2011线性代数试卷A标准答案和评分标准

1、各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有 华南农业大学期末考试试卷(A卷)考试科目：线性代数考试时间：120分钟年级专业2010-2011学年第2学期考试科目：线性代数考试时间：120分钟年级专业试类型：(闭卷)考试得分学号姓名题号一一二三四五总分得分评阅人一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母

2、填在题中括号内1.设矩阵A,B,C能进行乘法运算，那么(B)成立AB=AC，A丰0,贝VB=C(B)AB=AC，A可逆，则B=C(C)A可逆，则AB=BA(D)AB=0,则有A=0,或B=02.2.设A为n(n2)阶矩阵，且A2=I，(A)A的行列式等于1(C)A的秩等于n其中I为单位阵(下同)，则必有(C)(B)A的逆矩阵等于I(D)A的特征值均为13设向量组a,a,a,a线性相关，则向量组中(A1234必有一个向量可以表为其余向量的线性组合必有两个向量可以表为其余向量的线性组合必有三个向量可以表为其余向量的线性组合每一个向量都可以表为其余向量的线性组合设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵

3、A的秩为r，则Ax=0有非零解的充分必要条件是(B)(A)r=n(B)rn(D)rn设A为n阶方阵，|A丰0，A*是A的伴随矩阵。贝V：A*|等于(C)1(A)IAI(B)(C)|a|”t(D)|A|n得分二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，满分20分)6.已知行列式2a21301-11=0，贝V数a=3.7.8.9.设向量组a=(k,1,1)t,a=(1,-2,1)t,a=(1,1,-2)t线性相关，则数k=-2.123设a=(-1,1,5,-3)t,卩=(-9,-2,3,-5)t，则a与0的距离为9，内积为37.设n阶实对称矩阵A的特征值分别为1,的数t取值范围是t2,n，则使tI-A

4、为正定矩阵-200_-100_10.设矩阵A和B相似，其中A=2x2，B=020_311_00y_n贝Vx=0y=-2得分三、计算题11.(满分8分)设矩阵212-61j02，B=_010，C=_221-20*002-42，计算A=21211-610100-2+220022042解答：BAt+C=60-6101_02+_22=_20404202BAT正确4分，AT计算正确2分,BAt+C2分12.(满分8分)计算行列式D=解：将D的各列全部加到第一列，得x11x12的值。ll2.nlx2.nD=(x+l+2+.+n)l2x.nl23.xl0001x-100=（x+警）11x-2.0lll.x-

5、n=宀)(x-1)(x-2).(x-n)（3分）2分）（3分）1一4一313.(满分7分)设A=1-5-3,求A-i.-1641-4-31001-4-3100_解：(AI)=1-53010L-1640011-4-3100_0-10-110L02110110-35-40_0101-10L001-121100223_0101-10）4分）所以A-1=1-101分）L-1211.5CM用公式法酌情给步骤分1.5CM得分四、解答题（满分10分）已知方程组X+兀2+aXg=-1X兀2+2X3=1-X+ax2+x3=a2有无穷多解，求a以及方程组的通解。解法一：由方程组有无穷多解

6、，得R（A）二R（A1b）3，因此其系数行列式11aIA|=1-12=0-1a1即a=-1或a二4。(3分)当a=-1时，该方程组的增广矩阵110-1211-1-101-302(AIb)=1-12-1T0000I1-111丿V丿于是R(A)=R(AIb)=23，方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个厂-13JT基础解系I22丿，原方程组的一个特解(-100，故a=-1时，方程组有无穷多解，其通解为(-1(-10。+k冷|寸4分)r114-1、r114(AIb)=1-12-1T0-2-2V-14116丿V000当a=4时增广矩阵-1、0r11ar11a-1r11a(AIb)=1-12-1T0-

7、22-aV-1a1a2丿V0a+11+aR(A)=2R(A1b)=3，此时方程组无解。(3分)解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。r-111a-10T0-22-a0a2-1丿0V0丄(1+a)(4-a)2a2-1丿(1+(1+a)(4a)=a21=0由于该方程组有无穷多解，得R（A）=R（A1b）3。因此2即a=-1。求通解的方法与解法一相同。（满分10分）求向量组a=（0,4,10,1，a=（4,8,18,7）T，a=（10,18,40,17）T，a=（1,7,17,3力1234的一个最大无关组，且将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示出来(04101(171731018

8、103410184017205051r17173、r17173、r1717vr3410184017205051r17173、r17173、r1717vr3、041010410101101A041010000440000、04101v0000丿v丿v丿V0000丿175213070100103丿v1的一个最大无关组.13丿1I1-25200541400丿为向量组a115a=-a+a32122,a,a,a2346分）2分）512分）a=a+a2分）44142（满分6分）A,B为4阶方阵,AB+2B=0,矩阵B的秩为2且|I+A|=|2/-A|=0。（1）求矩阵A的特征值；（2）A是否可相似对角化？

9、说明原因。（3）求|A+3I|。解：（1）由I+A=|2IA=0知-1，2为A的特征值。AB+2B=0=（a+21=B，故-2为A的特征值，又B的秩为2，即特征值-2有两个线性无关的特征向量，故A的特征值为-1，2，-2，-2O（2分）（建议只求出-1，2也给2分）各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方

10、案手册，应有尽有各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有（2）能相似对角化。因为对应于特征值-1，2各有一个特征向量，对应于特征值-2有两个线性无关的特征向量，所以A有四个线性无关的特征向量，故A可相似对角化。（2分）（3）A+31的特征值为2，5，1，1。故|A+3I|=10。（2分）（满分10分）求一个正交变换，化二次型f二x2+4x2+4x24xx+4xx8xx123121323为标准型。24丿首先求A的特征根和特征向量=X（X5）=0解：设：A=/1224丿首先求A的特征根和特征向量=X（X5）=0解：设：A=/12，贝y：f=x，TAx令：Xe二得：X=0时:1（A0E）=得基础解系1221丿。单位化：，x2x=012即：p1=X=5时：（A5E）=2即：2x+x12取：x=22贝