心，外心， HD / /AB 交 AC 于D, HE/ /AC交 AB于E,求证ODOE .AAEENDDOHOHBCM证明（文武光华数学工作室南京潘成华）取 BC中点 M,连接 OM,AH、 DE,设 AH、DE交于点 N, 连接 ON,HM,BHC=180- BAC= ADH,HAD= CBH,所以 AHD BCH,于是 HDN CHN,进而 HND= CMH,根据 Euler 定理，四边形ONHM是

33、平行四边形，得到ONH=OMH,所以 OND= OMC=90, 所以 OE=OD.例 26、已知四边形 ABCD 是 O 内接四边形，且 ABBC ,AC、BD 交于点 J ,点 I、H 分别是ABJ、 ADJ 外心 .ADCD求证AO 平分 BDAAIMHIBHBJJDDOOCC证明（文武光华数学工作室南京潘成华） BAI= HAD,所以 IAH= BAD,(AB/2AI)=sinAJB=sin AJD=(AD/2AH), 可知 (AI/AH)=(AB/AD)(1),所以 AIH ABD,AIO=90+BAI=90+90 - AJB= BJC, AIO= ABD=ACB,所以 IAO= DB

34、C,同理 HAO= BDC,设 AO、JH 交于点 M,即证明 IM=MH,也就是 AIsin IAO=AHsin HAO,等价于 (AI/AH)=(sin HAO/sin IAO)=(sin CDB/sin CBD)=(CB/CD), 因为(AB/AD)=(BC/CD) ，根据（ 1）结论显然成立例 27、已知 O 是 ABC 外接圆， MN 是 ABC 边 BC 中垂线所在的弦，DP/AN,MPEF 交 AB、AC 分别于 E、F .求证 EPFPLMMAAXPFPFEEOOBCDBCDN明（苏州学生方法）过 M作 ML AC于 L,MX AB于 X, ，根据 Simson 线可知： L、

35、 X、D共线，易知 AL=AX,所以 DL/AN, 因此 P 在直线 DL上， M、E、 P、 X 四点共圆，M、L、F、 P 四点共圆， MBC= LAM= MXL= MEF=MAB= BAM=MFE=MCB,所以 ME=MF,进而 PF=PE证法（三）作 MX AB于 X, 所以 ABM= ANM=PDM, 易知 M、 B、 D、X 四点共圆，所以 ABM= XDM,于是MAXX、P、D共线，易知M、E、 P、X 四点共圆，所以BME= AEM-ABM= MPX-MDP= DMP,同理CME= DMP,MB=MC,进而 MEB?MCF,因此PEOFME=MF,得到 PE=PFBDC例 28

36、、已知 PE、PF是以 AB 为直径的半圆 O 两切线， E、F 是切点， BE、AFP交于 D,PB交 O于 C.P求证P、E、D、C 四点共圆NECECFFDDAOBBAO证明（文武光华数学工作室南京潘成华） EDA= EBA+DAB=(1/2)( FOB+EOA)=(1/2)(180 - EOF)=(1/2) EPF,PE=PF,所以 P 是圆（ DEF)圆心，所以PE=PD,可知 PDE= PED= BAE= PCE,于是 P、 E、 D、C四点共圆例 29、如图， AB是圆 O的切线， ADE为圆 O的割线， D 介于 A, E 之间。M为 AO的中点，圆M为 ABO的外接圆， BD

37、交圆 M于 F。求证： EB为 M的切线，当且仅当BD=DF。EEBBKDDAAMMOOFF证明：上海曹珏贇先生解答设 ADE交圆 M于 K。由 AKO=90, OE=OD 知： DK=KEABD AEB =S ABDBD2AD = BE2AE BD22S AEBBEAEADAEAD DKEA EK = BE 为圆 M的切线AD设 ADE交圆 M于 K。由 AKO=90 , OE=OD知： DK=KE据题意知： ABD=BED, EBK=BAK= ABD BEK据题意知： BEO=EBO= BAO=ABM= ABM BEO于是 D, K 是对应点，又由于 OKE=90，故 MDB=90。又由于

38、 MB=MF，故 BD=DF。证明（文武光华数学工作室南京潘成华）设 AE交 M于 H,EBOD=2 BED=2 ABF= AMF,所以 BOD AMF,可知 AF BO=BD AM(1), 因为 MBO= BOM= AFD,BE是切线等价于 EBH=BAH,等价于 BHD= BDH,BHDAGMOF所以 AFD= ADF,因此 BE是 EB为 M的切线等价于 BOM DFA,等价于 AF BO=BM DF,因为 BM=AM, 根据（ 1）可知 BD=DF例 30、已知 E、F 是圆内接四边形 ABCD 对边 AB、CD 的中点， M 是 EF 的中点，自 E 分别作 BC、AD 的垂线，垂足

39、记为 P、 Q 。求证： MP MQ 。AQAQDD TEFE?FMM?BPCBPC S证明：自 F 分别作 BC、 AD的垂线，垂足记为S、T，联 ST、 PQ。易知 Rt FCSRt EAQ，Rt FDT Rt EBP，得 (FS/EQ) (FC/EA) (FD/EB) (FT/EP) ，又 SFT PEQ，FTS EPQ。得 FTS EPQ，于是 QPS STQ 180，从而 P、 S、 T、Q四点共圆。在直角梯形EPSF中， M是腰 EF的中点，故 M落在线段 PS的中垂线上；同理， M也落在线段 QT的中垂线上。故 M就是 P、 S、T、Q四点所共圆的圆心。 MP MQ。例 31、已

40、知设 H 是 ABC 垂心，点 D、E、F 分别在边 BC、CA、AB 上，且 DF=DB , DC=DE .求证A、H、F、E 四点共圆SAAEEFHFHBDCBDC证明（文武光华数学工作室南京潘成华）延长 FD交 CH延长线于 S,因为 BAH=DCH=90- ABC=(1/2) FDB,所以 DSC=DCH=FAH,即 S、A、H、F 四点共圆，因为 DS=DE=DC,所以点 D 是 SEC外接圆圆心，所以 SEA=(1/2) SDC=AFS,所以 S、 E、 A、 F 四点共圆，因此 A、H、F、S、E 五点共圆，进而A、 H、 F、 E 四点共圆例 32、第 27 届俄罗斯数学奥林匹

41、克几何题，2001 年已知 D 是ABC 边 BC 是一点， DB、DC 中垂线分别交 AB、AC 于 F、E , 点 O 是ABC 外心 .求证A、 E、O、F 四点共圆AHAEEFFOOBBDCKDJC证明（文武光华数学工作室南京潘成华）作 D 关于 EF 对称点 H,可知 F 是 BHD外接圆圆心， E 是 CHD外接圆圆心，过 E、F 分别作 BC垂线 EJBC于 J,FK BC于 K, HEC=2FEJ =2(180 - EFK)=360- HFD-BFD=HEB,因此 BHF=EHC可知 BHC=EHF=EDF=BAC,因此 H 在 ABC外接圆圆 O上，于是 OFBH,OEHC,

42、进而 180 = EOF+ BHC= EOF+BAC,即 A、E、O、F 四点共圆例 33、已知 OAD 与 OCD 反向相似，直线 AB、CD 交于 P , O PBD 与 PAC 外接圆交于另一点 Q ,求证 OQPQHOJACACBBMZLYDDQXQKPP证明（文武光华数学工作室南京潘成华）设直线PB、PC交 OPQ外接圆于 H、 J，过点 K、 I 、 M垂直于直线 PH,且交 PH分别于 X、Y、Z, 所以 (KL/IM)=(XY/YZ)=(PA-PB/2)/(PH-PB/2)=(AB/AH),同理 (KI/IM)=(DC/CJ),可知 (AB/DC)=(AH/CJ) ，得到因此(

43、AO/OC)=(AB/DC)=(AH/CJ)，易知OHA OJC,进而 H=J=90, 所以 Q=90, 即 OQPQ第十九题已知（文武光华数学工作室南京潘成华） I 是 BC 中点， ABAC A,AEAF , 点 E、F 分别在 AB、AC 上，EIBEFI .求证EI是BEF 角平分线（ 2013 10 7 7： 46）AAFPF证明 ( 一 ) 、作 EFI 外接圆，则 BC 是切线，设 AEAF , 圆 (EFI ) 交 AB 于另一点 P , 设 (EFI ) 圆心 J , 易知 A、E、J、F 四点共圆， A、I 、J 共线，得到 EJ IJ ,IEJJIE1AJE1AFE ,

44、所以 IEF1( AFEBAC )1BEF , 所以 EI2222是 BEF 角平分线证明（二）在 AC 上取点 K 使得 AE AK ,EFIBIEIEKEKIA所以 E、F、K、I 四点共圆，因此 BEIIKCFEI ,于是 EI 是 BEF 角平分线FEKBIC资料赠送以下资料考试知识点技巧大全一、考试中途应饮葡萄糖水大脑是记忆的场所，脑中有数亿个神经细胞在不停地进行着繁重的活动 ,大脑细胞活动需要大量能量。科学研究证实 ,虽然大脑的重量只占人体重量的 2%-3%,但大脑消耗的能量却占食物所产生的总能量的20%,它的能量来源靠葡萄糖氧化过程产生。据医学文献记载 ,一个健康的青少年学生 30 分钟用脑 ,血糖浓度在 120 毫克 /100 毫升 ,大脑反应快 ,记忆力强； 90 分钟用脑，血糖浓度降至 80 毫克 /100 毫升，大脑功能尚正常；连续 120 分钟用脑，血糖浓度降至 60 毫克 /100 毫升，大脑反应迟钝，思维能力较差。我们中考、高考每一科考试