高考立体几何精选题库3

1、277.如图，四面体ABCD的棱BD长为2,其余各棱的长均是 求：二面角 A-BDC、ABCD、BAC-D 的大小.解析：取BD的中点0,连AO、0C.在AABD中，VAB=AD= VI, BD =2, . A ABD是等腰直角三角形，A01BD,同理0C_LBD. ZA0C是二面角ABDC的平面角 又 A0=0C=l, AC=C., /.ZA0C=90 .即二面角 ABDC 为直二面 角.(2).二面角 ABDC 是直二面角，AOBD, .AO,平面 BCD.A ABC在平面BCD内的射影是A BOC.VSaocb=1,Saabc= , Acos o =3.即二面角 ABCD 的大小是 22

2、3V3 arccos . 3(3)取 AC 的中点 E,连 BE、DE. VAB=BC, AD=DC,/.BDAC, DEAC,，NBED就是二面角的平面角.在ABDE中，BE = DE =如，由余弦定理，得cos a =-，23.二面角BACD的大小是兀-arccos-.3评析本例提供了求二面角大小的方法：先作出二面角的平面角，再利 用其所在的三角形算出角的三角函数值，或利用面积的射影公式S= S , cos 0 求得.278.如图所示，在三棱锥SABC中，SAL底面ABC, ABBC, DE垂 直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA=AB, SB= SC.求以BD为棱，以BDE与B

3、DC为面的二面角的度数.解法一：由于SB=BC,且E是SC中点，因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线，所以SC1BE.又已知SCDE, BEGDE = E,，SC_L平面 BDE, ASCIBD,又.SA_L底面 ABC, BD 在底面 ABC 上，ASA1BD.而 SACSC=S,所以 BDJ_平面 SAC.DE=平面 SAC n 平面 BDE, DC=平面 SAC n 平面 BDC,ABD IDE, BD_LDC.，NEDC是所求二面角的平面角.SA_L底面 ABC, .SAIAB, SA1AC.设 SA=a,则 AB=a, BC = SB= V2 a.又 ABJLBC,所以 AC=

4、VJa.在 RtASAC 中 tgNACS = = 3，所以 NAC V3ACS = 30 .又已知DE_LSC,所以NEDC=60 ,即所求的二面角等于60 .解法二：由于SB=BC,且E是SC的中点，因此BE是等腰A SBC的底边 SC 的中线，所以 SC_LBE.又已知 SC_LDE, BEGDE=E.，SC，平面 BDE,SCBD.由于SA_L底面ABC,且A是垂足，所以，AC是SC在平面ABC上的射影, 由三垂线定理的逆定理得BDLAC；又ESC, AC是SC在平面内的射影, 所以E在平面ABC内的射影在AC上，由于DAC,所以DE在平面ABC内的射影在AC上，根据三垂线定理得BD_

5、LDE.TDEu平面BDE, DCu平面BDC.，NEDC是所求二面角的平面角.以下解 法同解法一.279. 在直三棱柱 ABCA B C 中，NBAC=90 , AB= BB =1,直线B，C与平面ABC成30的角.（如图所示）（1）求点C到平面AB C的距离；（2）求二面角BB C-A 的余弦值.解析：（l）TABCA Bz C 是直三棱柱，:.A C AC, ACu平面 AB C, ：.K C 平面AB C,于是C到平面AB C的距离等于点A到平面AB C的距离，作A 于M.由ACJL平面AB A得平面AB CJ_平面 AB A , ：.A MJL平面 AB，C, A M 的长是 A到平

6、面 ABC的距离.AB=B B=l, _LB CB=30 , .,.B/ C = 2, BC =百，AB =41, A= 9即C到平面AB，C的距离为争(2)作 ANJlBC 于 N,则 AN_L平面 B BCCZ ,作 NQJ_B C 于 Q,则 AQ_LBC,，NAQN是所求二面角的平面角，AN=g =逅，AQ= ACxA BC 3BC=L .sinNAQN= =巫,cosNAQN=g AQ 33说明 利用异面直线上两点间的距离公式，也可以求二面角的大小，如图，AB=BB =1, .AB =41,又NB CB=30 , ，BC=石，B C = 2, AC=&.作 AM_LB C 于 M,

7、BN_LB C 于 N,则 AM=1,CN=-, CM=1, AMN=-. VBNB/ C,AM_LB C, .BN 22与AM所成的角等于二面角BB CA的平面角.设为0.由 AB2=AM2+BN2+MN-2AMXBNXcos。得 cos。280如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为a的菱形，NA=60 , PC_L平面ABCD, PC=a, E是PA的中点.(1)求证平面BDE_L平面ABCD. (2)求点E到平面PBC的距离.(3)求二面角AEBD的平面角大小.解析：设。是AC, BD的交点，连结E0.ABCD是菱形，.O是AC、BD的中点, E是PA的中点，EOPC,又PC_L平面A

8、BCD, ，EO_L平面 ABCD, EOu平面 BDE,，平面 BDE_L平面 ABCD.(2) EOPC, PCu平面 PBC, .E0平面PBC,于是点0到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离.作 OF_LBC 于 F, ,.EO_L 平面 ABCD, EO/PC, PCu 平面 PBC,二平面 PBC_L 平面 ABCD,于是OF_L平面PBC, OF的长等于0到平面PBC的距离.由条件可知，0B = j0F=3xE = a,则点E到平面PBC的距离为 2224（3）过 0 作 OG_LEB 于 G,连接 AG V0EAC, BDAC .ACJ_平面 BDEAAGIEB （三垂线定

9、理） /. ZAG0是二面角AEBD的平面角V0E = ipC = la, 0B=a.EB=a.，0G=& 又 A0 =222EB 4la. 2/. tan N AGO =型=速/AGO=arc tan 毡. OG 33评析本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距 离，及二面角的求法，三垂线定理及逆定理的应用.281.如图，矩形ABCD中，AB = 2, BC = 2g,以AC为轴翻折半平面， 使二平面角BACD为120 ,求：（1）翻折后，D到平面ABC的距离; BD和AC所成的角.解析：研究翻折问题，通常要画出翻折前的平面图形和翻折后的空间图 形，对应点的字母要相同.解 分别

10、过B、D作AC的垂线，垂足是E、F,过F作FB，BE,过B 作BB AC,交点B,则四边形EFB B是矩形.VACDF, ACJLB F,.AC_L平面 B FD,即 NDF B 就是二面角 BAC 一D的平面角，亦即NDFB =120 .过 D 作 DOJLB F,垂足为 0. .0()=ac 1/?A/ = c a = ell ac 生 a J bIIa = all0.bCc = P图答9-29. . B. A不正确是因为直线可以在平面a内，也可能与a平行， 还可能与。相交但不成直角，C中的直线6只与月内的直线Q垂直，不 能得出垂直力的结论.D中。、力可能相交，。内的两条直线均与交线平行.

11、给出以下命题：平行于同一条直线的两条直线平行；垂直于同一条直线的两条直线平行；平行于同一个平面的两条直线平行；垂直于同一个平面的两条直线平行；平行于同一条直线的两个平面平行；垂直于同一条直线的两个平面平行；平行于同一个平面的两个平面平行.其中正确的命题是（把你认为正确的命题的序号都写上）.解析：、.由公理4知正确.由直线与平面垂直的性质 定理知正确.由两个平面平行判定定理可以推导出、正确.垂直 于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交、或异面；平行于同 一个平面的两条直线的位置关系是平行、相交、或异面；平行于同一条 直线的两个平面的位置关系是平行或相交.给出下列命题，错误的命题是（）.A.

12、若直线平面a,且a 平面方，则直线。与平面/的距离等于平面。、/间的距离B.若平面。平面夕，点a,则点A到平面力的距离等于平面 。、万间的距离C.两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离 等于这两个平行平面间的距离D.两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离 等于这两个平行平面间的距离解析：C.以下按顺序说明，对A中，在。上任取一点P,作P”为直线。与平面月的距离.： a /p, PH La, ：. PH又为a、 力间的距离.对于B,作AJL夕，4”的长为点A到夕的距离.又,: a 力，,. AHa,于是AH的长是a、/两个平行平面间的距离.对于C,设ab, aa

13、, b/3,过a上任一点P作于Q, 则的长为。、b两平行直线间的距离.因为PQ与。、力不一定垂直, 所以P。的长一般不是。、力间的距离，一般地说，a、间的距离不小 于。、力间的距离.对于D.设AA是异面直线a、h的公垂线段，Aa, Aeb , aa , 匕*，过A和b的平面与a相交于少，则b/b ,于是AAlb. ：. AAU a .同 理.故AV的长又是a、夕两个平面间的距离（如图答9-30）.设a、仅是两个平面，/和加是两条直线，那么。力的一个充分 条件是().号.0a , m与a ,且/夕，加夕 B. /a, m三.0,且/ / mC. l-La ,且/mD. I/ a , m/3,且/

14、 m解析：C.可参看图答9-31.图答9-31.平面a 平面夕，过平面二、夕外一点尸引直线以8分别交a、0 于A、6两点，PA=6, AB=2,引直线PCO分别交a、/于。、。两点.已 知6fM2,则AC的长等于().A. 10B. 9C. 8D. 7A. 10B. 9C. 8D. 7解析：B.如图答9-32,平面PBZ)na=AC,平面PBOA4=BZ), ： a/ B, ：. AC/BD.由平面几何知识知，以l = t =用.：PA=6,AB=2,LPB PD BD80=12, = ,AC=9.6 + 212294.已知AC, 是夹在两平行平面a、力间的线段，Aa, Ba, C/3, DR

15、/3,且 AC=25cm, 8。=30cm, AC、8。在平面夕内的射影的 和为25cm,则AC、8。在平面方内的射影长分别为, AC与平 面方所成的角的正切值为, BQ与平面方所成的角的正切值为解析：设a、/间的距离为，AC在平面夕内的射影AC = x, 8。在平面-5P内的射影BD = y,根据已知条件可得,y2+h2 = 302,-得x + y=25.y2 -x2 =302 -252 ,即X-把代入得士“，；工;：解得盛即AC = 7cm, 87) = 18cm.又=24cm, AC与平面力所成的角为NACA , tan/ACA =,同理 tan/8m = -d = AC 7BD 18

16、3295.已知空间不共面的四个点，与此四个点距离都相等的平面有个.解析：与不共面的四个点距离相等的平面分为两类，一类是四个点中一 个点位于平面的一侧，另外三个点在平面的另一侧，这样的平面有4个; 另一类是四个点中的两个点位于平面一侧，另外两个点在平面的另一 侧，这样的平面有3个，故一共7个平面到这四个点距离相等.296.如图9-35,平面a 平面夕，ABC、的分别在Q、4内, 线段AV、BB，、CC相交于点O,。在。、之间.若AB=2, AC=, Z ABC=60 , OA : 04=3 ： 2,则ABC的面积为.解析：图9-35AABB = 0 , AA、8所确定平面 平面 ABA* G a

17、 =A8,平面A8An夕=A ,a B，：同理CA/CW.由于方向相反，ABC与的三内角相等，AABCA且翳嗯且翳嗯4* xarc = -x2xlxsin60 = 4vtiv 22平面ABCfla 二 AC 平面ABCfla 二 AC 平面A8Cn = EG all (5解析:AC/FG AC/HF297.如图9-37,两条异面直线AB、CQ与三个平行平面。、/、7分别 相交于A、E、B,及C、F、D,又A。、与平面广的交点为“、G.求 证：EHFG为平行四边形.=ACM EG. mACUHF.EG II HF.同理/G.故E/FG是平行四边形.298.如图9-38,已知平面a 平面力，A、C

18、a, B、DR。, E、F分 别为43、C。的中点.求证：EF/a, EF/p.解析：当46、。共面时，平面A8CZ)Ca=4C,平面A6C)n，=3。. ; a /P，：. AC/BD. V E、产分别为 A5、CO 的中点，I. EF/AC. V AC 50，EF 4a、：. EF/a ,同理石/力.当 46、CO异面时，EiCD,：.可在平面EC。内过点E作CD/CO,与a,，分别交 于U, D.平面 ACZna = AC 平面 AC5On夕= 8。，a /3 , /. AC/BD. V E 是 AB 中点，E 也是 C7T 的中点.平面 CC7yna = CV， 平面 CC757)n

19、夕=。，： a / (3 , /. CC/DD, V E、尸分别为 CD、 中点，.EF/CC, EF/DD. *.* CCa, EF /. EF/a,同理尸夕.299.已知矩形ABCD,过A作SA_L平面AC,再过A作AE1SB交SB于E, 过E作EF_LSC交SC于F (1)求证:AFSC若平面AEF交SD于G,求证：AG1SD解析：如图，欲证AFJLSC,只需证SC垂直于AF所在平面，即5(3_1_平 面AEF,由已知，欲证SCL平面AEF,只需证AE垂直于SC所在平面， 即AEJ_平面ABC,再由已知只需证AE_LBC,而要证AEJ_BC,只需证BC _1_平面SAB,而这可由已知得证

20、证明 .SA_L平面 AC, BCu平面 AC, .SABC.矩形 ABCD, AABIBC，BC_L 平面 SAB.*.BCAE 又 SBAE ，AEJ_平面 SBC，SCJ_ 平面 AEF.AFJLSC(2) TSAJL平面 AC A SADC,又 AD_LDC.,.DC_L 平面 SAD .DC1AG 又由有SC_L平面AEF, AGu平面AEF/. SC AG ，AG _L 平面 SDC A AG SD已知四面体ABCD, AO平面BCD,且孰为 BCD的垂心.B()2_L平面ACD,求证：。2是AACD的垂心.证明如图所示，连结BOi, AO2,A0平面BCD, 0i为 BCD的垂心

21、,ABOilCD,由三垂线定理得ABJLCD.又BO?，平面ACD,由三垂线逆定理得A02_LCD.同理连结DO” CO2可证BC_LAD,即C02_LAD.O2 是 AACD 垂心.立体几何基础题题库301-350 (有详细答案)正三棱柱ABCABG的侧面三条对角线AB】、BG、CAi中，AB,BQ.求证：ABiCAi.解析：方法1如图，延长B到D,使GD=BC.连CD、AD因ABBC”故ABCD；又B=A=GD,故NB故J)=90 ,于是DA平面AABB.故AB平面AD,因此ABAC 方法2如图，取AB、AB的中点Eh、P.连CP、CD、AF、D,B,易证CD _L平面AA,B,B.由三垂

22、线定理可得AB-BD”从而AB.1A.D.再由三垂线定 理的逆定理即得ABAC说明证明本题的关键是作辅助面和辅助线，证明线面垂直常采用下列 方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)证明直线垂直于平面内的两条相交直线；(3)证明直线平行于平面的垂线；(4)证明直线垂直于与这平面平行的另一平面.已知：正三棱柱 ABCA B C 中，AB _LBC , BC=2,求: 线段AB在侧面上的射影长.解析：如图，取BC的中点D. :AD_LBC,侧面8CC0_L底面ABC, .二AD _L侧面夕夕。是斜线AB在侧面的射影.又TAB BCZ , C.BdL BC.设 BB =x,在 RtA 98D 中，BE

23、： BD= BB, BD =y/ + x Ar/_ BC Ar/_ BCJLAC ， COS / = ABYE 是 ABB C 的重心.BE=BC=工+ / 33X = - Vl + x2 7x2 +4 ,解得：X=y2. 3.线段AB在侧面的射影长为平面a外一点A在平面a内的射影是卜，BC在平面内，ZABA公 BC = (3, NABC=y, 求证：cosy =cos。, cos 3 .解析:过 A作解析:过 A作ac_LBC 于 C,连 AC，.VAA/J_平面a, BC垂直AC在平面a内的射线4c.BC.BC又 V cos 0 又 V cos 0 =上，cos B =ABBCcos /

24、=cos 0 cos B . ABC在平面a内的射影是 A B C ,它们的面积分别是S、Sz ,若AABC所在平面与平面a所成二面角的大小为0 （0V 0 V90 =,则 S =S cos 0 .证法一如图（1）,当BC在平面a内，过A作A DJ_BC,垂足为D.VAA/ _L平面a, AD在平面a内的射影A D垂直BC.AADIBC. .ZADAZ = 0 .又 S =La D BC, S =ADBC, cos 0=必,.=S =S cos 0 . 22AD证法二 如图（2）,当B、C两点均不在平面a内或只有一点（如C）在平 面a内，可运用（1）的结论证明S S cos 0 .求证：端点分

25、别在两条异面直线a和b上的动线段AB的中点共面.证明 如图，设异面直线a、b的公垂线段是PQ, PQ的中点是M,过M 作平面a ,使PQ_L平面a ,且和AB交于R,连结AQ,交平面a于N.连 结 MN、NR. .PQ_L平面 a , MNu a , .*.PQMN.在平面 APQ 内，PQJLa, PQ _LMN, .MNa,a a , XVPM=MQ,，AN=NQ,同理可证 NRb, RA=RB.即动线段的中点在经过中垂线段中点且和中垂线垂直的平面内.如图，已知直三棱柱 ABCABG 中，NACB=90 , NBAC=30 , BC=1, AA尸显，M是CCi的中点,求证:AB-AM解析：

26、不难看出BC_L平面AACC, AG是AB】在平面AACC上的射影.欲 证AM_LABi,只要能证AM_LAC就可以了.证：连 AG,在直角 ABC 中，BC = 1, NBAC=30 ，AC=AC = 6 设NACA=a, NMA=Btanf =安日AG V3 2cot ( a + B ) =31吧叨=上4 =0, tana + tan 夕 行,22a + B =90 即 ACilA.M.VBiCilCiAi, CCBC, .BC,平面 AACG,AC,是AB.在平面AACC上的射影.AG_LAiM,.由三垂线定理得AiMJLABi.评注：本题在证AG,AM时，主要是利用三角函数，证a+B=

27、90 , 与常见的其他题目不太相同.矩形ABCD, AB=2, AD=3,沿BD把A BCD折起，使C点在平面ABD上的射影恰好落在AD上.(1)求证：CD1AB；(2)求CD与平面ABD所成角的余弦值.(1)证明如图所示，01_1_面48。，AD_LAB,ACD1AB(2)解：VCM ABD/. ZCDM为CD与平面ABD所成的角，cosZCDM= - CD作CNJ_BD于N,连接MN,则MNJ_BD.在折叠前的矩形ABCD图上可得DM ： CD=CD : CA=AB ： AD=2 ： 3.ACD与平面ABD所成角的余弦值为|空间四边形PABC中，PA、PB、PC两两相互垂直，NPBA=45

28、 , NPBC = 60 , M为AB的中点.求BC与平面PAB所成的角；(2)求证: AB_L 平面 PMC.解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路.解PAAB, /. ZAPB=90在 RtAAPB 中，NABP = 45。,设 PA=a,则 PB = a, AB=Via, .PBJLPC,在 RtAPBC 中，VZPBC=60 , PB=a. .,.BC = 2a, PC=V3a.VAPPC .在 RtAAPC 中，AC = J%2 + -c2 =扬+函y =2aVPC1PA, PC_LPB,，PC_L平面 PAB,ABC在平面PBC上的射影是BP.ZCBP是CB与平面P

29、AB所成的角NPBC=60。，BC 与平面 PBA 的角为 60 .(2)由上知，PA=PB=a, AC=BC=2a.，M 为 AB 的中点,则 AB_LPM, ABJLCM.，AB_L 平面 PCM.说明 要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解 题捷径.在空间四边形 ABCP 中，PA1PC, PBBC, AC_LBC. PA、PB 与平面ABC所成角分别为30和45。（1）直线PC与AB能否垂直?证明你的结 论；（2）若点P到平面ABC的距离为h,求点P到直线AB的距离.解析：主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系的综合应用及线面 角，点面间距离等概念应用，空间想象力及

30、推理能力.解（1）AB与PC不能垂直，证明如下：假设PC_LAB,作PH_L平面ABC于H,则HC是PC在平面ABC的射影，.HC_LAB,.1人、PB在平面ABC 的射影分别为HB、HA, PB1BC, PA1PC.BHBC, AH1AC.AC_LBC, .,.平行四边形ACBH为矩形.VHC1AB,.ACBH 为正方形.HB=HAPH_L平面 ACBH. A PHB A PHA.NPBH=NPAH,且PB, PA与平面ABC所成角分别为NPBH, NPAH.由 已知NPBH=45 , ZPAH=30 ,与NPBH= NPAH 矛盾./. PC不垂直于AB.(2)由已知有 PH=h, NPB

31、H=45 .BH = PH = h. V ZPAH = 30 , .,.HA=V3h.矩形 ACBH 中，AB = yjBH2+HA2 = 7/i2+(V3/i)2 = 2h.作HE_LAB于E,:.皿=吧生=匕回=队.AB 2h 2PH_L平面 ACBH, HEAB, 由三垂线定理有PEAB, APE是点P到AB的距离.在 Rt PHE 中，PE= J PH2 + HE2 = 即点P到AB距离为打 评析：此题属开放型命题，处理此类问题的方法是先假设结论成立，然 后“执果索因”，作推理分析，导出矛盾的就否定结论（反证法），导不 出矛盾的，就说明与条件相容，可采用演绎法进行推理，此题（1）属于

32、反证法.310.平面a内有一个半圆，直径为AB,过A作SAL平面a,在半圆 上任取一点M,连SM、SB,且N、H分别是A在SM、SB上的射影.（1）求证：NH_LSB. (2)这个图形中有多少个线面垂直关系？(3)这个图形中有多少个直角三角形？(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？ 解析：此题主要考查直线与直线，直线与平面的垂直关系及论证，空间 想象力.解（1）连AM, BM. TAB为已知圆的直径，如图所示.，SAJ_平面 a , MBg a ,ASAI MB.VAMCISA=A,，BMJ_平面 SAM.TANu平面 SAM,，BMAN.,AN_LSM 于 N, BMCSM=M,.ANJ_

33、平面 SMB.AH_LSB于H,且NH是AH在平面SMB的射影.NHSB.(2)由(1)知,SA_L平面 AMB, BM_L平面 SAM.AN_L平面 SMB.VSBAHHSBHN.，SBJ_ 平面 ANH.，图中共有4个线面垂直关系SA_L平面AMB,ASAB、ASAM均为直角三角形.平面SAM, ABMA, ABMS均为直角三角形.,.，AN_L平面SMB.，AANS、AANM、AANH均为直角三角形.平面AHN. .I ASHA、ABHA、ASHN均为直角三角形综上所述，图中共有10个直角三角形.(4)由 SAJL平面 AMB 知：SAJLAM, SAJLAB, SA1BM；由 BM_L

34、平面 SAM 知:BM1AM, BMSM, BM1AN；由 AN_L平面 SMB 知：ANSM, ANSB, AN1NH；SB_L平面 AHN 知：SBAH, SB1HN；综上所述，图中有11对互相垂直的直线.如图，在棱长为a的正方体AG中，M是CG的中点，点E在AD上，且AE=AD, F在AB上，且AF=Ub,求点B到平面MEF的距离. 33A F B解法一：设AC与BD交于0点，EF与AC交于R点，由于EFBD所以将 B点到面MEF的距离转化为0点到面MEF的距离，面MRCJ_面MEF,而 MR是交线，所以作OH_LMR,即011_面乂尸，0H即为所求.VOH MR=OR MC,.0H=立

35、画. 59解法二：考察三棱锥BMEF,由Vb mef=Vwbef可得h.点评求点面的距离一般有三种方法：利用垂直面；转化为线面距离再用垂直面；当垂足位置不易确定时，可考虑利用体积法求距离.正方体ABCDABCD的棱长为a,求AC和平面ABC间的距离.解法1如图所示，AC平面ABC 又平面BBDD平面ABC故若过。作OE_LOBi于E,则0E平面ABC, 0正为所求的距离由 OiE OBi = OB OOi,可得：。正=叵 3解法2：转化为求G到平面AB的距离，也就是求三棱锥GABC的高 h.由 V“Ab1c = V a-mq 可得 h = 7 a.解法3因平面AB平面GDAi,它们间的距离即为

36、所求，连B,分 别交B。、DOi与F、G（图中未画出）。易证B垂直于上述两个平面，故 FG长即为所求，易求得FG =叵.3 点评（1）求线面距离的先决条件是线面平行，而求线面距离的常用方法是把它们转化为求点面之间的距离，有时也可转化为求面面距离，从本题的解法也可悟出求异面直线之间的距离的思路.313.已知：a n 8 =CD, EA a , EB B ,求证：CDAB.证明,CDUaEBXpGDU0卜 证明,CDUaEBXpGDU0卜 CDJ-EA卜 CD_LEBrCD-L平面ABU平面EAriEB=E)314.求证：两条平行线和同一条平面所成的角相等.所成已知：a/b, aCl a =Ab

37、bG B =B” Z 9 i Z 0 2分别是 a、b 与 a 的角.如图，求证：Z 9 , = Z 92.所成证：在a、b上分别取点A、B.如图，且AA尸BBi,连结AB和AB.VAA.BB,.四边形AABB是平行四边形.ABAB又 ABua ,AB/ a .设 设2_L a 于 A2, BB2 a 于 B2,则 AA2=BB2在 Rt AAA?与放网当中 AA2=BB2, AAi=BBi Rt AAA1A2丝Rt ABB1B2.,.zaa1a2=zbb1b2即 N 0 i = N 0 2.315.经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两 边的夹角相等，那么斜线在平面上的射

38、影是这个角的平分线所在的直 线.已知：NABCu a ,Pa , NPBA=NPBC, PQJ_ a , QG a ,如图.求证：NQBA=NQBC证：PRJ_AB 于 R, PS_LBC 于 S.则：NPRB=NPSB=90 .；PB=PB. NPBR=NPBS.Rt APRBRt APSB，PR = PS点Q是点P在平面a上的射影.，QR=QSXVQR1AB, QSBC.NABQ=NCBQ316.如图，E、F分别是正方体的面ADDA,面BCCB的中心，则四边 形BFDF在该正方体的面上的射影可能是（要求:把可能的图的 序号都填上）解四边形BFDF在正方体的一对平行面上的投影图形相同，在上、

39、 下底面上，E、F的射影在棱的中点，四边形的投影图形为，在左右侧 面上，E、F的连线垂直侧面，从而四边形的投影图形为，在前后侧面 上四边形投影图形也为.故应填.317.如图，ABGABC是直三棱柱，3BCA=90 ,点D” F1分别是AB, AC的中点，若BC=CA=CC“则BD】与AR所成角的余弦值是() TOC o 1-5 h z A.画 B. 1 C.叵 D.姮 1021510解 连DE,则DE_LAC,又BC_LCA,所以BD在平面ACCA内的射影 为 CF” 设 AC=2a,则 BC=CG = 2a.取 BC 的中点 E,连 EF” 则 EFB.cos 9 i = cosNEFC=咛

40、，EF y/6a V6cos o 2 : COSNAFC= a +p2a = 3 , 2 75a 75a5cos 0 =cos 0 i , cos 0 2=，-=，应选 A.V6 510.(1)如果三棱锥SABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的角都相等，且顶点S在底面的射影。在AABC内，那么。是AABC的A.垂心B.重心A.垂心B.重心C.夕卜心D.内心设P是AABC所在平面a外一点，若PA, PB, PC与平面a所成的角 都相等，那么P在平面a内的射影是A ABC的（）A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心解（1）利用三垂线定理和三角形全等可证明。到AABC的三边的距离 相等，因而。

41、是 ABC的内心，因此选D.（2）如图所示，作POJL平面a于0,连0A、OB、0C,那么NPAO、NPB0、 NPC0分别是PA、PB、PC与平面a所成的角，且已知它们都相等.，Rt PAORt A PBORt A PCO.OA = OB = OC/.应选B.说明 三角形的内心、外心、垂心、旁心、重心，它们的定义和性质必 须掌握.已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC ，平面ABCD,且GC = 2,求点B到平面EFG的距离.解析：注意到直线BD平面EFG,根据直线和平面的距离在BO中点0 的距离等于B到平面EFG的距离.解 连结AC、BD,设交于0, TE, F

42、分别是AB、AD的中点.EF/7BD.BD平面 EFG,设 EFAAC=M.则M为0A的中点.又 AB=4 /.AC=4V2 , M0=AC=VLMC=NaC=3上 44.GCJL平面 ABCD.GCJLCA, GCEF又 EF_LAC, GCAAC=C.，EF_L 平面 GCM.过 0 作 OHGM 于 H,则 OH_LEF.故OH_L平面EFG.在 Rt GCM 中，GM= 7gc2+cm2 =百+(3扬2 =后.X *.* OH GM. /. s i n ZGMC = = s i n Z HMO = = GMOM V2.0H=V2 4 =巫V2211AB点到平面GEF的距离为智说明 本题

43、解法甚多，学习两面垂直及简单几何体后，可用两面垂直的 性质求解或者用“等体积法”求解.320.已知两条异面直线a, b所成的角为0 ,它们的公垂线段AAi的长 度为d,在直线a、b上分别取点E、F,设AE=m, AF=n.求证：EF= m +n2 +d2 2mncosff解过A作a / a.VAA.la, .*.A1Aa,AAib, a Gb = A二AA垂直a、b所确定的平面a.,.aa，a、a能确定平面B ,在8内作EHAA,交a于H.Va/a, ,.AiAME为平行四边形.*.AiA=EH=d, AH=AiE=mVA.A1 a .EH a .VFHc a , AEHIFH.在 Rt A

44、FHE 中，EF= yeh2 + fh2 = yld2 + FH2Va/ a .,.a与b的夹角为0 .即 NHAF=。，此时 AH=m, AF=n.由余弦定理得FH2=m-+n2-2mncos（）EF yjm2 + n2 + d2 -2mncos0当F（或E）在A（或A）的另一侧时，同理可得EF y/m2 +n2 +d2 -2mncos（-0） yjm2 +n2 +d +2mncos0 综上所述，EF y/nr +n +d 2mncosO.如图，ABCD和ABEF均为平行四边形，M为对角线AC上的一点，N 为对角线FB上的一点，且有AM : FN=AC : BF,求证：MN平面CBE.解析：

45、欲证MN平面CBE,当然还是需要证明MN平行于平面CBE内的 一条直线才行.题目上所给的是线段成比例的关系，因此本题必须通过 三角形相似，由比例关系的变通，才能达到“线线平行”到“线面平行” 的转化.证：连AN并延长交BE的延长线于P.BE/AF, ABNPsAFNA.*FN_ AN则 FN ANNBNPFN + NB AN + NP即FN_ ANFBAP乂AM_ ACAM _ FNFNBFAC BFAMANACAPMN/7CP, CPu平面 CBE.，MN 平面 CBE.一直线分别平行于两个相交平面，则这条直线与它们的交线平行.已知：a G B =a, 1 a , 1 8 .求证：la.解析

46、：由线面平行推出线线平行，再由线线平行推出线面平行，反复应 用线面平行的判定和性质.证明：过1作平面交a于b. 1 a ,由性质定理知lb.过1作平面交B于c. .口，由性质定理知lc./. bc,显然 cuB.，bB.又 bu a , a Pl B =a, ba.又 1 b.1 /7 a.评注：本题在证明过程中注意文字语言、符号语言，图形语言的转换和 使用.如图，在正四棱锥SABCD中，P在SC上，Q在SB上，R在SD 上，且 SP ： PC=1 ： 2, SQ ： SB = 2 ： 3, SR ： RD=2 ： 1.求证：SA平面 PQR.解析：根据直线和平面平行的判定定理，必须在平面PQ

47、R内找一条直线 与AS平行即可.证：连AC、BD,设交于0,连S0,连RQ交SO于M,取SC中点N,连 0N,那么 ONSA.SQ _ SR _ 2而 SD 3，RQBD.总=2而辿=2SO 3 SN 3：JM_=SP_ ApM/0N SO SNVSA/70N. .1.SA/7PM, PMu平面 PQR，SA 平面 PQR.评析：利用平儿中的平行线截比例线段定理.三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.证明：过平面上一点而与这平面的一条平行线平行的直线，在这平面上.证明 如图，设直线a 平面a ,点AW a,AW直线b,ba,欲证bua. 事实上，ba,可确定平面8, B

48、与a有公共点A,，a, B交于过A 的直线c, a,，ac,从而在B上有三条直线，其中b、c均过点 A且都与a平行.于是b、c重合，即bua. S是空间四边形ABCD的对角线BD上任意一点，E、F分别在AD、CD上，且AE ： AD=CF ： CD, BE与AS相交于R, BF与SC相交于Q.求证:EFRQ.证 在 ADC 中，因 AE ： AD=CF ： CD,故 EFAC,而 ACu平面 ACS,故 EF平面ACS.而RQ=平面ACS n平面RQEF,故EFRQ （线面平行性质定 理）. 已知正方体ABCDA B C D中，面对角线AB、BC上分 别有两点E、F且B E=C F求证：EF平

49、面AC.M B解析：如图，欲证EF平面AC,可证与平面AC内的一条直线平行， 也可以证明EF所在平面与平面AC平行.证法1过E、F分别做AB、BC的垂线EM、FN交AB、BC于M、N,连接MNVBB/ J_平面 AC ，BB AB, BB, BC .*.EMAB, FNBC，EMFN, VAB/ =BC ， B E=C F ，AE=BF 又NB AB = NC BC=45Z.Rt AAMERt ABNF，EM = FN四边形MNFE是平行四边形，EFMN 又 MNu平面 AC，EF平面AC证法2 过E作EGAB交BB于G,连GF.BE _ BG西 BBVB7 E=C F, B A=C B.竺=

50、四 .,.FGB Cz BC CB BB又: EGDFG=G, ABDBC=BI.平面EFG 平面AC又EFu平面EFG.EF平面 AC327.如图，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若截面为平行四边形，求证：(l)AB平面EFGH； (2)CD平面EFGH证明：二EFGH为平行四边形，EFHG,THGu平面 ABD,.EF平面 ABD.，EFu平面ABC,平面ABDD平面ABC=AB./. EF AB, I. AB 平面 EFGH.(2)同理可证：CDEH, .CD平面 EFGH.评析：由线线平行=线面平行n线线平行.328.求证：如果两条平行线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和

51、 这个平面相交.已知：a/b, a A a =A,求证：b和a相交.证明：假设bu a或b a .若 bua, ,.，ba, .1.a/ a .这与aD a =A矛盾，bu a不成立.若b a ,设过a、b的平面与a交于c.,.,b a ,.bc，又 ab .t.a/c.,.a/ a这与aG a =A矛盾.，b a不成立.，b与a相交.329.求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它 们的交线和这条直线平行.已知：ab, aua, bu B , a C B =c.求证：caba 宙证：bC BaBa 宙证：bC BaB=aU a a A g =cac： = ab= cab33

52、0.在F列命题中，真命题是（）A.若直线m、n都平行平面a ,则mn;B.设a1B是直二面角，若直线m_Ll,则m_Ln, m_L B ；C.若直线m、n在平面a内的射影是一个点和一条直线，且m_Ln,则n 在a内或n与a平行；D.设m、n是异面直线，若m和平面a平行，则n与a相交.解析：对于直线的平行有传递性，而两直线与平面的平行没有传递性故 A不正确；平面与平面垂直可得出线面垂直，要一直线在一平面内且垂 直于交线，而B中m不一定在a内，故不正确；对D来说存在平面同时 和两异面直线平行，故不正确；应选C.331.设a、b是两条异面直线，在下列命题中正确的是（）A.有且仅有一条直线与a、b都垂

53、直B.有一平面与a、b都垂直C.过直线a有且仅有一平面与b平行D.过空间中任一点必可作一条直线与a、b都相交解析：因为与异面直线a、b的公垂线平行的直线有无数条，所以A不 对；若有平面与a、b都垂直，则ab不可能，所以B不对.若空间的 一点与直线a（或b）确定的平面与另一条直线b （或a）平行，则过点与a 相交的直线必在这个平面内，它不可能再与另一条直线相交，所以D不 对，故选C.三个平面两两相交得三条交线，若有两条相交，则第三条必过交 点；若有两条平行，则第三条必与之平行.已知：a C B =a, a Cl z =b, /Da =c.求证：要么a、b c三线共点，要么abc.证明：如图一，设

54、aGb=A,ac a 而 AG a.AAe a .又 B G / =b.buy,而 A G b.则人。，Aez,那么A在a、7的交线c上.从而a、b、c三线共点.如图二，若2)3,显然Cuy, buya/y而 au a , an y =c.a/ c从而abc一根长为a的木梁，它的两端悬挂在两条互相平行的，长度都为b 的绳索下，木梁处于水平位置，如果把木梁绕通过它的中点的铅垂轴转 动一个角度6,那么木梁升高多少？MNMN解析：设M、N为悬挂点，AB为木梁的初始位置，那么AB=a, MANB, MA=NB=b, NA=NB=90 .设S为中点，L为过S的铅垂轴，那么Lu平面MANB,木梁绕L转动角

55、 度6后位于CD位置，T为CD中点，那么木梁上升的高度为异面直线AB 与CD之间的距离ST.在平面MANB中，作TKAB,交MA于K,则AK=ST.设 ST=x,则 x=b-KM.又 KT=CT = j NKTC= 6 ,有 KC=asin. 22从而 KM= b2-a2 sin2 .X b-J/?2 -a2 sin2 (.(1)棱柱成为直棱柱的一必要但不充分的条件是：()A.棱柱有一条侧棱与底面垂直B.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直C.棱柱有两个相邻的侧面互相垂直D.棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直 解析：根据直棱柱定义，A是充分条件，C、D不是必要条件，所以选B.说明解答此题要熟知直棱柱

56、的定义及其充分必要条件的含义.335.长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为、B、Y .求证：cos- a +cos2 3 +cos2 Y = 1解析：证明三角恒等式，可用从左边推出右边的方法.证明：设对角线BJ)与长方体的棱AD、DC、D山所成的角分别为a、B、Y ,连结AB1、CB), DB,则ABDA、AB,DC A都是直角三角形. TOC o 1-5 h z , ,eg a = res R - DCDDtC。、u f COS N , C。、X DBDB、DB2.2 n .2DA2 + DC2 + DD7 cos a +cos p +cos Y =；L = 1.DB；评析：

57、这里运用了长方体对角线长定理.336. 在三棱柱 ABC-AB& 中，已知 AB=AC = 10cm, BC= 12cm,顶点儿 与A、B、C的距离等于13cm,求这棱柱的全面积.解析：如图，作 AQ_L平面 ABC 于 0, VA1A=A1B=A1C, .0A=0B=0C,是 A ABC 的夕卜心，.ABC 等腰，.AOLBC 于 D, .AAi_LBC, AB.B BC,四边形BBCCi为矩形，S矩形=1213=156(cm2), (AAB底边上高 AIE = J132 52 = 12, s.ABB = SAACC = 120(cm2), Saabc= SA?tBC =- -12 -8 r

58、uZlUUiZiaZ1 W |=48(cm?), S 全=156+2 . i20+2X48 = 492(cm2)337.在平行六面体中，一个顶点上三条棱长分别是a, b,c,这三条棱 长分别是a, b, c,这三条棱中每两条成60角，求平行六面体积.解析：如图，设过A点的三条棱AB, AD, AAi的长分别是a,b, c,且两面所成角是60 ,过A作AH_L平面ABCD, H为垂足，连HA,则NHAB=30 ,由课本题得：cosNAiAB = cosNAiAH , cosZHAB,cos NAAH = cosZA|Afi =%对=3,sinNAAH =旦cos Z.HAB cos300 33.

59、，.V=Sabcd , AiH=absin60 c sinZAiAH= abc. 2338.在棱长为a的正三棱柱ABCABG中，0、Ch分别为两底中心，P 为00i的中点，过P、Bi、G作一平面与此三棱柱相截，求此截面面积.B.解析：如图，AAiJ_面ABG, AA析00“设过P、B1、G的截面与AA】 的延长线交于Q,连结AQ延长交BC于D,连QD,则P必在QD上，;Oi为AABG的中心，P为00i的中点，故丝=也=二，Q在&A延 QA 0A 3长线上且QA = PO”又QBi交AB于E, QG交AC于F,则EFBC,所以 截面为EFBC是等腰梯形，又QAi ： QA=3 ： 1, .EF=

60、q 设QD与EF交3于H,得QD_LBC.因此HD为梯形EFCB的高.DQ=7汴而 = Wa,.3苧a.s叫安叫）.（苧a）=a?为所求截面积.339.如图，已知正三棱柱ABCABG的各棱长都为a, D为CG的中点.（1）求证：AE_L平面ABD （2）求平面A.BD与平面ABC所成二面角的度数.解析：这虽是一个棱柱，但所要论证的线面关系以及二面角的度数，都 还是要利用直线和平面中的有关知识.解（1）：正三棱柱的各棱长都相等, 二.侧面ABBA是正方形.ABCD AAiC.D,.BD=AD 而E为AB的中点,AiB_LDE. .AiB_L 平面 ABD延长A,D与AC的延长线交于S,连BS,则