求轨迹方程的常用方法例题及变式名师制作优质教学资料

1、求轨迹方程的常用方法：题型一直接法此法是求轨迹方程最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件M |P(M)直接翻译成x, y的形式f(x,y)=0,然后进行等价变换，化简 f(x, y) = 0,要注意轨迹方程的纯粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外(纯粹性)；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性) 。例1过点A(2,3)任作互相垂直的两直线 AM和AN ,分别交x, y轴于点M , N ,求线段MN中点P的轨迹方程。解：设P点坐标为P(x, y),由中点坐标公式及M,N在轴上得M (0,2y),N(2x,0)(x,y R

2、)AM _ AN0 -3 2y -3八二= -1 (x 1),化简得 4x + 6y -13 = 0 (x 11)2x -2 0-23、当x=1时，M (0,3) , N (2,0),此时MN的中点P(1, )它也满足方程4x + 6y13 = 0,2所以中点P的轨迹方程为4x+6y13=0。变式1已知动点M(x,y)到直线l :x =4的距离是它到点 N (1,0)的距离的2倍。求动点M的轨迹C的方程；过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点。若A是PB的中点，求直线 m的斜率。题型二定义法圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，包括用定义法求轨迹方程

3、。例2动圆M过定点P( -4,0),且与圆C: x2 +y2 8x = 0相切，求动圆圆心 M的轨迹方程。解：根据题意| MC | -1 MP |=4 ,说明点M到定点C、P的距离之差的绝对值为定值，故点M的轨迹是双曲线。2a =4，a = 2 , c = 4b = c2 - a2 = 12 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 22故动圆圆心 M的轨迹方程为 个匕 =1 HYPERLINK l bookmark54 o Current Document 412变式2在4ABC中，BC=24, AC, AB上的两条中线长

4、度之和为39,求 ABC的重心的轨迹方程.解：以线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系，如图 1, M为重心，则有 BM I +|CM| =-x39=26 ./3.M点的轨迹是以B, C为焦点的椭圆，也/7匕22.1其中 c =12, a =13 . . b =a c =5 . HYPERLINK l bookmark71 o Current Document 22：所求ABC的重心的轨迹方程为 工+工=1&r0)169 25题型三相关点法此法的特点是动点 M (x, y)的坐标取决于已知曲线C上的点(x, y)的坐标，可先用x, y来表示x,y,再代入曲线 C的方程f(

5、x, y) = 0,即得点M的轨迹方程。例3如图，从双曲线x2 y2 =1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N，求线段QN 的中点P的轨迹方程分析：从题意看动点 P的相关点是Q, Q在双曲线上运动，所以本题适合用相关点法。解：设动点P的坐标为(x, y),点Q的坐标为(x1, y1),则点N的坐标为(2x - x1,2y - y1)丁 N在直线x + y = 2上，, 2x -x1 +2yy1 =2 又丁 P Q垂直于直线x+y=2,-一y1 =1,即 x-y + y1 -x1 = 0 x -x1由解得x由解得xx 为 -12213dy113dy1二二x -y-122又点Q在双曲线x2 -

6、y2 =1上，二x12 - y12=1代入，得动点 P的轨迹方程为2x22y2代入，得动点 P的轨迹方程为2x22y2 _2x + 2y_1 = 0变式3已知 ABC的顶点B(40) C(1,0),顶点A在抛物线y=x2上运动，求 ABC的重心G的轨迹方程.-3 1 x0 x =解：设G(x, y), A(%, y),由重心公式，得 3y0F，x0 = 3x 2,J y0 = 3V.A(xo, y。)在抛物线2 r2y x 上，, , y0 x0 . 区将，代入，得 3y =(3x 2)2(y -0),即所求曲线方程是y =3x2+4x+g(y #0).题型四参数法选取适当的参数，分别用参数表

7、示动点坐标x,y ,得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程，选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素，然后在选取合适的参数，因为参数不同，会导致运算量的不同，常见的参数有截距、角度、斜率、线段长度等。例4已知线段AA=2a ,直线l垂直平分AA于O ,在l上取两点P, P,使有向线段O百OP；满足0印OP；=4,求直线AP与AP的交点M的轨迹方程.解：如图2,以线段AA所在直线为x轴，以线段 AA的中垂线为y轴建立直角坐标系. 设点 P(0, t)(t 00),则由题意，得P0,4 I1. ,t由点斜式得直线 AP, A P的方程分别为y =上(x+a), y = 4 (x a).

8、ata两式相乘，消去t ,得4x2 +a2y2 =4a2(y 00).这就是所求点 M的轨迹方程.2变式4设椭圆方程为x2 + =1，过点M (0,1)的直线l交椭圆于点A, B , O是坐标原点，411 1l上的动点P满足OP = (OA +OB)，点N的坐标为(一，一)，当l绕点N旋转时，求： 22 2(1)动点P的轨迹方程；(2) |NP|的最小值与最大值.分析：(1)设出直线l的方程，与椭圆方程联立，求出x1 +x2,y1 +y2,进而表示出点P坐标，用消参法求轨迹方程；（2）将| NP |表示成变量x的二次函数。解：（1）法一：直线l过点M （0,1）,当l的斜率存在时，设其斜率为k

9、 ,则l的方程为 y = kx+1。设A（xi, y1），B（x2,y2）,由题设可列方程为y=kx+1 (T2 y2 x十了 =1将代入并化简得：(4 + k2 )x2 + 2kx 3 = 0 ,2kx1 x2 = 2所以4 k所以8y1 y2 =24 k 1 , 、x1 x2 y1y2- k 4OP (OA OB) = (-_2 ,-)=(2 ,2)2224 k 4 k设点P设点P的坐标为（x, y）,则_ kx 二24 k4 y=4n?消去参数k得4x2 +y2 _y=0当直线l的斜率不存在时，A, B的中点坐标为原点（0,0）,也满足方程,所以点P的轨迹方程为4x2 + y2 y =

10、0。法二：设点P的坐标为（x, y）,因A（x1，yi）, B（x2, y2）在椭圆上，所以22x1I2x2x1I2x242+江=1 4一 一221,22、一一得：x1 _义2 (y1 -丫2 ) = 04所以(x2)区 一x2)(y1y2)(y1 一 y2) = 04、“1*72当 x1 #x2时，有 x1 + x2 十一(% +y2)-=0 4x1 -x2x1 +x2x =2并且(y=f22y -1 _ yi - y2xx1 -x2将代入并整理得 4x2 + y2 y = 0当x1 =x2时，点A, B的坐标分别为（0,2）、（0,-2）,这时点P的坐标为（0,0）,也满足，所以点P的轨迹方程为2x十1 TOC o 1-5 h z 164 HYPERLINK l bookmark40 o Current Document 2111(2)由点P的轨迹方程知x ，即- x 1644一 21212121212