知识讲解-数学归纳法(提高)(理)1218-

1、PAGE数学归结法编稿：赵雷审稿：李霞【进修目标】1了解数学归结法的道理及实用范畴控制数学归结法证题的思绪跟特色。2能够应用数学归结法证实与正整数有关的命题。【要点梳理】常识点一、数学归结法的道理数学归结法界说:关于某些与天然数n有关的命题经常采纳上面的办法来证实它的准确性：先证实当n取第一个值n0时命题成破；而后假定当n=k(kN*，kn0)时命题成破，证实当n=k+1时命题也成破这种证实办法就叫做数学归结法要点解释：即先验证使论断有意思的最小的正整数n0，假如当n=n0时，命题成破，再假定当n=k(kn0，kN*)时，命题成破.(这时命题能否成破不是断定的)，依照那个假定，如能推出当n=k

2、+1时，命题也成破，那么就能够递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，命题都成破.数学归结法的道理：数学归结法是专门证实与正整数集有关的命题的一种办法，它是一种完整归结法。它的证实共分两步：证实了第一步，就取得了递推的根底。但仅靠这一步还不克不及阐明论断的广泛性.在第一步中，调查论断成破的最小正整数就充足了，不须要再调查几多个正整数，即便命题对这几多个正整数都成破，也不克不及保障命题对其余正整数也成破；证实了第二步，就取得了递推的依照。但不第一步就掉掉了递推的根底.只要把第一步跟第二步联合在一同，才干取得广泛性的论断。此中第一步是命题成破的根底，称为“归结根底或称专门性，第二步是递推

3、的证据，处置的是延续性咨询题又称通报性咨询题。3.数学归结法的功用跟实用范畴1.数学归结法存在证实的功用，它将无量的归结进程依照归结正义转化为有限的专门归结直截了当验证跟归结推理相联合进程.2.数学归结法普通被用于证实某些与正整数n取有限多个值有关的数学命题。然而，并不克不及庞杂地说所有与正整数有关的数学命题都可应用数学归结法证实。常识点二、应用数学归结法的步调与技能1用数学归结法证实一个与正整数有关的命题的步调：(1)证实：当n取第一个值n0论断准确；(2)假定当n=k(kN*，且kn0)时论断准确，证实当n=k+1时论断也准确由(1)，(2)可知，命题关于从n0开场的所有正整数n都准确2用

4、数学归结法证题的本卷须知1弄错肇端n0n0不必定恒为1，也能够n0=2或3即终点咨询题2对项数预算过错特不是当寻寻n=k与n=k+1的关联时，项数的变更易呈现过错即跨度咨询题3不应用归结假定归结假定是必需求用的，假定是起桥梁感化的，桥梁断了就过不去了，全部证实进程也就不准确了即伪证咨询题4要害步调模糊不清“假定n=k时论断成破，应用此假定证实n=k+1时论断也成破是数学归结法的要害一步，也是证实咨询题最主要的环节，推导的进程中要把步调写完好，别的要留意证实进程的谨严性、规范性即规范咨询题3.用数学归结法证题的要害：应用数学归结法由n=k到n=k+l的证实是证实的难点，打破难点的要害是控制由n=

5、k到n=k+1的推证办法在应用归结假定时，应剖析由n=k到n=k+1的差别与联络，应用拆、添、并、放、缩等手腕，或从归结假定动身，或从n=k+1时不离出n=k时的式子，再进展部分调剂；也能够思索二者的联合点，以便顺遂过渡常识点三、用数学归结法证题的范例：1.用数学归结法证实与正整数有关的恒等式；关于证实恒等的咨询题，在由证等式也成破时，应实时把论断跟推导进程比照，也确实是咱们平日所说的双方凑的办法，以减小盘算的庞杂水平，从而发觉所要证实的式子，使咨询题的证实有目标性2.用数学归结法证实与正整数有关的整除性咨询题；用数学归结法证实整除咨询题时，由到时，起首要从要证的式子中拼集出假定成破的式子，而

6、后证实残余的式子也能被某式数整除，这是数学归结法证实咨询题的一年夜技能。3.用数学归结法证实与正整数有关的几多何咨询题；数学归结法在高测验题中常与数列、破体几多何、剖析几多多么知知趣联合来调查，关于此类咨询题处置的要害每每在于捉住对咨询题的所分别规范，比方在破体几多何中要捉住线段、破体、空间的个数与交点、交线间的关联等4.用数学归结法证实与正整数有关的不等式.用数学归结法证实一些与n有关的不等式时，推导“nk1时成破，偶然要进展一些庞杂的放缩，偶然还要用到一些其余的证实不等式的办法，如比拟法、综正当、剖析法、反证法等等5.用数学归结法证实与数列有关的命题.由有限个专门事例进展归结、猜测、，从而

7、得出普通性的论断，而后加以证实是迷信研讨的主要思维办法在研讨与正整数有关的数学命题中，此思维办法尤其主要【典范例题】范例一、对数学归结法的两个步调的看法例1.对所有nN*，试比拟2n与n2的巨细【思绪点拨】在证实与正整数有关的命题时，要紧着重调查“终点能否为1那个易误点。【剖析】当n=1时，2112，即2nn2；当n=2时，22=22，即2n=n2；当n=3时，2332，即2nn2；当n=4时，24=42，即2n=n2；当n=5时，2552，即2nn2；当n=6时，2662，即2nn2；猜测：当n5，2nn2上面用数学归结法证实猜测成破1当n=5时，由上可知猜测成破2假定当n=kk5时，命题成

8、破，即2nn2那么当n=k+1时，2k+1=22k2k2=k2+k2k2+(2k+1)=(k+1)2，即当n=k+1时，猜测成破依照1、2可知，当n5时，2nn2都成破因而n=2或4时，2n=n2；n=3时，2nn2；n=1或n5时，2nn2【总结升华】本例是先用归结推理设出猜测，再用数学归结法证实猜测在用数学归结法证实时，要留意2n与n2的巨细关联只要在n5时才波动上去，故终点n=5另一个易错点在假定n=k时要带下限度前提k5触类旁通：【变式】应用数学归结法证实：“凸多边形的对角线的条数是时，n的第一个取值n0该当是_【谜底】3【高清讲堂：数学归结法401473例题3】例2.用数学归结法证实

9、等式：【思绪点拨】此题是一个与正整数n取有限多个值有关的数学命题，故可思索用数学归结法进展证实.【剖析】(1)事先，1=123，论断成破.(2)假定时论断成破，即事先，那么阐明事先论断也成破.综合上述，可知论断对所有都成破.【总结升华】在应用归结假定论证n=k+1时等式也成破时，应留意剖析n=k跟n=k+1时两个等式的差别。触类旁通：【变式1】曾经明白n是正偶数，用数学归结法证实时，假定已假定n=k且为偶数时命题为真，那么还需证实A.n=k+1时命题成破B.n=k+2时命题成破C.n=2k+2时命题成破D.n=2k+2时命题成破【谜底】因n是正偶数，故只要证等式对所有偶数都成破，因k的下一个偶

10、数是k+2，应选B【高清讲堂：数学归结法401473例题12】【变式2】用数学归结法证实“1+nnN*，n1时，由n=kk1不等式成破，推证n=k+1时，左边应添加的项数是A2k1B2k1C2kD2k+1【谜底】C。左边的特色：分母逐步添加1，末项为;由n=k，末项为到n=k+1，末项为=，应添加的项数为2k【变式3】2016汕头模仿改编用数学归结法证实：n+1n+2n+n=132n1nN*【谜底】1当n=1时，左边=1+1=2，左边=211=2，等式成破2假定n=k时，k+1k+2k+k=2k132n1成破那么当n=k+1时，左边=因而当n=k+1时等式成破依照1、2可知，等式对恣意的nN*

11、都成破范例二、应用数学归结法证实等式例3用数学归结法证实：当n2，nN*时，【剖析】1当n=2时，左边，左边，n=2时等式成破2假定当n=kn2，nN*时等式成破，即那么当n=k+1时，当n=k+1时，等式也成破依照1跟2知，对恣意n2，nN*等式都成破【总结升华】数学归结法经常用来证实与非零天然数有关的命题；在证实进程中，应用归结假定，只要经过归结假定的应用，才到达由n=k的状况递推到n=k+1的状况，保障了命题的通报性；用数学归结法证实时，要留意从时的情况到时的情况是怎么样过渡的，即要证实时等式成破，应怎样应用时等式成破这一假定.显然，分清等式双方的形成状况是处置这一咨询题的要害；触类旁通

12、：【变式】用数学归结法证实：12-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)()【谜底】(1)当n=1时，左12223，右-1(21+1)=-3，命题成破.(2)假定n=k()时命题成破刻12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)那么当n=k+1时，左边12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2-(2k2+5k+3)-(k+1)(2k+3)-(k+1)2(k+1)+1当n=k+1时命题成破.综上由(1)(2)命题对都成破.例4.对恣意正偶数n，求证：【思绪点拨】

13、留意由n=k到n=k+1时，等式的双方会添加几多项，添加怎么样的项【剖析】1当n=2时，等式左边，等式左边，左边=左边，等式成破2假定n=2kkN*时等式成破，即成破当n=2k+2kN*时，对n=2k+2nN*等式成破由1、2知，对所有正偶数n=2kkN*等式成破【总结升华】1此题为用数学归结法证实咨询题的一种新题型，传统咨询题基本上论证对延续的正整数成破，而这里酿成对延续的正偶数成破归结假定为n=2k，与它延续的是n=2k+2，相称于由n=k到n=k+1，应留意领会数学归结法的这种变形应用，并把它用活2此题亦可假定n=kk为正偶数时等式成破，证实n=k+2时等式成破触类旁通：【变式】用数学归

14、结法证实：对恣意的nN*,1-+-+-=+.【谜底】1当n=1时，左边=1-=左边，等式成破.2假定当n=k(k1,kN*)时，等式成破，即1-+-+-=+.那么当n=k+1时,1-+-+-+-=+-=+(-)=+,即当n=k+1时，等式也成破，因而由12知对恣意的nN*等式成破.范例三、用数学归结法证实不等式例5.用数学归结法证实不等式：【剖析】当n=1时，左式，右式，左式右式，因而论断成破假定n=k时论断成破，即，那么当n=k+1时，要证当n=k+1时论断成破，只要证，即证由均值不等式知，成破，故成破，因而，当n=k+l时，论断成破由可知，对恣意的nN*，不等式成破【总结升华】1数学归结法

15、证实命题，格局谨严，必需严厉按步调进展；2归结递推是证实的难点，应看准“目标进展变形；3由k推导到k+1时，偶然能够“套用别的证实办法，如：比拟法、剖析法、放缩法等，表示出数学归结法“灵敏的一面触类旁通：【高清讲堂：数学归结法401473例题4】【变式1】用数学归结法证实不等式【谜底】1当n=1时，左=，右=2，不等式成破2假定当n=k时等式成破，即那么当n=k+1时，不等式也成破综合12，等式对所有正整数都成破【变式2】曾经明白，求证：n1时，.【谜底】1)n=2时，左式=,右式=，左式右式，不等式成破，n=3时，左式=,右式=，左式-右式=，左式右式，不等式成破.2)假定n=k(,k3)时

16、不等式成破，即，当n=k+1时，即n=k+1时，不等式也成破.由12可知，n1,nN时，都有.【变式3】设数列an满意a1=2，an+1=an+n=1，2，.证实an对所有正整数n都成破；【谜底】证法一：当n=1时，a1=2，不等式成破.假定n=k时，ak成破，当n=k+1时，ak+12=ak2+22k+3+2k+1+1，当n=k+1时，ak+1成破.综上，由数学归结法可知，an对所有正整数成破.证法二：当n=1时，a1=2=论断成破.假定n=k时论断成破，即ak，当n=k+1时，由函数fx=x+x1的枯燥递增性跟归结假定有ak+1=ak+=.当n=k+1时，论断成破.因而，an对所有正整数n

17、均成破.范例三：用数学归结法证实与数列有关的命题例6.曾经明白数列中，.()求的值；()揣测数列的通项公式，并证实.【思绪点拨】不雅看、归结、猜测、证实，是经常应用的综合性数学办法；不雅看是处置咨询题的前提前提，公道的试验跟归结，提出公道的猜测，而后证实.【剖析】()，即+，即+，()猜测.证实如下：1事先，论断成破.假定时成破，即.即由得=，阐明事先，论断也成破.综合上述，可知对所有nN，都有【总结升华】用数学归结法证实与递推关联有关的命题时依归结假定证实时命题也成破时，除了用上假定外，必定还得用上递推关联，否那么假定也没法用.这是用数学归结法证实递推关联时值得留意的地点.触类旁通：【变式1

18、】在数列an中,a1=1,Sn是它的前n项跟,当n2时,(1)求的值,并揣测an的通项公式.(2)用数学归结法证实所得的论断.【谜底】1S2=a1a2=1a2,2(1a2)2=2a2(1a2)a2,解得.这时S2=,S3=S2a3=a3,2(a3)2=2a3(a3)a3,解得.这时S3=,S4=S3a4=a4,2(a4)2=2a4(a4)a4,解得.由,，猜测：n2时,数列an的通项公式是上面用数学归结法证实：1)当n=1，n=2时论断成破.2)假定当n=k(k2)时论断成破,即,这时Sk=a1a2ak=,当n=k1时,由得得,n=k1时论断成破.由1)、2)可知对nN时论断都成破.范例四：用

19、数学归结法证实整除性咨询题例7.能否存在正整数m，使得fn=2n+73n+9对恣意天然数n都能被m整除?假定存在，求出最年夜的m值，并证实你的论断;假定不存在，请阐明来由.【思绪点拨】，证实一个多项式或指数幂方式能被某数或某式子整除，也属于与正整数n有关的命题常用数学归结法【剖析】3436，由此猜测m=36.上面用数学归结法证实：1当n=1时，显然成破.2假定n=k时，fk能被36整除，即fk=2k+73k+9能被36整除;当n=k+1时，2k+1+73k+1+9=32k+73k+9+183k11，因为3k11是2的倍数，故183k11能被36整除.这确实是说，当n=k+1时，fn也能被36整

20、除.由12可知对所有正整数n都有fn=2n+73n+9能被36整除，m的最年夜值为36.【总结升华】用数学归结法证实整除咨询题时，要害是把n=k+1时的式子分红两部分，此中一部分应用归结假定，另一部分经过变形处置，断定其能被某数某式整除.触类旁通：【变式1】春淮安校级期末当n为正奇数时，求证xn+yn被x+y整除，当第二步假定n=2k1时命题为真，进而需验证_，命题为真。解：当n为正奇数时，求证xn+yn被x+y整除【谜底】当n为正奇数时，求证xn+yn被x+y整除用数学归结法证实时候，第二步假定n=2k1时命题为真，进而需求验证n=2k+1。故谜底为2k+1。【变式2】用数学归结法证实(nN)能被14整除.【谜底】(1)当n=0时，能被14整除命题成破(2)假定n=kk0时命题成破，即k0能被14整除那么当n=k+1时，能被14整除，56能被14整除能被14整除即当n=k+1时命题也成破，综上由(1)(2)得，命题对nN成破.范例五：用数学归结法证实几多何咨询题例8.用数学归结法证实：凸n边形的对角线的条数是n(n3)n3，nN*【剖析】1当n=3时，n(n3)=0，这确实是说，三角形不对角线，故论断准确2假定n=kk