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文档简介

1、 - 9 -三角函数的递推关系数列1、当三角函数在递推关系中出现时，一般无需求出具体的数列通项，二是通过构造使式子结构由三角函数形式变为整式形式，获得题干提供的形式，是解题思路明朗。在处理与三角函数有关的数列不等式问题时，则是通过第（1）问提供的不等式合理赋值或利用常见不等式、裂项放缩等，使式子达到待证的理想效果。2、若需求通项时，常需考虑三角函数的周期，分类讨论。3、在一些递推形式比较特殊的复杂数列中，可以考虑利用三角换元，将其简化。一、利用三角函数不等式放缩（1）证明：恒成立，此时，令，则，（金钰奇说这是循环论证，那下面用单位圆来证明一下）若，则，从右图来证明。在单位圆上作，则由得,即，由

2、于和都是偶函数，的情况不证自明。（2）证明：恒成立总结：观察发现（2）中的不等式利用三角函数中的特殊值点构造的。此类不等式在证明时较常采用函数求导。例题1、已知数列满足，求证：证明：由，知因为有不等式，所以当时，成立；当时，则累乘有综上：注：本题在解答时，先使用诱导公式将递推关系式转化为题目所提供的形式，即构造出的形式，然后利用不等式放缩解决问题。例题2、已知数列的通项公式为（1）求证：（2）设数列的前项和为，求证证明：（1）由题意知，因此.因为，当时取等号，所以 （2）由（1），因此由知，故综上：三角函数数列周期性问题例题3、已知数列满足求例题4、（鄞州中学2019-2020学年第二学期高三

3、期初考试）已知数列的前n项和为，且满足（1）证明：为常数列，并求（2）令求数列的前n项和分析：本题借用三角函数的周期性，考察奇偶数列解：（1）因为当时，得，即同除得，整理得，所以为常数列因为，所以则，所以（2）由（1）得所以则当时，当时，综上，.例题5、（2007浙江）已知数列an中的相邻两项是关于的方程的两个根，且（）求；（）求数列的前项和；（）记，求证：解：（）（）由（）知（）证明：，利用三角函数极值缩放例题6、已知数列中，.（1）求证：.（2）设为数列的前项和，求证：解：（1）由迭代函数可知单调递增趋于1而：于是（2）根据已知，有令，且数列的前项和为，则只需证明此时由已知条件变为因此利用三角换元解决部分复杂函数递推式例题7、已知数列中，.定义求；（2）求证： 设，带入得若，则，所以（2）例题8、设数列满足：，且，其中。（1）试判断数列的单调性，并说明理由；（2）设求数列的通项公式；（3）记数列的前项的和为证明：。（1），注意到又当时，故，单调递减（2）当时，注意到故代入得又由（1）知：当时，故，故因此数列是首项为，公比为的等比数列累乘得其中（3）由（2）知：其中。先证明：，其中

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