高二数学直线方程与直线位置关系

1、教育学科教师辅导讲义讲义编号学科组长签名及日期教务长签名及日期课题直线的方程与直线位置关系授课时间：2009 年 4 月 12日17:30-19:30备课时间：2009 年 4 月 10 日教学目标1 理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握直线方程的各种形式，并会灵活的应用于求直线的方程。2理解直线与直线的位置关系的判定；点到直线的距离公式；两直线的夹角公式、到角公 式重点、难点1 根据直线方程的各种形式的使用条件与范围及题目条件选用恰当形式的直线方程解题2 会灵活应用两直线平行、垂直，点到直线的距离公式，两直线的夹角公式等解决相关问题考点及考试要求根据直线方程的各种形式的使用条件与范围及题目条件

2、选用恰当形式的直线方程解题，会 灵活应用两直线平行、垂直，点到直线的距离公式，两直线的夹角公式等解决相关问题教学内容（一）主要知识：（ 1）直线方程倾斜角：一条直线l 向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为0,.斜率：当直线的倾斜角不是90 时，则称其正切值为该直线的斜率，即k tan ; 当直线的倾斜角等于90 时，直线的斜率不存在。过两点P1x1,y1,P2x2, y2x1x2的直线的斜率公式: k tany2y1x2 x1若 x1x2 ，则直线P1P2 的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90 .直线的方向向量：设A, B 为直线上的两点，则向量AB 及与它平行的向

3、量都称为直线的方向向量.若 Ax1,y1， Bx2, y2，则直线的方向向量为AB =x2x1, y2y1.Ax By C 0 的方向向量为B, A . 当 x1 x2 时，1,k 也为直线的一个方向向量.直线方程的种形式：名称方程适用范围斜截式y kx b不含垂直于x轴的直线点斜式y y0 k x x0不含直线xx0两点式y y1x x1y2y1x2 x1不含直线x x1 ( x1x2 ) 和直线yy1 y1y2截距式xy1 ab不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax By C 0 (A2 B2 0)平面直角坐标系内的直线都适用2)平面内两条直线的位置关系有三种：重合、平行、相交1. 当直

4、线不平行于坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定斜截式一般式方程l1 ：yk1x b1l2：yk2x b2l1：A1x B1y C10l2： A2x B2y C20相交k1 k2A1B2A2B10垂直k1k21A1 A2B1B20平行k1k2且 b1 b2A1B2A2B10A1B2A2B10或B2C1B1C20A1C2A2C10重合k1k2且 b1 b2A1B2A2B1B2C1B1C2A1C2A2C102. 当直线平行于坐标轴时可结合图形进行考虑其位置关系说明： 由于直线Ax By C 0的方向向量为B, A ，可推导上述结论.点到直线的距离、直线与直线的距离：Ax0 By0 C 22.

5、点 P x0,y0 到直线 Ax By C 0的距离为：d 00(A2 B2 0)A2 B2.直线l1 l 2，且其方程分别为l1： Ax By C1 0, l2： Ax By C2 0C1 C222则 l1 与 l2的距离为：d 12 (A2 B2 0)12A2 B2( 4)两条直线的夹角公式：若直线 l1 的斜率为k1 ， l2的斜率为k2，则：k2 k1 TOC o 1-5 h z 1.直线l1 到 l2的角满足：tan 21 （k1k21） .1 k1k22.直线l1与直线l2所成的角（简称夹角）满足： tank2 k1 （k1k21）1 k1k2说明： 当 l1和 l2的斜率都不存在

6、时，所成的角为0 ；当l1 与 l 2的斜率有一个存在时，可画图、观察，根据另一条直线的斜率得出所求的角；l1 到 l2的角1不同于 l2到 l1的角2，它们满足：12. 到角范围：0,；夹角范围：0,2（二）典例分析：问题 1. 已知两点 A 1,2 ， B m,3 . 1 求直线 AB 的斜率 k 和倾斜角；求直线 AB 的方程；3 若实数 m 3 1, 3 1 ，求 AB 的倾斜角的范围 .问题 21 （ 01 河南）已知直线l 过点 P 0,0 且与以点 A 2, 2 ， B 1, 1 为sin 1端点的线段相交，求直线l 的斜率及倾斜角的范围 . 2 求函数 y sin 1 的值域

7、.cos3 求满足下列条件的直线l 的方程：1 过两点 A 2,3 ， B 6,5 ；2 过 A 1,2 ，且以 a 2,3 为方向向量；3 过 P 3,2 ，倾斜角是直线x 4y 3 0的倾斜角的2倍；4 过 A 5,2 ，且在 x轴， y轴上截距相等；5 在 y 轴上的截距为3 ，且它与两坐标轴围成的三角形面积为6 ；6 过 P 2,3 ，且与 x轴、 y轴分别交于A、B 两点，若点P 分 AB 6 过 P 2,3 ，且与 x轴、 y轴分别交于A、B 两点，若点P 分 AB 比为 2 .问题41 （ 06上海春 ）直线 l 过点 P 2,1 ，且分别与x, y轴的正半轴于A,B 两点， O

8、为原点最小值时l 的方程，2 PA PB 取最小值时l 的方程 .求 AOB 面积问题 5. 已知两条直线l1 ： ax by 4 0和 l2：a 1 x y b 0，求满足下列条件的a,b且过点3, 1 2 l1 l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.1 l1l2，3：等腰三角形一腰所在的直线l1 的方程是x 2y 2 0 ，底边所在的直线l2的方程是2,0 在另一腰上，求这腰所在直线l3的方程 .已知三条直线l1： 2x y a 0 a 0 。直线l2：x y 10 ，且 l1 与 l2的距离是75101 求 a 的值；4x 2y 1 0 和直线2 求 l3到 l1 的角 ；x y 1

9、0 ，点8. 如图所示， ABC 的顶点 A 3,4 ， B 6,0 ， yC 5, 2 ，求 A的平分线（ 至少用两种解法）22225. 已知：a、 b R，且a b 2，求证：a 2 b 2 2A. A. 1 B. 2 C. 3 D. 41）直线方程练习 TOC o 1-5 h z （ 01 上海春）若直线x 1 的倾斜角为，则A. 等于 0 B. 等于 C. 等于 D. 不存在42（ 95全国）如右图，直线l1,l2,l3的斜率分别为k1, k2, k3 ，则A.k1k2k3B.k3k1k2C.k3k2k1D.k1k3k2A.（ 04 合肥模拟） 直线 l 的方向向量为1,2 ，直线 l

10、 的倾斜角为4433，则 tan 2 A.B.C.D.3344（ 04 西安理工附中高二数学） 直线l 的方向向量为（ 1,2） ，则 l 的倾斜角为A. arctan 2 B. arctan（ 2） C. arctan 2 D. arctan 2, ，则直线xcos ysin 10的倾斜角为A. B. C.D.22直线 xcos 3y 2 0 R 的倾斜角范围是A.5 B. 05 C. 0 5 D. 56,22,6,66,66,6（ 95 上海）下面命题中正确的是：经过定点P0 x0 ,y0 的直线都可以用方程y y0 k x x0 表示 .经过任意两个不同的点P1x1, y1,P2x2 ,

11、y2的直线都可以用方程yy1x2x1x x1y2 y1 表示；不经过原点的直线都可以用方程x y 1 表示abD.经过点 A 0,b 的直线都可以用方程y kx b表示已知三点A 3,1 、 B 2,k 、 C 8,11 共线，则k 的取值是A. 6 B. 7 C. 8 D. 9过点 2,1 在两条坐标轴上的截距绝对值相等的直线条数有直线 x tan y 0 的倾斜角为51（ 00 上海春）若直线l 的倾斜角为arctan ，且过点1,0 ，则直线l 的方程为一直线过点A 3,4 ，且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是若两点 A（ 1, 5） ， B（3, 2） ，直线 l 的倾斜角是直

12、线AB 的一半，求直线l 的斜率3，10，已知 A a,3 ， B 5, a 两点，直线AB 的斜率为1 ，若一直线l 过线段 AB 的中点且倾斜角的正弦值为 求直线 3，10，1）直线与直线位置关系练习已知直线l1 ： m 2 x m 3 y 5 0 和直线 l 2 ： 6x 2m 1 y 5 ，求满足下列条件的实数m 的取值范围或取值：1 l1与 l2相交； 2 l1 l2：；3 l1 l2；4 l1与 l2重合；（ 07 届高三北京海淀第一学期期末练习）若直线x 1 m y m 2 0 与直线mx 2y 8 0平行，则实数m的值为A. 1 B. 2 C. 1 或 2 D. 1 或 2（

13、98上海）设a,b,c分别为 ABC 所对边长，则直线xsin A ay c 0与直线bx ysin B sin C 0的位置关系是：A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 相交但不垂直4.已知 5x 12y 60，则x2 y2 的最小值是6.若两平行线3x 4y 6 0与 6x 8y k 0 之间的距离为2，则k7.直线l1在 x轴和y轴上的截距分别为3和 1，直线l2的方程为ax y 1 0 ，直线l1 与 l2的夹角为45 ，则 a 的值8. 已知一直线l 被两直线l1 ： 3x 4y 7 0和 l2： 3x 4y 8 0截得的15线段长为15 ，且 l 过点 P 2,3 ，求直线l

14、的方程 .（ 02全国）直线ax by ab a 0,b 0 的倾斜角为babaA. arctan B. arctan C. arctan D. arctan abab（ 04 湖南文）设直线ax by c 0的倾斜角为，且 sin cos 0 ，则 a,b满足：A. a b 1 B. a b 1 C. a b 0 D. a b 011（ 06北京 ）若三点 A（2,2）, B（a,0）, C（0,b） （ab 0）共线，则11 的值等于ab（ 05 湖南）设直线的方程是Ax By 0，从 1,2,3,4,5 这五个数中每次取两个不同的数作为 A, B 的值，则所得不同直线的条数是A. 20

15、B. 19 C. 18 D. 16（ 05 广东 ） 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长 y TOC o 1-5 h z 为 2 ，宽为 1 ， AB 、 AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，DA 点与坐标原点重合（如图所示）. 将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上 . （）若折痕所在直线的斜率为k ，OAB x试写出折痕所在直线的方程；（）求折痕的长的最大值D. AB11BA221（ 98 全国）两条直线A1x B1y C1 0D. AB11BA221A. A1A2 B1B2 0 B. A1A2B1B20 C. A1A21B1B218（ 05北京） “ m ”是“直线 m 2 x

16、 3my 1 0与直线 m 2 x m 2 y 3 0 相互垂直”的A. 充分必要条件；B. 充分而不必要条件；C.必要而不充分条件；D. 既不充分也不必要条件.9（ 00 京皖春）直线32 x y 3和直线 x 23 y 2的位置关系是A. 相交不垂直B. 垂直C. 平行D.重合10（ 04全国）过点1,3 且垂直于直线x 2y 3 0的直线方程为A. 2x y 1 0 B. 2x y 5 0 C. x 2y 5 0 D. x 2y 7 011（ 05全国 ） 已知过点A（ 2, m）和 B（m,4） 的直线与直线2x y 1 0 平行，则m的值为A. 0B. 8C. 2 D. 1012（ 07天津文） “ a 2”是“直线 ax 2y 0平行于直线x y 1”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要