相似三角形章节涉及的16个必考点全梳理（精编Word）

1、相似三角形的18个必考点比例线段对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：bc：d（即adbc），这四条线段是成比例线段，简称比例线段下面四组线段中，成比例的是（）Aa2，b3，c4，d5Ba1，b2，c2，d4Ca4，b6，c5 d10Da=2，b=3，c3，【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段对选项一一分析，排除错误答案【解析】A、2534，故选项错误；B、1422，故选项正确；C、41056，故选项错误；D、3322【小结】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大

2、的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等同时注意单位要统一已知a，b，c，d是成比例线段，其中a3cm，b2cm，c6cm，则d的长度为（）A4cmB5cmC6cmD9cm【分析】由a、b、c、d四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义计算即可【解析】因为a，b，c，d是成比例线段，可得：d=263=4cm，【小结】此题考查了成比例线段的定义此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义若a是2，4，6的第四比例项，则a ；若x是4和16的比例中项，则x 【分析】根据第四比例项的概念，得2：46：a，则a可求；根据比例中项的概念，得x2416，则x可求【解析】a是2，4，6的第四比例项，

3、2：46：a，a12；x是4和16的比例中项，x2416，解得x8【小结】考查了比例线段，此题的重点是理解第四比例项、比例中项的概念，根据概念正确写出比例式已知四条线段a，3，a+1，4是成比例线段，则a的值为 【分析】根据对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：bc：d（即adbc），这四条线段是成比例线段，简称比例线段【解析】四条线段a，3，a+1，4是成比例线段，a：3（a+1）：4即3（a+1）4a，解得a3【小结】本题考查了比例线段，解决本题的关键是掌握比例线段的定义黄金分割黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC）

4、，且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：ACAC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点其中AC=512AB0.618AB在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB=BCAC，那么点C叫做线段AB的黄金分割点若点P是线段MN的黄金分割点，当MN1时，【分析】分PMPN和PMPN两种情况，根据黄金比值计算【解析】当PMPN时，PM=512当PMPN时，PMMN512MN=35【小结】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是51如果点C是线段AB的黄金分割点，那么下列线段比的值不可能是51AACBCBBCACCBCAB【分析】根据把一条线段分成两部分，使其

5、中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（51【解析】点C是线段AB的黄金分割点，AC2ABBC（ACBC），则ACAB=BCAC=512；或BC2则ACBC=BCAB=512【小结】此题主要考查了黄金分割比的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键如图，已知点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AEEB，若S1表示AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，则S3：S2的值为（）A512B5+12C3【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（A

6、CBC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点其中AC=51【解析】如图，设AB1，点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AEEB，AEGF=512，BEFHABS3：S2（GFFH）：（BCBE）（512352）：（1【小结】本题考查了黄金分割、矩形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是掌握黄金分割定义古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足MGMN=GNMG=512，后人把512这个数称为“黄金分

7、割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点如图，在ABC中，已知ABAC3，A1045B355C5252【分析】作AHBC于H，如图，根据等腰三角形的性质得到BHCH=12BC2，则根据勾股定理可计算出AH=5，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到BE=512BC2【解析】作AHBC于H，如图，ABAC，BHCH=12在RtABH中，AH=3D，E是边BC的两个“黄金分割”点，BE=512BC2（5HEBEBH2522254，DE2HE4SADE=12（458）5=【小结】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：ACAC：BC

8、），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点其中AC=512AB0.618AB比例的基本性质解决此类问题通常利用设k法即可有效解决，注意方程思想以及分类讨论思想的灵活运用.已知：a：b：c2：3：5（1）求代数式3ab+c2a+3bc（2）如果3ab+c24，求a，b，c的值【分析】（1）根据比例设a2k，b3k，c5k（k0），然后代入比例式进行计算即可得解；（2）先设a2k，b3k，c5k（k0），然后将其代入3ab+c24，即可求得a、b、c的值【解析】（1）a：b：c2：3：5，设a2k，b3k，c5k（k0），则3ab+c2a+3bc（2）设a2k，b3k，c5k（k0）

9、，则6k3k+5k24，解得k3则a2k6，b3k9，c5k15【小结】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便已知a、b、c是ABC的三边，且满足a+43=b+32=c+84，且a【分析】令第一个等式等于k，表示出a，b，c，代入第二个等式求出k的值，即可作出判断【解析】设a+43=b+32=c+84=k，可得a3k4，代入a+b+c12得：9k1512，解得：k3，a5，b3，c4，则ABC为直角三角形【小结】此题考查了比例的性质，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键已知2ab+c+d=2ba+c+d【分析】依据等比性质可得，2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)

10、=k，分两种情况讨论，即可得到【解析】2ab+c+d=由等比性质可得，2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=k，当a+b+c+d0时，k当a+b+c+d0时，b+c+da，k=2a综上所述，k的值为23【小结】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质已知a、b、c均为非零的实数，且满足a+bcc=ab+c【分析】已知等式利用比例的性质化简表示出a+b，a+c，b+c，代入原式计算即可得到结果【解析】当a+b+c0时，利用比例的性质化简已知等式得：a+bcc即a+bcc，ab+cb，a+b+ca，整理得：a+b2c，a+c2b，b+c2a，此时原式=8abc当a+b+c

11、0时，可得：a+bc，a+cb，b+ca，则原式1综上可知，(a+b)(b+c)(c+a)abc【小结】此题考查了比例的性质，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例如图，直线l1l2l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F；AC与DF交于点O已知DE3，EF6，AB4（1）求AC的长；（2）若BE：CF1：3，求OB：AB【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可（2）利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可【解析】（1）l1l2l

12、3，DEDF=ABAC，即（2）l1l2l3，BECF=OBOC=13，AB4，AC【小结】考查平行线分线段成比例定理，解题时注意：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例如图，已知ABCDEF，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF3：1，BE10，那么CE等于（）A103B203C52【分析】根据平行线分线段成比例定理ADDF=BCCE=3，则BC3CE，利用BC+CE【解析】ABCDEF，ADDF=BCCE=BC+CEBE，3CE+CE10，CE=52选【小结】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例如图，在ABC中，ADB

13、C，点E在AB边上，EFBC，交AC边于点F，DE交AC边于点G，则下列结论中错误的是（）AAEBE=AFCFBAGGF=DGEG【分析】由ADEFBC，根据平行线分线段成比例定理可得出对应线段成比例，逐一检查每个选项即可得出正确答案【解析】EFBCAEBE=AF根据合比性质，则有AEAE+BE=AFAF+CF 即：又ADEF，AGGF=DG而AGGF=DGEG=AD【小结】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，把握定理中对应线段成比例的“对应”两个字是解决本题的关键已知，在ABC中，点D为AB上一点，过点D作DEBC，DHAC分别交AC、BC于点E、H，点F是BC延长线上一点，连接FD交

14、AC于点G，则下列结论中错误的是（）AADDB=AEDHBCFDE=DHCG【分析】首先证明四边形DECH是平行四边形，再利用平行线分线段成比例定理一一判断即可【解析】DEBC，DHAC，四边形DECH是平行四边形，DHCE，DECH，DEBC，ADDB=AEDHCG，DFFG=DHDEBC，DEBC=AEAC，选B【小结】本题考查平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型相似三角形的判定相似三角形的判定方法汇总：1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相

15、交，所构成的三角形与原三角形相似3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似如图，下面图形及各个选项均是由边长为1的小方格组成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上，下列四个选项中哪一个阴影部分的三角形与已知ABC相似（）ABCD【分析】根

16、据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可【解析】根据题意得：AC=12+22=5，AB=12+12=A、三边之比为1：2：5，选项A符合题意；B、三边之比2：5：3，选项B不符合题意；C、三边之比为2：5：17，选项C不符合题意；D、三边之比为5：5：4，选项D不符合题意选A【小结】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键在ABC中，ACB90，用直尺和圆规在AB上确定点D，使ACDCBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）A BC D【分析】如果ACDCBD，可得CDABDC90，即CD是AB的垂线，根据作图痕迹

17、判断即可【解析】当CD是AB的垂线时，ACDCBDCDAB，CDABDC90，ACB90，A+ACDACD+BCD90，ABCD，ACDCBDA选项中，CD是ACB的角平分线，不符合题意；B选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；选C【小结】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：ABC，ADE，AEF，AFH，AHG，在至中，与相似的三角形是（）ABCD【分析】根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断【解析】由题意

18、：中，ABCADEAFH135，又ABBC=ADDE=FHAF=22，ABAD=【小结】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A（4，2）B（6，0）C（6，3）D（6，5）【分析】利用A、B、C的坐标得到AB6，BC3，ABC90，然后利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对各选项进行判断【解析】点A、B、C的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），AB6，BC3，ABC90，当E点坐标为（4，

19、2），而D（6，1），则CE1，CD2，ECD90，ABCD=BCEC=3，ABCECD当E点坐标为（6，0），而D（6，1），则ED1，CD2，EDC90，ABCD=BCED=3，ABCEDC当E点坐标为（6，3），而D（6，1），则ED2，CD2，EDC90，ABCDBCED，ABCEDC，当E点坐标为（6，5），而D（6，1），则ED4，CD2，EDC90，ABED=BCCD=32，ABC选C【小结】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了坐标与图形性质相似三角形的性质（周长）掌握相似三角形周长比等于对应边的比是解题关键.如图，在ABC中，A

20、D平分BAC交BC于点D，点E在AD上，如果ABEC，AE2ED，那么ABE与ADC的周长比为（）A1：2B2：3C1：4D4：9【分析】根据已知条件先求得SABE：SBED2：1，再根据三角形相似求得SACD=94S【解析】AD：ED3：1，AE：AD2：3，ABEC，BAECAD，ABEACD，LABE：LACD2：3，选B【小结】本题考查了相似三角形的判定和性质，不同底等高的三角形面积的求法等，等量代换是本题关键如图，在ABCD中，AB10，AD15，BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BGAE于点G，若BG8，则CEF的周长为（）A16B17C24D25【分析】先计算出A

21、BE的周长，然后根据相似比的知识进行解答即可【解析】在ABCD中，CDAB10，BCAD15，BAD的平分线交BC于点E，ABDC，BAFDAF，BAFF，DAFF，DFAD15，同理BEAB10，CFDFCD15105；在ABG中，BGAE，AB10，BG8，在RtABG中，AG=AB2BG2=四边形ABCD是平行四边形，ABCF，CEFBEA，相似比为5：101：2，CEF周长为16【小结】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，相似三角形的周长比等于相似比，难度较大如图，点E是ABCD的边AD上的一点，且D

22、EAE=12，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE3，DFA21B28C34D42【分析】根据平行四边形的性质得ABCD，再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求得AB，AE，进而根据平行四边形的周长公式求得结果【解析】四边形ABCD是平行四边形，ABCF，ABCD，ABEDFE，DEAEDE3，DF4，AE6，AB8，ADAE+DE6+39，平行四边形ABCD的周长为：（8+9）234选C【小结】考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答如图，已知平行四边形ABCD，点E在DC上，DE：EC2：1，连接AE交BD于点F，则DEF与BAF的周长之比

23、为（）A4：9B1：3C1：2D2：3【分析】可证明DFEBFA，根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得出答案【解析】四边形ABCD为平行四边形，DCAB，DFEBFA，DE：EC2：1，DE：DC2：3，DE：AB2：3，CDFE：CBFA2：3 选D【小结】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方相似三角形的性质（面积）掌握相似三角形面积比是对应边比的平方的性质是解题关键.如图，在ABC中，DEBC，BE和CD相交于点F，且SEFC3SEFD，则SADE：SABC的值为（）A1：3B1：8C1：9D1：4【分析】易证DEFCBF同理可

24、证ADEABC，根据相似三角形面积比是对应边比例平方即可解题【解析】SEFC3SDEF，DF：FC1：3 （两个三角形等高，面积之比就是底边之比），DEBC，DEFCBF，DE：BCDF：FC1：3同理ADEABC，SADE：SABC1：9，选C【小结】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形面积比是对应边比例的平方的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键如图，在平行四边形ABCD中，点E在DA的延长线上，且AE=13AD，连接CE交BD于点F，交AB于点G，则SBGC：S四边形A35B53C57【分析】根据平行四边形的性质得到ADBC，ADBC，ABCD，再证明AEGBCG

25、，利用相似的性质得到SAEGSBCG=19，证明EAGEDC，利用相似比得到SEAGSEDC=116，所以S四边形ADCG15【解析】四边形ABCD为平行四边形，ADBC，ADBC，ABCD，AEBC，AEGBCG，SAEGSBCG=（AEBC）2（AEAD）2（13）2=19AGCD，EAGEDC，SEAGSEDC=（EAED）2（EAEA+AD）2（14）2=116S四边形ADCG15SEAG，SBGC：S四边形ADCG9SAEG：15SEAG3：5选A【小结】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用

26、，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质如图，D、E分别是ABC的边AB、BC上的点，且DEAC，AE、CD相交于点O，若SDOE：SCOA1：25，则SDOE与SCOE的比是（）A1：25B1：5C1：4D1：3【分析】通过证明DOECOA，可得SDOESCOA=（ODOC）【解析】DEAC，DOECOA，SDOESCOA=（ODOC）SDOE与SCOE的比为1：5，选B【小结】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是本题的关键已知如图，DE是ABC的中位线，点P是DE的中点，CP的延长线交A

27、B于点Q，那么SCPE：SABC 【分析】连结AP并延长交BC于点F，则SCPESAEP，SAEPSADP，可得SCPE：SADE1：2，由DEBC可得ADEABC，可得SADE：SABC1：4，则SCPE：SABC1：8【解析】连结AP并延长交BC于点F，DE是ABC的中位线，E是AC的中点，SCPESAEP，点P是DE的中点，SAEPSADP，SCPE：SADE1：2，DE是ABC的中位线，DEBC，DE：BC1：2，ADEABC，SADE：SABC1：4，SCPE：SABC1：8【小结】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识相

28、似基本模型（A字型）基础模型： A字型（平行） 反A字型（不平行）已知：如图，点D，F在ABC边AC上，点E在边BC上，且DEAB，CD2CFCA（1）求证：EFBD；（2）如果ACCFBCCE，求证：BD2DEBA【分析】（1）由平行线分线段成比例可得CDAC=CECB，由CD2CFCA，可得CFCD（2）通过证明BADDBE，可得BABD【解析】证明：（1）DEAB，CDACCD2CFCACDAC=CFCD，CFCD（2）EFBD，CEFCBD，ACCFBCCE，ACBC=CECF，且CC，CEFCAB，CEFA，DEAB，EDBDBA，且DBEA，BADDBE，BABD=BDDEBD2【

29、小结】考查相似三角形判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型如图：ADEGBC，EG交DB于点F，已知AD6，BC8，AE6，EF2（1）求EB的长；（2）求FG的长【分析】（1）由EGAD可得出BADBEF，利用相似三角形的性质可求出EB的长；（2）由EGBC可得出AEGABC，利用相似三角形的性质可求出EG的长，再结合FGEGEF可求出FG的长【解析】（1）EGAD，BADBEF，BEBA=EFAD，即（2）EGBC，AEGABC，EGBC=AEAB，即EG8=66+3，EG=【小结】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质，求

30、出EB的长；（2）利用相似三角形的性质，求出EG的长如图所示，在ABC中，DEBC，AD5，BD10，AE3（1）求CE的长（2）在ABC中，点D，E，Q分别是AB，AC，BC上，且DEBC，AQ交DE于点P小明认为DPBQ【分析】（1）证明ADEABC，所以ADAD+BD=AE（2）在ABQ中，由于DPBQ，所以ADPABQ，根据相似三角形的性质即可求出答案【解析】（1）由DEBC，ADEABC，ADAD+BDAD5，BD10，AE3，CE6（2）结论正确，理由如下，在ABQ中，由于DPBQ，ADPABQ，DPBQ同理可得：EPCQ=【小结】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形

31、的性质与判定，本题属于中等题型如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AEDB，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且ADAC（1）求证：ADFACG；（2）若ADAC=3【分析】（1）由AEDB、DAECAB利用相似三角形的判定即可证出ADEACB；根据相似三角形的性质再得出ADFC，即可证出ADFACG；（2）由（1）的结论以及相似三角形的性质即可求出答案【解析】（1）证明：AEDB，DAECAB，AEDABC，ADFC，又ADAC=DFCG，（2）ADFACG，ADACADAC=37，【小结】本题考查相似三角形的性质和判定，记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键，属于基础题

32、相似基本模型（X字型）基础模型： X字型（平行） 反X字型（不平行）如图，AD与BC交于点O，EF过点O，交AB与点E，交CD与点F，BO1，CO3，AO=32，DO（1）求证：AD（2）若AEBE，求证：CFDF【分析】（1）证明OABODC，可得出结论；（2）证得ABCD，可得AEDF=OE【解析】证明：（1）BO1，CO3，AO=32，DO=9AOBCOD，OABODC，AD（2）AD，ABCD，AEDF=OEOF，AEBE，CFDF【小结】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理熟练掌握定理内容是解题的关键如图：已知ABCD，过点A的直线交BC的延长线于E，交BD、CD于

33、F、G（1）若AB3，BC4，CE2，求CG的长；（2）证明：AF2FGFE【分析】（1）根据平行四边形的性质得到ABCD，证明EGCEAB，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可；（2）分别证明DFGBFA，AFDEFB，根据相似三角形的性质证明【解析】（1）四边形ABCD是平行四边形，ABCD，EGCEAB，CGAB=EC解得，CG1；（2）证明：ABCD，DFGBFA，FGFA=DFFB，AFDEFB，AFFE=DFFB，FGFA=AFFE【小结】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键如图，AGBD，AF：FB1：2，B

34、C：CD2：1，求GEED【分析】证明AFGBFD，可得AGBD=AFBF=12，由AG【解析】AGBD，AFGBFD，AGBDBCCD=2，CD=13AGBD，AEGCED，GEED【小结】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识如图，已知在ABC中，BE平分ABC交AC于E，点D在BE延长线上，且BABCBDBE（1）求证：ABDEBC；（2）求证：AD2BDDE【分析】（1）根据相似三角形的判定证明ABDEBC即可；（2）由相似三角形的判定证明ABDEBC，ADEBEC，AEDABD，再利用相似三角形的性质证明即可【解析】证明：（1）BE平分ABC

35、，ABDEBC，BABCBDBE即ABBC=BDBE，（2）ABDEBC，BADBEC，ADBBCE，AEDBEC，BADAED，ADEBEC，AEDABD，ADBD=DEAD，即AD2【小结】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定方法解答相似基本模型（AX型）A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.如图，ABC中，DE分别是AB、AC上的点，且BD2AD，CE2AE（1）求证：ADEABC；（2）若DF2，求FC的长度【分析】（1）由BD2AD，CE2AE可得出ADAB=AEAC，结合DAEBAC可证出（2）由ADEABC，利用相似三角形的性质可得出DEBC=13及

36、ADEABC，利用“同位角相等，两直线平行”可得出DEBC，进而可得出DEF【解析】（1）证明：BD2AD，CE2AE，ADAB又DAEBAC，ADEABC；（2）ADEABC，DEBC=ADAB=13，ADEDEFCBF，DFCF=DECB，即【小结】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的判定，解题的关键是：（1）利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证出ADEABC；（2）利用相似三角形的性质及平行线的判定定理，找出DEBC如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G如果CEBE=2【分析】由平行四边形的性质可得出ADBC

37、，ADBC，由ADBE可得出BEFDAF，利用相似三角形的性质结合CEBE=23可得出AE=83EF，由CEAD可得出CEGDAG，利用相似三角形的性质可得出GE=25GA=【解析】四边形ABCD为平行四边形，ADBC，ADBCADBE，BEFDAF，EFAF又BCBE+CE，CEBE=23，BE=35BC=35DA，EF=CEAD，CEGDAG，GEGA=CEDA=22+3，GE=25GAFEEG【小结】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，利用相似三角形的性质，找出AE=83EF及GE=已知，如图，在平行四边形ABCD中，M是BC边的中点，E是边BA延长线上的一点，连接EM

38、，分别交线段AD于点F、AC于点G（1）求证：AFGCMG；（2）求证：GFGM【分析】（1）可得出FAGMCG，又AGFCGM，则结论得证；（2）由（1）可得出GFGM=AFCM，证明AEFBEM，可得出AFBM【解析】（1）证明：ADBC，FAGMCG，AGFCGM，AFGCMG；（2）证明：AFGCMG，GFADBC，AEFBEM，AF又CMBM，AFCM=EF【小结】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型如图，已知ABCD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，ABCD=1（1）求证：ABEF；（2）求SABE：SEBC

39、：SECD【分析】（1）只要证明BEED=BFFC=（2）设ABE的面积为m利用相似三角形的性质，等高模型求出BCE，ECD的面积即可解决问题；【解析】（1）证明：ABCD，ABCDBFCF=12，BEED=BFFC，（2）设ABE的面积为mABCD，ABECDE，SABESEDC=（ABCD）2=14AECE=ABCD=12SABE：SEBC：SECDm：2m：4m1：2：4【小结】本题考查平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型相似基本模型（作平行线）解决此类问题的关键是作平行线去构造相似三角形从而利用

40、相似三角形的性质去解决问题.基础模型：如图，ABC中，D为BC中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，则AFFCA1：5B1：4C1：3D1：2【分析】过D作BF的平行线，交AC边于G，即：DGBF，又D为BC中点可得出：CDGCBF，即：CDCB=CGCF=12，CG=12FCFG；同理可得：AEFADG，AF=12AG【解析】过D作BF的平行线，交AC边于G，如下图所示：D为BC中点，DGBF，CGDCFB，又CC，CDGCBFCGCF=CDCB=1又E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，DGBF同理可得：AEFADG，AEAD=AFAG=1AFFGGC，AFFC=AF2AF【小结

41、】本题主要考查相似三角形的判定与性质，关键在于找出条件判断两个三角形相似，再运用相似三角形的性质求解如图，D、E分别是ABC的边BC、AB上的点，AD、CE相交于点F，AE=15EB，BD=13BC，则CF：【分析】作EHBC，根据AEHABD，得到HEBD=AEAB=【解析】作EHBC交AD于H，则AEHABD，HEBDBD=13BC，CD2BD，EHBC，CFDEFH，CFEF=CDHE=【小结】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握作辅助线构造相似三角形的一般方法是解题的关键如图，AD是ABC的中线，点E是线段AD上的一点，且AE=13AD，CE交AB于点F若AF2cm，则AB 【分析

42、】过A作AGBC，交CF的延长线于G，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AGDC=AEDE=12，进而得出BF【解析】如图所示，过A作AGBC，交CF的延长线于G，AE=13AD，AGBC，AEGDEC，又AD是ABC的中线，BC2CD，AGBCAGBC，AFGBFC，AFBF=AGBC=14，BF4AF8cm，AB【小结】本题考查相似三角形的判定与性质的运用，过A作AGBC，构造相似三角形是解决此题的关键如图，等边三角形ABC中，AB3，点D是CB延长线上一点，且BD1，点E在直线AC上，当BADCDE时，AE的长为 【分析】分两种情形分别画出图形，利用相似三角形的性质解决问题即可【解析

43、】ABC是等边三角形，ABCACB60，ACBCAB3，ABD120，当点E在边AC上时作EFAB交BC于F，如图1所示：则EFC是等边三角形CFE60，EFCFCE，BFE120ABD，BADCDE，ABDDFE，ABBD=DFEF，即31=DFEF，DF3EF，BC3，BD1，CDBC+BD4，CF1，CE1，AEACCE2；点E在AC的延长线上时如图2所示：ABDDCE120，BADCDE，ABDDCE，ABCD=BDCE，即3AEAC+CE3+4综上所述，当BADCDE时，AE的长为2或133【小结】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的

44、思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题相似基本模型（双垂直型）直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似，即ACDABCCBD.如图，在ABC中，ACB90，CD是AB边上的高如果BD4，CD6，那么BC：AC是（）A3：2B2：3C3：13D2：【分析】只要证明ACDCBD，可得ACBC【解析】ACB90，CD是AB边上的高，ADCCDBACB90，A+B90，A+ACD90，ACDB，ACDCBD，ACBC=CDBD=6【小结】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BFAC

45、，垂足为E，ADAB=12，CEF的面积为S1，AEB的面积为SA116B15C14【分析】根据已知条件设ADBCa，则ABCD2a，由勾股定理得到AC=5a，根据相似三角形的性质得到BC2CECA，AB2AEAC求得CE=5a5，AE【解析】ADAB=12，设ADBCa，则ABCD2a，BFAC，CBECAB，AEBABC，BC2CECA，AB2AEACa2CE5a，4a2AE5a，CE=5a5，AE=CEFAEB，S1S2=（CEAE）2【小结】本题考查了矩形的性质及相似三角形的判定，能够牢记射影定理的内容对解决本题起到至关重要的作用，难度不大边长为1的正方形ABCD，在BC边上取一动点E

46、，连接AE，作EFAE，交CD边于点F，若CF的长为316，则CE的长为 【分析】由正方形的性质结合三角形内角和定理可得出BAE+AEB90，结合AEB+CEF90可得出BAECEF，由BC，BAECEF可证出ABEECF，再利用相似三角形的性质可求出CE的长【解析】四边形ABCD为正方形，BC90，BAE+AEB90EFAE，AEF90，AEB+CEF90，BAECEF，ABEECF，CEBA=CFBE，即CE1=3【小结】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形内角和定理，利用“两角对应相等的三角形相似”找出ABEECF是解题的关键如图，AC是矩形ABCD的对角线，过点B作

47、BEAC于点E，BE的延长线交AD于点F，若DFEF，BC2，则AF的长为 【分析】设AFx，所以FD2x，由题意可知：EFFD2x，易证AFECBE，所以BE=2(2x)x，再证明AFEBFA，根据相似三角形的性质即可列出方程求出【解析】设AFx，FD2x，EFFD2x，ADBC，AFECBE，AFBC=EFBE，x2=2xBE，BE=AFEAFB，AEFBAF90，AFEBFA，AF2EFBF，x2=4x2x（2x【小结】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型相似基本模型（手拉手型）基础模型： 旋转放缩变换， 图中必有两对相似三角形.如图，在ABC

48、与ADE中，ACBAED90，ABCADE，连接BD、CE，若AC：BC3：4，则BD：CE为（）A5：3B4：3C5：2D2：3【分析】根据相似三角形的判定得出ABC与ADE相似，利用相似三角形的性质得出BACDAE，进而证明AEC与ABD相似，利用相似三角形的性质解答即可【解析】ACBAED90，ABCADE，ABCADE，BACDAE，ACABBAC+BAEDAE+BAE，即CAEBAD，ACAB=AEAD，ACEAC：BC3：4，ACBAED90，AC：BC：AB3：4：5，BD：CE5：3，选A【小结】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定得出ABC与ADE相似如

49、图，AB3，AC2，BC4，AE3，AD4.5，DE6，BAD20，则CAE的度数为（）A10B20C40D无法确定【分析】证明ABCADE，根据相似三角形的性质得到BACDAE，结合图形解答即可【解析】ACAE=23，ABADABCADE，BACDAE，BACDACDAEDAC，CAEBAD20，【小结】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解题的关键如图，ABCADE，BACDAE90，AB与DE交于点O，AB4，AC3，F是DE的中点，连接BD，BF，若点E是射线CB上的动点，下列结论：AODFOB，BODEOA，FDB+FBE90，BF=56ABCD【

50、分析】首先证明AODEOB，推出BODEOA，再证明DBE90，可得正确，利用直角三角形斜边中线的性质即可判断正确【解析】ABCADE，ADOOBE，AODBOE，AODEOB，ODOBODOA=OBOE，BODAOE，BODAODEOB，BODEOA，ADOEBO，AEODBO，ADO+AEO90，DBEDBO+EBO90，DFEF，FDFBFE，FDBFBD，FDB+FBEFBD+FBE90，故正确，在RtABC中，AB4，AC3，BC=3ABCADE，DEAE=BCAC=53，BF=12DEADOOBE，ADOOBF，无法判断AODFOB，故错误选D【小结】本题考查相似三角形的判定和性质

51、，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型已知：如图，在ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，ADAF，AECEDEEF（1）求证：ADEACD；（2）如果AEBDEFAF，求证：ABAC【分析】（1）由AECEDEEF，推出AEFDEC，可得FC，再证ADFC，即可解决（2）欲证明ABAC，利用相似三角形的性质证明BC即可；【解析】证明：（1）ADAF，ADFF，AECEDEEF，AEDE又AEFDEC，AEFDEC，FC，ADFC，又DAECAD，ADEACD（2）AEBDEFAF，AEAFADAF，AEADAEFEA

52、D+ADE，ADBEAD+C，AEFADB，AEFADB，FB，CB，ABAC【小结】本题考查等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型相似基本模型（一线三等角型）基础模型：如图1，B=C=EDF推出BDECFD（一线三等角）如图2，B=C=ADE推出ABDDCE（一线三等角）如图3，特别地，当D时BC中点时：BDEDFECFD推出ED平分BEF，FD平分EFC.如图，在ABC中，ABAC6，D是AC中点，E是BC上一点，BE=52，AEDB，则A152B223C365【分析】证明BAECED，推出BACE【解析】ABAC，BC

53、，AECAED+DECB+BAE，AEDB，DECBAE，BAECED，BACEABAC6，ADDC3，BE=52，6CE=523【小结】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型如图，在等边ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且APD60，BP2，CD1，则ABC的边长为（）A3B4C5D6【分析】根据等边三角形性质求出ABBCAC，BC60，推出BAPDPC，即可证得ABPPCD，据此解答即可，【解析】ABC是等边三角形，ABBCAC，BC60，BAP+APB18060120，APD60，APB+DPC180601

54、20，BAPDPC，即BC，BAPDPC，ABPPCD；ABPCBP2，CD1，ABAB2=21，AB4，ABC【小结】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出ABPPCD，主要考查了学生的推理能力和计算能力如图，已知在ABC中，ABAC6，BC5，D是AB上一点，BD2，E是BC上一动点，联结DE，并作DEFB，射线EF交线段AC于F（1）求证：DBEECF；（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；（3）联结DF，如果DEF与DBE相似，求FC的长【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到BC，由三角形的内角和和平角的定义得到DEFB，根据相似

55、三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到结论；（3）当BEDEDF，得到DFBC，根据平行线的性质得到ADFB，AFDC，根据等腰三角形的性质得到CF2；当DFEBED，推出点E在BDF与DFC的角平分线上，过E 作EMAB于M，ENAC于N，EGDF于G，连接AE，得到AE是BAC的角平分线，根据相似三角形的性质即可得到结论【解析】（1）ABAC6，BC，BDE180BBED，CEF180DEFBED，DEFB，BDECEF，DBEECF；（2）DBEECF，BDCEF是线段AC中点，CF=12AC3，25BE（3）DEF与DBE相似，BEDEDF，或DFEBED，当BE

56、DEDF，DFBC，ADFB，AFDC，ADFAFD，ADAF4，AC6，CF2；当DFEBED，DBEECF，BEDCFE，DFECFE，BDEFDE，点E在BDF与DFC的角平分线上，过E 作EMAB于M，ENAC于N，EGDF于G，连接AE，EMEGEN，AE是BAC的角平分线，BECE=5DBEECF，BDCE=BECF，即2综上所述，FC的长为2或258【小结】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键已知：ABC，ABAC，BAC90，点D是边BC的中点，点E在边AB上（点E不与点A、B重合），点F在边AC上

57、，联结DE、DF（1）如图1，当EDF90时，求证：BEAF；（2）如图2，当EDF45时，求证：DE【分析】（1）连接AD，证BDEADF（ASA），即可得出结论；（2）证明BDECFD得出BECD=BDCF=DEDF【解析】证明：（1）连接AD，如图1所示：在RtABC中，ABAC，BAC90，BC45，点D是边BC的中点，AD=12BCBD，ADBC，BADCAD45，BEDF90，ADF+ADE90BDE+ADE90，BDEADF，在BDE和ADF中，B=CADBD=ADBDE=ADF，BDEADF（ASA），BE（2）BDFBDE+EDF，BDFC+CFD，BDE+EDFC+CFD又

58、CEDF45，BDECFD，BDECFDBECD=BDCF=DEDF，BE【小结】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键相似三角形中的动点问题如图，RtABC，C90，AC10cm，BC8cm点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止（1）求经过几秒后，PCQ的面积等于ABC面积的25（2）经过几秒，PCQ与ABC相似？【分析】（1）设经过x秒，PCQ的面积等于ABC面积

59、的25（2）根据相似三角形的判定得出两种情况，再求出t即可【解析】（1）设经过x秒，PCQ的面积等于ABC面积的25122x(8x)=1210825答：经过4秒后，PCQ的面积等于ABC面积的25（2）设经过t秒，PCQ与ABC相似，因为CC，所以分为两种情况：PCBC=CQAC，2tPCAC=CQBC，2t答：经过167秒或4013秒时，PCQ与【小结】本题考查了三角形的面积，直角三角形，相似三角形的判定等知识点，能得出关于x的方程是解（1）的关键，能求出符合的所有情况是解（2）的关键如图所示，在等腰ABC中，ABAC10cm，BC16cm点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点

60、B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s连接DE，设运动时间为t（s）（0t10），解答下列问题：（1）当t为何值时，BDE的面积为7.5cm2；（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得BDE与ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形BDE边BE的高即可求解；（2）根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可【解析】（1）分别过点D、A作DFBC、AGBC，垂足为F、G如图DFAG，DFABAC10，BC16BG8，AG6ADBEt，BD10t，DF6=10t10。解得DFS