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1、平行四边形与面积的不解之缘 平行四边形作为一类特殊的四边形在平面几何中占据着举足轻重的地位，人们烂熟、并善用其边、角、对角线的各种性质，殊不知平行四边形与面积也有着十分亲密的联系，下面就随笔者去欣赏一番. 一、平行四边形的一条对角线把平行四边形分为两个面积相等的三角形 例1 如图1, 中，过对角线上一点作/, /.图中哪两个平行四边形面积相等?为什么?简析 由结论知，, 同理可得. 即图中共有三对面积相等的平行四边形，它们分别为与、与、与面积相等. 二、平行四边形的两条对角线把平行四边形分为四个面积相等的三角形. 例2 (2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛初一第一试)如图2，平行四边
2、形的面积是4,和分别是和的中点.与交于点与交于点.则四边形的面积是 . 简析 如图2，连接，易证四边形和四边形均为平行四边形，则由结论得所以四边形的面积. 三、连接平行四边形边上一点与其对边的两顶点, 把平行四边形分为三个三角形.则两边的两个三角形面积之和等于中间的一个三角形的面积, 均等于平行四边形面积的一半.即如图3有:. 证明非常简单，这里从略. 例3 (2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试)如图4,都是平行四边形，且是的中点，点在上，点在上. 的面积依次记为，则( ). A. B. C. D. 与大小关系不确定. 简析 由结论知.根据等底等高的三角形面积相等可知，故选
3、C. 四、平行四边形内一点与四个顶点连接，把平行四边形分为四个三角形，相对的两个三角形的面积和相等且等于平行四边形面积的一半.即如图5中有:成立.证明比较简单.这里从略.例4 如图6,以的三边为一边，在的同侧分别作,，且点共线，点共线.求证:. 证明 如图6,连接、，由结论三可得:,.根据结论四 得,所以，即.证毕. 五、连接平行四边形一条对角线上所在的直线上一点与另一对角线的两端点，两条连线、对角线所在直线、两组临边所构成的两组三角形面积分别相等.即如图7中，点是的对角线所在的直线上一点，则.结论根据同底等高的三角形面积相等可证，具体证明过程从略.例5 (2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试)如图8，点是平行四边形的对角线的延长线上的一点，且,是的中点，交于点，若平行四边形的面积是20，则的面积是 ，的面积是 . 简析 由结论一知的面积是平行四边形的面积的一半为10.因为，再根据同高三角形的面积比等于底边的比，则得的面积是5.如图8连接，由结论五知的面积是5，此时只需求出线段与的比即可解决问题.如图8过点作/交于点，从而可知是的中位线，所以，又已知，从而得.再由/得，又，所以，所以的面积=的面积=.以上笔者给出五个平行性四边形与面积有关的结论及
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