数字通信第3章解调与检测

1、第3解调与检信号第3解调与检信号和噪声的矢量空间表AWGN信道下信号的解调和检1信号和噪声的矢量空间表xN )在N维矢信号和噪声的矢量空间表xN )在N维矢量空间S 中每个矢量x用它的N个坐标表示两个矢量xy的和定义为x+ y (x1 y1,y2 ,xN yN)之积定义 x 矢量x与标xN 两个矢量x、y的内积x y Nixi y2N维矢量空矢量x的长度定义为Nix x|矢量x的长度定义为Nix x|ix cos 两个矢量x、y的夹角| x | | y |v1 (1,0,0, v2 (0,1,0, vN (0,0,0, 是一组相互正交，规一的矢量，称为基矢量3xii 12,N ，可以通过如下方

2、 对于任何Nxii 12,N ，可以通过如下方 对于任何N个线性无关矢个正交、规一矢量ei N得到一任取一个矢量，比如 x1 e1 = x1 /|x1 |； e2 b2 /|b2 |； e3 b3 /|b3 | ；b2 x2 (x2 e1，b3 x3 (x3 e1(x3 e2，bn xn (i| ；n 1,2, en bn /|，S 的基矢量可以把任何一组N个正交、规一矢量，作为这个4Gram-idt规范化法信号的矢量空间表把在(0,T ) 上平方可积函y(t看成是矢量x(tTx(t)y信号的矢量空间表把在(0,T ) 上平方可积函y(t看成是矢量x(tTx(t)y(t)(x(t), y(t)

3、 x(t)和的内积定义0Tx(t)函数的长度定义为| x(t) x20(x(t)x(t)和 y(t)的的夹角定义： cos |x(t)| y(t)i (ti 12, N是一组在 (0,T上定义的正交、规一函数i i jj T (t)dt ij05任何一个由i (t)线性组的函数任何一个由i (t)线性组的函数 s(t)可以表示为s(t) s11(t) s22 (t)sNN i (t)看成是一组N个正交、规范基函数，相当于N 维正交空间向量。于是s(t) 就可以看成为是这个N个正中的一点，它的坐标为(s1 , s2 ,sN ) ，称为信号空间6由Gram-idt正交化步骤s1由Gram-idt正

4、交化步骤s1(t) s111(t)s122(t)s1NN s2 (t) s211(t)s222 (t)s2NN 使得sM (t) sM11(t)sM22(t)sMNN 71,2,M; j 1, Tsij o si (t)j (t)dt，可以从任何一组M个波形si(t)，i12,M，t0,T构造出一N个正交规范波形1 (t),2 (t),N (t), N M 任取一个矢量，比如s1(t) 1(t)= s1(t)/|s1(t)b2 s2 s2 1 1 2(t) b2(t)/|b2(t)| b3 s3 s3 1 1 s3 2 2 ， 3(t)b3(t)/|b3(t)| bn sn i n(t)bn(

5、t)/|bn(t)n 1,2, s1(t),s2 (t),s3(t),s1(t),s2 (t),s3(t),s4 (t)s2例4个基带信s431/22 1/281/2构造出一组3个正交规范波1(t),2(t),3(t)s1(t)s (t) 2 (t) 2s3(t) s4 (t) s1 s1(t)s (t) 2 (t) 2s3(t) s4 (t) s1 222 321(t)3 2,0,0),s2 (0,s 2,0),s 2,3422 ss1222ss34每个信号波形si (t)可以用矢量(si1, si2 ,siN 表示，信号能 i 1,2, 信号的能量相当于矢量(si1si2 ,siN 长度的

6、平9T E s2(t)dt s dt sij 0 jj2例在 (,上定义的16个基带信号si, j (t) icost例在 (,上定义的16个基带信号si, j (t) icost jsint i, j 1,可以用二维信号空间中的点表示，该二维信号空间的基矢量函为(t) sin (t) cos21所si, j (t) 1(t) 2(t)j, si.|2(i2 j2i.噪声的矢量空间表双边功率谱密度为N0/2的噪声也可以表示成二噪声的矢量空间表双边功率谱密度为N0/2的噪声也可以表示成二部分组成NTnj n(t)j 其) 0j是n(t)在这N 维信号空间中的投影另一部分)(t)是与信号空间正交的

7、分量。因为对任何j(t), j 12,T0)t) 可以用矢(1,2 表示分是随量的均值和协方差分别为En E T n(t) 可以用矢(1,2 表示分是随量的均值和协方差分别为En E T n(t) (t)dt ijTT ) (Enn E j j00TT (t)(t) (ij200 2N0i 2i N维噪声矢量(t) (n1n2,nN ) 的概率分布为 n2 f(n)f(n )i (N )N/2ii 0 AWGN信道下的解调和检解AWGN信道下的解调和检解调和检测的概基函数相关解基函数匹配滤波器解最佳检器3.2.1 解调和检测的概解调就是把接收到波形恢复成发送的基3.2.1 解调和检测的概解调就

8、是把接收到波形恢复成发送的基带脉冲义。解调与采检si(t)r(t)n(t)器均衡z(t)滤波变换频率下变换方框是为带通信号传输传输来说，它可以完全省去。接收滤波器，执行波形恢复的功能的信噪比恢复基带脉冲。这种最佳滤波器也称为匹配滤波器，或者叫相关器。，均频率下变换方框是为带通信号传输传输来说，它可以完全省去。接收滤波器，执行波形恢复的功能的信噪比恢复基带脉冲。这种最佳滤波器也称为匹配滤波器，或者叫相关器。，均衡器用来消除由带限统所引起的码间干扰（ISI）解调/检测过程包含有二个转换第一是波形样本转换，这由采样器完成。在解调/检测过程包含有二个转换第一是波形样本转换，这由采样器完成。在每个符号间

9、Tz(mTz(mT为号的能量及附加噪声有关。由于输入噪声是Gaussian第二是样本到消息符号转换。（检测在时采样t sir(t)消息符n(t)h (t)简化的基带传输模门滤z(t)二进制基带信号系统的分s (t)s10二进制基带信号系统的分s (t)s10t 0t 发送发送s i z(t)r(t)hr r(t) )zi在时采样t sir(t)消息符n(t)h (t)简化的基带传输模门滤z(t)z(t在时刻tT 的采样输出为z(t在时刻tT 的采样输出为zi其中ai (T )是由信号分量得到的，是所需分量；no (T )是噪声分量z ai n (T20是均值为零，方差的噪op(z|s0p(z|

10、s1分别称为是s0、s1的似然概率器作用是把采样值z与某门限 相比，根据大于确定发送的是s0，还是s1。还是小于 014-10 10传输系统中的解调和检测主要归结为如何设计一个的接收滤波器和如何选择比较门限1 za 2 p(z|s )exp0 1 za 2 p(z|s1)1 22 基函数相关解当发送是信号sk (t)时，接收r(t) k 基函数相关解当发送是信号sk (t)时，接收r(t) k ,)r(t)投影到N维信号空间，得到的矢量表示为r (r1r2, r是均值为s ，方差为No 的独s(t)随量，所以在发ik2条件下，接收到r (1,2,N )的条件概率，表示矢量(r si 的长度r其

11、r|si ) (N )N /2 exp(rk sik ) /N0 i exp rs 2/N ( N )N /2Tri 0 r(t)i(t)dtski i 1,2, 1(t去N1(t去N(t基函数相关解调2(t的充分统计量；也就是说作出正)的信息包含的充分统计量；也就是说作出正)的信息包含在矢量 r中，与噪声分量n(t)无关。 Et)NjkjNTEn(t)n()k()dE(nj nk )joj N0 (t) N0 (t)kk22变量，不相关就意味着相互立，所以n(t)ri独立的。从而ri是一组充分统计量，给出的分统计量的解调器是一组基函数相关器例6.3.1 M电平PAM传输，其中基本脉冲形状 s

12、T (t为矩形，如图噪声。求基函数 (t)和基函数相关示，加性噪声是零均值，调器输出解例6.3.1 M电平PAM传输，其中基本脉冲形状 sT (t为矩形，如图噪声。求基函数 (t)和基函数相关示，加性噪声是零均值，调器输出解 矩形脉冲能量s (t)TTE s ( AsTo因为PAM信号集合具有维数N 只有一个基函数 (t)，Tt1 10t (t) s TT基函数相关型解调器输为 TTTr(t)r r(t)dt00相关变成了简单的积分器T0 r(t)(t)dt发送的第m电平基带脉冲可表示为A2T(t)s(t)s (t) A s (t) mmm1Tn t)dtTr 则mT10)dt T(t)ns发

13、送的第m电平基带脉冲可表示为A2T(t)s(t)s (t) A s (t) mmm1Tn t)dtTr 则mT10)dt T(t)nsmmT00En其 En(t)n( )dtd 1TTTEn(t)n()dtdTT2nT N00000(t221exp(r p(r|s )/所mm0N0基函数匹配滤波器解基函数相关型解调是利用一组N个相关器构造出充分统计量基函数匹配滤波器解基函数相关型解调是利用一组N个相关器构造出充分统计量提供给后的检装置可以用一组滤波器代替相关器，这组N个滤波器的脉冲响应为其中 k (t)是信号空间的N个基函数。滤波器输出t(ty (t) kk0t(Ttk 1,2, ，k0t T

14、时，这些匹配滤波器输出正好是N个基函数相关器的输出h (t) k(T t)，0t T ， k 1,2,其0t定义当信号s0t定义当信号s(t是上定义的函数，的滤波器称为是信号s(t)的匹配滤波器0tT如果信号s(t)受到AWGN干扰，则信号如果信号s(t)受到AWGN干扰，则信号 s(t)通过定理它相匹配的滤波器，可获得最大信噪比tT输出信噪比（SNR）可证明，在时TS s2( N No /2匹配滤波器性下面计算匹配滤波器的频率传递函数Th(t)e j2 ftj下面计算匹配滤波器的频率传递函数Th(t)e j2 ftj2 ct)eH(f0Tj2 fj2 cS*(f)ej2cd H(f)cS*(

15、f)ej2匹配滤波器的信号输出匹配滤波器的信号输出在tT时，ys(T Rs(0，正是相关器在t T时的输出ys(t) s(t)h(s(t)s(T Rs (tT去检N (T去检N (T t基函数匹配滤波解调2 (T t1 (T t可以把基函数相关解调器用一组匹配滤波器代替，得到基函数匹配滤波解调器。例1求与图示信号s（t）例1求与图示信号s（t）(a)信(b) 匹配滤波器脉冲响(c) 匹配滤波器输注意：匹配滤波器的输出仅当 t T 时才和相关器输出相同，在其时刻二者输出是注意：匹配滤波器的输出仅当 t T 时才和相关器输出相同，在其时刻二者输出是不一样的。例如对于正弦信号，图中的实线表示相匹配滤

16、波器输出，而虚线表示对应相关器输出cos 2t 0,T t 0,T f0s(t) 01e j2( f f0 j4(f f01e j2( f f0 j4(f f0S(f)s(t)ej2 ftdt 匹配滤波器的频率响应H(f)S(f)ej2j2( f f 1e j2 j2( f f 1e j2 j4(f f0j4(f f0匹配滤波器的脉冲响应h(t)s(T t)cos2匹配滤波器的脉冲响应h(t)s(T t)cos2 f0(T t)t0,Tf0 N /假so(t) s()h(t输出信号t cos2 f 0t 022Tcos2 f tT t 020其3 在二进制基带传输系统中，可能发送二种波0t T

17、2t s (t)s (t) 2，1200发送发送求其基函数3 在二进制基带传输系统中，可能发送二种波0t T2t s (t)s (t) 2，1200发送发送求其基函数匹配滤波解调器的滤波器冲激响应及解调器输出解基二维正22 (t) (t)s s ，1122相应的匹配滤波器为2Tt h (t) (T t) 2011，2T2h (t) (T t)0t 其0，22当s1(t)发送时，匹配滤波器h1(t)tT时输出信号值为2Es为符号能量。当s1(t)发送时，匹配滤波器h1(t)tT时输出信号值为2Es为符号能量。而滤波器h2 (t)t y2s (T) 匹配型解调器输出采样矢量值为时输出信号值为Es

18、n1,n2其中n1n2为噪声通过这二只匹配滤波器，在 t T 时的采样值n t)2 ynyn N0En En2122第一只匹配滤波的输出信噪比为y2 S (T) 2E 2 N No0最佳检器对于AWGN上基带信号传输来说，无论是基函数相关解最佳检器对于AWGN上基带信号传输来说，无论是基函数相关解调，还是基函r (r1r2,rN )，接收信号中有 矢量中匹配滤波解调，都产生一矢发送信号的全部有用信息保含在这接收矢量是二项之和，一项是 sm，即与发送信号波形有关的矢量，另项是噪声矢量n，它是噪声在信号空间的投影。把sm 视做信号空间一n 是N 维信号空间一个随机矢量。它的每个分量是均值为0，方差

19、2的独变量，它可以表示为矢量上叠加一个球对称分布的噪，形成了信号空间中以 s 为中心的一个球状云团mnn信号检测准则p(sm )M个信号为sm(tm12,M ，相信号检测准则p(sm )M个信号为sm(tm12,M ，相应的先验概率 总是估计 p(sm )最大的哪个信号为没有收到 r(t)，如可能被发送收到r(t)，应该选使后验概率 p(sm | r)最大的那个sm为发如信号。这称为最大后验概率准则（MAP）Mp(r|sm ) p(sm p(r) p(r|s ) )p(sm |r) ，mm最大后验概率准则最大似然概率准则 mmMAPp(sm ) 1/ M 0信号是先验等可能传送时mML arg

20、maxp(r|smmmMAP argmaxp(sm |r) argmaxp(r|sm ) p(sm 最佳性证当信号先验概率分布已知时，采最佳性证当信号先验概率分布已知时，采用MAP准则可以使平均错误概率最小接收到矢量r r1r2, )是N 维信号空间中一个点，根据 r做出发，相当于把信号空间划分成M个区域 信号是哪一个m 12,M 。若r 落入 Ri，就判定发送的是信号si (t)。如何划分 错误概率最小？设发送的是sm (t)，但接收到的矢量 r 落到 Rm以外，决就出错误。所以在发送 sm (t) 条件下的错误概率为P(e|sm) 的补空间p(r|smm其中mm最大后验（MAP）检测：选s

21、m使 p(sm p(r|sm )最大最大似然（ML）检测：选 sm 使p(r |sm ) 最大MP(e)p(sm )P(e|sm M平均错误概为MP(e)p(sm )P(e|sm M平均错误概为 p(sm p(r |sm mMp(r |sm )dr) 1mM1p(sm |r) 为了平均错误概率最小，划分应该使在 Rm 中的p(sm |r) p(r) p(si |r) p(r)， i r满i p(sm |r) p(si |r)即这就是最大后验概率准则（MAP）同样当M个信号先验等概分布时，采用ML准则可以使平均错误概率最小AWGN下的信号检测准则由于对数函数的单调性，所以最大后验概率准则（MAP

22、）也等价于argmaxp(sm |r) argmaxlnp(AWGN下的信号检测准则由于对数函数的单调性，所以最大后验概率准则（MAP）也等价于argmaxp(sm |r) argmaxlnp(sm |mmargmaxln p(sm)ln p(r|smmexp1Np(r |s )(r /0由mi)N/2 0 exp2r/m0)N/2 0ln p(r|s ) N ln() 1 (r m0i2Ni0AWGN下的 最大后验概率准则为2 argmaxln p(sm ) 2 ln(N0) N(ri smi) mMLmMAPp(sm ) 1/M当M个信号 mMLmMAPp(sm ) 1/M当M个信号是先验

23、等可能传送时最大似然概率准则 argmaxp(r| sm m1|r2mm似然概率准则（ML）等价于最小距离准则若|rDmargmaxln p(s ) 1 |r|21N1N1N2Niiii(r rs2r由ii1N1N1N2Niiii(r rs2r由iiNNNN0000忽略与m无关项，得到最大后验概率准则等价于其中Em为信号sm的能量(r,sm)rsm的内积argmaxln p(s ) s2 r mi argmaxln p(s ) Em 2 (r,s )m N0N0AWGN下的信号检测： （基函数是基函数相关最大后验概AWGN下的信号检测： （基函数是基函数相关最大后验概 1TT对所有m，计算选取最大项对应是基函数匹配滤波最大后验概是基函数匹配滤波最大后验概匹配滤波N(T-匹配滤波1(T-对所有m，计算选取最大项对应4. AWGN下的信号检测（信号相关T(r,s )r(t)sTs2E由mmmm00MAP4. AWGN下的信号检测（信号相关T(r,s )r(t)sTs2E由mmmm00MAP准则(2/N0)lnp(s1)E1 /(2/N0)ln p(sM )EM /是（信号）相关最