抽象函数题型大全(例题含答案)

1、重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATION 高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号f(x)的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式：1换元法：即用中间变量表示原自变量X的代数式，从而求出f(x)，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。x例1：已知f(J2x+1，求f(x).X+1-x,ucu42一u”，、2一x解：设1=u，则x=1f(u)=2+1f(x)=1TOC o 1-5 h z HYPERLINK

2、 l bookmark6x+11一u1一u1一u1一x2凑合法：在已知f(g(x)=h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求f(x).此解法简洁，还能进一步复习代换法。例2：已知f(x+1)=x3+1，求f(x) HYPERLINK l bookmark0 xx3 HYPERLINK l bookmark121111111解：*/f(x+)=(x+)(x2，1+)=(x+)(x+)2，3)又TIx+1=1xI+1 HYPERLINK l bookmark14xxx2xxxIxIf(x)=x(x2-3)=x3-3x，(|x|三1)3待定系数法：先确定函数类型，设

3、定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。例3.已知f(x)二次实函数，且f(x+1)+f(x-1)=x2+2x+4,求f(x).解：设f(x)=ax2+bx+c，则f(x+1)+f(x一1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x一1)2+b(x一1)+c2(a+c)=4=2ax2+2bx+2(a+c)=x2+2x+4比较系数得0时，f(x)=lg(x+1)，求f(x)解:/f(x)为奇函数，.f(x)的定义域关于原点对称，故先求x0lg(1x),xV0例5已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且有f(x)+g(x)=x1，求f(x)，g(x)-解：f(x)为偶函数，g(x)为

4、奇函数，f(x)=f(x),g(x)=g(x),不妨用-x代换f(x)+g(x)=x1中的x，f(x)，g(x)=即f(x)-g(x)显见+即可消去g(x),求出函数f(x)=再代入求出g(x)=5赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出f(x)的表达式例6：设f(x)的定义域为自然数集，且满足条件f(x,1)=f(x),f(y),xy，及f(1)=1,求f(x)解：f(x)的定义域为N,取y=1,则有f(x,1)=f(x),x,1f(1)=1,f(2)=f(1)+2,f(3)=f(2),3f(n)=f(n1),n、n(n,1)、1/八以上各式相加，有f(n)=1+2+3+n=2/.f(x

5、)=2x(x,1),xeN二、利用函数性质，解f(x)的有关问题判断函数的奇偶性：例7已知f(x,y),f(xy)=2f(x)f(y)，对一切实数x、y都成立，且f(0)丰0，求证f(x)为偶函数。证明：令x=0,则已知等式变为f(y)，f(y)=2f(0)f(y)在中令y=0则2f(0)=2f(0)f(0)工0f(0)=1f(y)，f(y)=2f(y)f(y)=f(y)f(x)为偶函数。2确定参数的取值范围例8：奇函数f(x)在定义域(-1，1)内递减，求满足f(1m)+f(1m2)0的实数m的取值范围。解:由f(1m)+f(1m2)0得f(1m)f(1m2)，f(x)为函数，f(1m)f(

6、m21)11一m1又f(x)在(-1，1)内递减，一1m2110mm2一13.解不定式的有关题目 重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATION例9：如果f(x)=ax2bxc对任意的t有f(2t)=f2，t)，比较f(1)、f(2)、f的大小解：对任意t有f(2t)=f2，t).x=2为抛物线y=ax2bxc的对称轴又其开口向上f(2)最小,f(1)=f(3)V在:2,+切上,f(x)为增函数f(3)f(4),f(2)f(1)0时，f(x)0,f(1)=2,求f(x)在区间2,1上的值域。分析：由题设可知，函数f(x)是的抽象函数，因此求函数f(x)的值域，关键在于研究它的单调性。解：设

7、.当，即，.：f(x)为增函数。在条件中，令y=X,贝y，再令x=y=0,则f(0)=2f(0),.f(0)=0,故f(x)=f(x),f(x)为奇函数，f(1)=f(1)=2,又f(2)=2f(1)=4,f(x)的值域为4,2。例2、已知函数f(x)对任意，满足条件f(x)+f(y)=2+f(x+y)，且当x0时，f(x)2,f(3)=5,求不等式的解。分析：由题设条件可猜测：f(x)是y=x+2的抽象函数，且f(x)为单调增函数，如果这一猜想正确,也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。解：设.当，则即，f(x)为单调增函数。V,又Vf(3)=5,.f(1)=3。重庆书之香教

8、育CHONGQINGEDUCATION重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATION 即，解得不等式的解为一1a0。解：(1)令y=0代入，贝y，:。若f(x)=0,则对任意，有，这与题设矛盾，f(x)工0,f(0)=1。令y=x0，贝y，又由(1)知f(x)工0,.f(2x)0，即f(x)0,故对任意x,f(x)0恒成立。TOC o 1-5 h z例4、是否存在函数f(x)，使下列三个条件：f(x)0,xUN；f(2)=4。同时成立？若存在，求出f(x)的解析式，如不存在，说明理由。分析：由题设可猜想存在，又由f(2)=4可得a=2.故猜测存在函数，用数学归纳法证明如下：x=1时，J，又

9、TxUN时，f(x)0,结论正确。假设时有，则x=k+1时，x=k+1时，结论正确。综上所述，x为一切自然数时。3、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。例5、设f(x)是定义在(0,+)上的单调增函数，满足，求：f(1)；若f(x)+f(x8)W2,求x的取值范围。分析：由题设可猜测f(x)是对数函数的抽象函数，f(1)=0,f(9)=2。解：(1)T,.f(1)=0。(2)，从而有f(x)+f(x8)Wf(9),Vf(x)是(0,+)上的增函数，故，解之得：8VxW9。例6、设函数y=f(x)的反函数是y=g(x)。如果f(ab)=f(a)+f(b),那么g(

10、a+b)=g(a)g(b)是否正确，试说明理由。分析：由题设条件可猜测y=f(x)是对数函数的抽象函数，又Vy=f(x)的反函数是y=g(x),：y=g(x)必为指数函数的抽象函数，于是猜想g(a+b)=g(a)g(b)正确。解：设f(a)=m,f(b)=n，由于g(x)是f(x)的反函数，.：g(m)=a,g(n)=b,从而,.：g(m)g(n)=g(m+n),以a、b分别代替上式中的m、n即得g(a+b)=g(a)g(b)。4、三角函数型抽象函数三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。例7、己知函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：当是定义域中的数时，有；f(a)=l

11、(a0,a是定义域中的一个数)；当0VxV2a时，f(x)0。试问：(1)f(x)的奇偶性如何？说明理由。(2)在(0,4a)上,f(x)的单调性如何？说明理由。分析：由题设知f(x)是的抽象函数，从而由及题设条件猜想：f(x)是奇函数且在(0,4a)上是增函数(这里把a看成进行猜想)。解：(1)Vf(x)的定义域关于原点对称，且是定义域中的数时有在定义域中。V.f(x)是奇函数。(2)设0VxVxV2a,则0VxxV2a,V在(0,2a)上f(x)0,1221中的，于是f(x1)f(I,fq)，f(I均小于零，进而知0,即在(2a,4a)上f(x)0。设2axx4a,则0 xx2a，从而知f

12、(x),f(x)均大于零。f(xx)0,T12211221,，即f(X)f(X2)，即f(x)在(2a,4a)上也是增函数。综上所述，f(x)在(0,4a)上是增函数。5、幕函数型抽象函数幕函数型抽象函数，即由幕函数抽象而得到的函数。例8、已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)f(y)，且f(1)=1,f(27)=9,当时，。判断f(x)的奇偶性；判断f(x)在0,+)上的单调性，并给出证明；若，求a的取值范围。分析：由题设可知f(x)是幕函数的抽象函数，从而可猜想f(x)是偶函数，且在0,+)上是增函数。解：(1)令丫=1,则f(x)=f(x)f(1),Vf(1)=1,.f

13、(x)=f(x),f(x)为偶函数。(2)设.时，,.f(X)0时，0f(x)l。(2)设解：(1)在,若中，令在O中，令因为当时，所以当时而，试确定a的取值范围。得，因为，所以关于点(0,2002)对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数的图象关于点(2002,0)对称。所以将上式中的x用代换，得评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b均为常数，函数对一切实数x都满足对称图形。八、网络综合问题例9.定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数m,n,总有(1)判断f(x)的单调性； # # # #所以又当x=0时，所以，综上可知，对于任意，均有设，贝y所以所

14、以在R上为减函数。(2)由于函数y=f(x)在只上为减函数，所以即有又，根据函数的单调性，有，所以直线与圆面无公共点。因此有，解得评析：(1)要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一是f(0)的取值问题，二是f(x)0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATION定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f(4-x)且f(2-x)+f(x2)0，求f(2000)的值。解：由f(2-x)+f(x-2)0,以t=x2代入，有f(t)=f(t),f(x)为奇函数且有f(0)0又由

15、f(x,4)f4-(-x)f(-x)-f(x)f(x,8)-f(x,4)f(x)故f(x)是周期为8的周期函数,f(2000)f(0)0例2已知函数f(x)对任意实数x，y都有f(x,y)=f(x),f(y)，且当x0时,f(x)0,f(-1)-2，求f(x)在-2，1上的值域。由条件当x0时，f(x)0又f(x2)f(x2-x1)，x1f(x2-x1)+f(x1)f(x1)f(x)为增函数,令y-x,则f(0)f(x),f(-x)又令xy0得f(0)0重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATIONf(-X)，-f(X),故f(X)为奇函数，f，-f，2,f(-2)，2f(-1)，-4f(

16、x)在-2,1上的值域为-4,2求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。例3已知f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数，且在(0,1)上为增函数，满足f(a一2)一f(4一a2)0，试确定a的取值范围。解：f(X)是偶函数，且在(0,1)上是增函数，f(X)在(-1，0)上是减函数，1a21由彳得3a5。-14-a21当a，2时，f(a2)，f(4-a2)，f(0)，不等式不成立。当3a2时，f(a-2)f(4-a2)-1a-20，f(a2-4)o-1a2-4a24解之得

17、，3a2当2a5时，f(a-2)f(4-a2)0a-21，f(a2-4)o0a2-41a2a24解之得，2a5综上所述，所求a的取值范围是(3，2)U(2，5)。重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATION重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATION # #例4已知f(x)是定义在(1上的减函数，若f(m2-sinx)，f(m+1+cos2x)对xR恒成立,求实数m的取值范围。m2sinx,3解：m+1+cos2x,3m2sinx，3对xR恒成立om2sinxm+1+cos2xm2sinxm+1+cos2x对xR恒成立oTOC o 1-5 h zS15m2m1sinx+cos2x(

18、sinx)2+vr4对xR恒成立,m23,1 HYPERLINK l bookmark40,5m2m141一10-2m2为所求。解不等式这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f”,转化为代数不等式求解。例5已知函数f(x)对任意x，yR有f(x)+f(y)0时，f(x)2，f5,求不等式f(a22a2)3的解集。解：设x、xR且xx1212f(x)f(xx)+x2211f(x)2111f(x)f(x)21故f(x)为增函数,又f(3)f(2+1)f(2)+f(1)23f(1)40 # #重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATIONf=3f(a

19、22a2)3=f(1),即a22a211a3因此不等式f(a2-2a-2)3的解集为al-la3)o证明某些问题例6设f(x)定义在R上且对任意的x有f(x)=f(x+1)-f(x+2)，求证：f(x)是周期函数，并找出它的一个周期。分析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出f(x+T)=f(x)(T为非零常数)则f(x)为周期函数，且周期为T。TOC o 1-5 h z证明：f(x)=f(x+1)f(x+2)(1)f(x+1)=f(x+2)，f(x+3)(2)(1)+得f(x)=，f(x+3)(3)由(3)得f(x+3)=f(x+6)(4)由(3

20、)和(4)得f(x)=f(x+6)。上式对任意xeR都成立，因此f(x)是周期函数，且周期为6。例7已知f(x)对一切x,y，满足f(0)丰0,f(x+y)=f(x)-f(y)，且当x1，求证：(1)x0时，0f(x)0，则x1，而f(0)=f(x)-f(x)=1设x，xeR且x0 # #则0f(X),12即f(X)为减函数。综合问题求解抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到多个知识点，抽象思维程度要求较高，解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“f”例8设函数y，f(X)定义在R上，当X0时，f(

21、X)1，且对任意m，n，有f(m+n)，f(m)f(n)，当m丰n时f(m)丰f(n)。(1)证明f(0)，1；证明：f(X)在R上是增函数；设A，(,y)1f(x2)f(y2)f(1)，B，(X，y)1f(ax+by+c)，1，a，b，cgR，a丰0，若AB，1，若X10时,(2)设X10，由已知得f(X2X1)1，因为X1n，10,f(X)1，由f(0)，fOf(-X1)f(X)，1f(-X)重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATION0 # #f(X2)，f(X2-X1)f(X1)f(X1)f(x)在R上为增函数。重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATION0 # #重庆书之

22、香教育CHONGQINGEDUCATION(3)由f(X2)f(y2)f得x2,y21(1由f(ax,by,c)=1得ax,by,c=0(2)从(1)、(2)中消去y得(a2,b2)x2,2acx，-cb20，因为AB=A=(2ac)2一4(a2,b2)(cb-0,(1)试判断f(x)的奇偶性；(2)判断f(x)的单调性;(3)求证f(5)+f(；)+f(3.)f(2)。511n2+3n2分析：这是一道以抽象函数为载体，研究函数的单调性与奇偶性，再以这些性质为基础去研究数列求和的综合题。再令y=-x可得解：(1)对条件中的x,y,令x=y=0,f(0)，f(0)=f(0)f()x，f(-x)=

23、0f(0)=0f(-x)=一f()x,所以f(x)是奇函数。(2)设-1x1则fO-2)=+f(W)=f(:-J120，00 # # #x-x121-xx12xx)0，从而有f(x1)一f(x2)0，即f(x1)f(jf(2)n2+n+1)f(2)。f(；)+f(111)+f(抽象函数问题分类解析我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，求解无从下手。本文试图通过实例作分类解析，供学习参考。1.求定义域这类问题只要紧紧抓住：将函数fg(x)中的g(x)看作一个整体，相当于f(x)中的X这一特性，问题就

24、会迎刃而解。例1.函数yf(x)的定义域为(1，则函数yflog(x22)的定义域是_。2分析：因为log(x22)相当于f(x)中的X,所以log(x22)1，解得222x2或，2x，2。例2.已知f(x)的定义域为(0，1)，则yf(x+a)+f(xa)(|al；)的定义域是分析：因为x+a及xa均相当于f(x)中的x,所以0 x+a1f，ax,0 x一a1ax+a0时，则xe(，a，12时则xe(a，重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATION2.判断奇偶性根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f(X)与f(x)的关系。重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATION2.判断奇偶

25、性根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f(X)与f(x)的关系。 -7 -7 #例3.已知f(x)的定义域为R,且对任意实数X,y满足fXy)=fX，fQy，求证：f(X)是偶函数。分析：在fXy)=fX，fQy中，令x=y=1，得f(1)=f(1)，f(1)=f(1)=0令x=y=1，得f(1)=f(1),f(1)=f(1)=0于是fx-)=f(1齐)f(1)+#(x)f(x)故f(x)是偶函数。例4.若函数y=f(M()x0)与y=f(x)的图象关于原点对称，求证：函数y=f(x)是偶函数。证明：设y=f(x)图象上任意一点为P(x，y)00y=f(x与y=f(x)的图象关于原点对称，P

26、(x0，y0)关于原点的对称点(-x0，一y0)在y=-f(x)的图象上,y=f(x)00y=f(x)00又y0=f(x0)f(-x0)=化)即对于函数定义域上的任意x都有f(x)=f(x)，所以y=f(x)是偶函数。判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。例5.如果奇函数f(x)在区间3,7上是增函数且有最小值为5,那么f(x)在区间7，3上是A.增函数且最小值为-5B.增函数且最大值为-5C.减函数且最小值为5D.减函数且最大值为5分析：画出满足题意的示意图1,易知选B。-33-5重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATION #例6.已

27、知偶函数f(x)在(0,)上是减函数，问f(x)在(-8,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论。分析：如图2所示，易知f(x)在(-0)上是增函数，证明如下:任取xx-x01212y因为f(x)在(0，+)上是减函数，所以f(，x)f(，x)。12又f(x)是偶函数，所以Oxf(，x)=f(xf)，(，x)=f(x)，1122从而f(x)f(x)，故f(x)在(0)上是增函数。12图2探求周期性这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类似，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。例7.设函数f(x)的定义域为R，且对任意的x,y有cf(x+y)+f(xy)=2

28、f(x)(fy)，并存在正实数c,使f(?)=0。试问f(x)是否为周期函数？若是,求出它的一个周期；若不是，请说明理由。兀分析:仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：y=COSx满足题设条件，且cos2=0，猜测f(x)是以2c为周期的周期函数。ccccccf(x+2)+2+f(x+2)-2=2f(x+2)f(2)=0f(x+c)=_f(x)f(x+2c)=，f(x+c)=f(x)故f(x)是周期函数，2c是它的一个周期。求函数值紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性,利用周期性使问题巧妙获解。例8.已知f(x)的定义域为R+，且+=)f

29、()+f()对一切正实数X,y都成立，若f=4，则f(2)=分析：在条件fy+=)+f)中，令x=y=4，得f(8)=f(4)+f(4)=2f(4)=4,重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATION # #重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATIONf=2又令x=y=2,得f(4)=f(2),f(2)=2,f=1例9.已知f(x)是定义在R上的函数，且满足：f(x,2)1-f(x)=1,f(x),f(1)=1997，求f(2001)的值。分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现f(x)是周期函数，显然f(x)1，于是f(x,2)=1，f(x)，1-f(x)f(x,4)-1+f(x+2)

30、-f)1f(x，2)1,1+f(x)1f(x)-111+f(x)f(x)1f(x)所以f(x+8)=f(x)f(x，4)故f(x)是以8为周期的周期函数，从而f(2001)=f(8250,1)冷1997比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。例10.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，x0时，f(x)是增函数，若x0，且|xllx丨,1212则f(x),f(x)的大小关系是。12分析：x0且|x|x|，12120 xx=一xx01221又x0时，f(x)是增函数，f(x)f(X)12讨论方程根的问题例11.已知函数f(X)对一切

31、实数X都满足f(1，X)=f(1X)，并且f(x)=0有三个实根，则这三个TOC o 1-5 h z实根之和是。分析：由f(1，X)=f(1X)知直线X=1是函数f(X)图象的对称轴。又f(X)=0有三个实根，由对称性知X=1必是方程的一个根，其余两根X，X关于直线X=1对称,123所以x,x=212=，故x,x,x=3。23123&讨论不等式的解求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。例12.已知函数f(X)是定义在(-，1上的减函数，且对一切实数x，不等式fk-sinx)fk2sin)x恒成立，求k的值。分析：由单调性，脱去函数记号，得k2一sin2x1Vk一sinxk2一si

32、n2xTOC o 1-5 h zk2(sinx一)2(2)I42由题意知(1)(2)两式对一切xeR恒成立，则有k2(sinx一)2=I0,g(1)=2,g(x)是增函数.g(x)+lg(m)g(n)=g(m+n)(m、nWR)求证：f(x)是R上的增函数n当neN,n三3时,f(n)n+1解：设xx12g(x)是R上的增函数，且g(x)0重庆书之香教育hCHONGQINGEDUCATION # 重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATION关系易知，f(X4)的反函数的图象必过定点(1,-4)。 #重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATIONg(xi)g(x2)012g(X)+lg

33、(x2)+102g(x)+1220g(x)+112g(x)+122-0g(x)+11重庆书之香教育hCHONGQINGEDUCATION # #重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATION关系易知，f(X4)的反函数的图象必过定点(1,-4)。 #重庆书之香教育hCHONGQINGEDUCATION # #重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATION关系易知，f(X4)的反函数的图象必过定点(1,-4)。 #g(x)11g(x)+11g(x)12g(x)+1222=1-(1g(x)+1g(x)+112重庆书之香教育hCHONGQINGEDUCATION # #重庆书之香教育CHON

34、GQINGEDUCATION关系易知，f(X4)的反函数的图象必过定点(1,-4)。 #重庆书之香教育hCHONGQINGEDUCATION #重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATION关系易知，f(X4)的反函数的图象必过定点(1,-4)。 #22=-0g(x)+1g(x)+121f(xi)f(x2)f(x)是R上的增函数g(x)满足g(m)g(n)=g(m+n)(m、nWR)且g(x)0g(n)=g(1)n=2n当nGN,n三3时，2nnf(n)=1-n1=1-n+1n+12n=(1+1)n=1+n+C+n+12n+1n.2n+12n+221211-2n+1n+12n+1n+1 H

35、YPERLINK l bookmark161,n当nGN,n三3时,f(n)n+13.设f/x)f2(x)是(0,+R)上的函数，且fx)单增，设f(x)=f(x)+f2(x)，且对于(0,+8)上的任意两相异实数X,x2恒有|f(X)f(x2)|f2(X)f2(x2)|求证：f(X)在(0,+8)上单增.设F(x)=xf(x),a0、b0.求证：F(a+b)F(a)+F(b).证明：设xx02重庆书之香教育hCHONGQINGEDUCATION # 重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATION关系易知，f(X4)的反函数的图象必过定点(1,-4)。 #重庆书之香教育hCHONGQING

36、EDUCATION #重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATION关系易知，f(X4)的反函数的图象必过定点(1,-4)。 #f(x)在(0,+s)上单增f(x)f(x)011121f1(X1)-f1(X2)I=f1(X1)-f1(X2)01(X1)f1(X2)llf/Rf2(X2)1f(x)-f(x)f(x)f(x)f(x)+f(x)11211222f(x1)f(x2)f(x)在(0,+s)上单增F(x)=xf(x),a0、b0a+ba0,a+bb0F(a+b)=(a+b)f(a+b)二af(a+b)+bf(a+b)f(x)在(0,+s)上单增F(a+b)af(a)+bf(b)二F(a

37、)+F(b)函数y=f(x)满足f(a+b)=f(a)f(b),f(4)=16,m、n为互质整数,nMOm求玖)的值nf(0)=f(O+O)=f(O)f(0)=f2(0)f(0)=0或1.若f(0)=0则f(4)=16二f(0+4)=f(0)f(4)=0.(矛盾)f(1)=1f(4)=f(2)f(2)=f(l)f(1)f(1)f(1)=161f(l)=f2(2)20f(1)=2.仿此可证得f(a)20.即y=f(x)是非负函数.f(0)=f(a+(-a)=f(a)f(-a)f(-a)=nWN*时f(n)二fn(1)=2n,f(-n)=2-n1111f(1)=f(+)=fn()=2nnnn重庆书

38、之香教育.CHONGQINGEDUCATION重庆书之香教育.CHONGQINGEDUCATION1- #1- 重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATION关系易知，f(X4)的反函数的图象必过定点(1,-4)。 #1JTOC o 1-5 h zf()=2nnm1mf()=f()m=2n HYPERLINK l bookmark143nn定义在(-1,1)上的函数f(x)满足x+y任意x、yW(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(),xW(-1,0)时,1+xy有f(x)0判定f(x)在(-1,1)上的奇偶性，并说明理由判定f(x)在(-1,0)上的单调性，并给出证明,111TOC o

39、 1-5 h z求证：f()=f()f()n2+3n+1n+1n+21111或f(u)+f()+(c.)f(C)(nWN*)511n2+3n+12解：1)定义在(-1,1)上的函数f(X)满足任意X、yW(-1,1)x+y都有f(x)+f(y)=f()，则当y=0时,f(x)+f(0)=f(x)1+xyf(0)=0当x=y时，f(x)+f(-x)=f(0)f(x)是(-1,1)上的奇函数2)设0 xx-1.12xx、f(x)-f(x)=f(x)+f(-x)=f(12)12121一xx120)时,x-x0120 xx-1,xW(-1,12有f(x)0,1-Xx0,x，x、fC12)01一xx12

40、重庆书之香教育.CHONGQINGEDUCATION重庆书之香教育.CHONGQINGEDUCATION1- 1- #重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATION关系易知，f(X4)的反函数的图象必过定点(1,-4)。 #重庆书之香教育.CHONGQINGEDUCATION重庆书之香教育.CHONGQINGEDUCATION1- #1- #重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATION关系易知，f(X4)的反函数的图象必过定点(1,-4)。 #3)即(x)在(-1,0)上单调递增.11f(n2+3n+1)=f(n2+3n+2-1)重庆书之香教育.CHONGQINGEDUCATION重

41、庆书之香教育.CHONGQINGEDUCATION1- #1- #重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATION关系易知，f(X4)的反函数的图象必过定点(1,-4)。 #(n+1)(n+2)=f(n+1)(n+2)1_1n+1n+2、w11)1-n+1n+2重庆书之香教育hCHONGQINGEDUCATION重庆书之香教育hCHONGQINGEDUCATION # 重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATION关系易知，f(X4)的反函数的图象必过定点(1,-4)。 #=f(1)-f(2)n1n21()+f1111f(5)+f(n23n1)11=f()-f()+f()-f()+f()

42、+-+f(23344111-f(2)=f(2)+f(-2)22n211n1)-f(n2)1=f(2)x(T,0)f(-1n2)0,11即f(5)+f(11)+f(时，有f(x)0111f(2)+f(-n2)f(2)1-1n23n1)f(2)重庆书之香教育hCHONGQINGEDUCATION重庆书之香教育hCHONGQINGEDUCATION # #重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATION关系易知，f(X4)的反函数的图象必过定点(1,-4)。 #1)设f(x)是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x=1对称，对任意x、x，0,2都有f(x+x)=12212f(X)f(x2),且f(l

43、)=aO.求f(2)及f(4)；证明f(x)是周期函数记a=f(2n+2n),求lim(叽)ngxx解：由f(x)=f(2+2)=f(x)20,f(x)a=f(1)=f(2n)=f(21n+2n+-+2n)=f2n2n2n2n解得f(2n)=a2重庆书之香教育hCHONGQINGEDUCATION重庆书之香教育hCHONGQINGEDUCATION # #重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATION关系易知，f(X4)的反函数的图象必过定点(1,-4)。 #重庆书之香教育hCHONGQINGEDUCATION重庆书之香教育hCHONGQINGEDUCATION #重庆书之香教育CHONG

44、QINGEDUCATION关系易知，f(X4)的反函数的图象必过定点(1,-4)。 #1111(2)=a2,f(4)=a4.f(x)是偶函数，其图像关于直线x=1对称,f(x)=f(-x),f(1+x)=f(1-x).f(x+2)=fl+(l+x)=fl-(l+x)=f(x)=f(-x).f(x)是以2为周期的周期函数.111叮f(2n+2n)=f(2n)=2重庆书之香教育hCHONGQINGEDUCATION重庆书之香教育hCHONGQINGEDUCATION # #重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATION关系易知，f(X4)的反函数的图象必过定点(1,-4)。 #重庆书之香教育hCHONGQINGEDUCATION重庆书之香教育hCHONGQINGEDUCATION # #重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATION关系易知，f(X4)的反函数的图象必过定点(1,-4)。 #lna血(lnan)=応2a=0ngng重庆书之香教育hCHONGQINGEDUCATION重庆书之香教育hCHONGQINGEDUCATION # 重庆书之香教育CHONGQINGEDUCATION关系易知，f(X4)的反函数的图象必过定点(1,-4)。 #设yf(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意X、yWR都有f