(完整版)高考数学解题思想方法数学归纳法

1、用心用心爱心专心- -2(k+1)2+v(k+1)(k+2)=+(k+1)2+vk2+3k+22(k+1)2+(k+3)=2(k+2)2,11所以(k+1)(k+2)a(k+2)2，即n=k+1时不等式也成立。2k211综上所述，对所有的nWN,不等式n(n+1)a1+2+3+n11111+n=n(n+1)；由x.n(n+1)n+可得，a1+2+3n+Xn=n(n+1)+n22n2221111=77(n2+2n)(n+1)2。所以n(n+1)a(n+1)2。222n2n(a+a)例3.设数列a的前n项和为S，若对于所有的自然数n,都有S=匕n，证nnn明a是等差数列。(94年全国文)n【分析】

2、要证明a是等差数列，可以证明其通项符合等差数列的通项公式的形式，即n证：a严1i-Dd。命题与“有关，考虑是否可以用数学归纳法进行证明。【解】设a2a1=d，猜测an=a1+(n1)d当n=1当n=1时，an=a1，当尸1时猜测正确。当n=2时，a1+(2-1)d=a1+d=a2，当n=2时猜测正确。假设当n=k(k22)时，猜测正确，即：a=a+(k-1)d，k1(k+1)(a+a)k(a+a)当n=k+1时，a=SS=1屮匕，a1+(kT)d代入上式，得到2aka1+(kT)d代入上式，得到2ak+1=(k+1)(a1+ak+1)_2ka厂k(kT)d，整理得(k1)ak+1=(k1)a1

3、+k(k1)d,因为&2,所以ak因为&2,所以ak+1=a1+kd，即n=k+1时猜测正确。用心A爱心综上所述，对所有的自然数n,都有a=a+(nl)d,从而a是等差数列。n1n【注】将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数n成立的问题。在证明n(a+a)过程中a的得出是本题解答的关键，利用了已知的等式S=、数列中通项与前TOC o 1-5 h zk+1n2n项和的关系a=SS建立含a的方程，代入假设成立的式子a=a+(kl)d解k+1k+1kk+1k1出来a。另外本题注意的一点是不能忽视验证n=1、n=2的正确性，用数学归纳法证明时k+1递推的基础是n=2时等式成立，因为由(k1

4、)a=(k1)a+k(k1)d得到a=a+kdk+11k+11的条件是k2o【另解】可证aa=aa对于任意n22都成立：当n22时，a=SSn+1nnn-1n(a+a)(n-1)(a+a)=2n2i；同理有innn-1(n+1)(a+a)a=SS=1nnn-1(n+1)(a+a)a=SS=1n+1n+1n2)/、(n-1)(a+a)n(a+a)+1宀，整理1n2求a2和a3；猜测a，并用数学归纳法证明你的猜测。n&设f(logx)=a(x21),求f(x)的定义域；在y=f(x)的图像上是否存在两ax(a2-1)个不同点，使经过这两点的直线与x轴平行？证明你的结论。.求证：f(n)n(nl且n

5、GN)1n;从而aa=J2n+1n2得aa=aa，从而a是等差数列。n+1nnn-1n一般地，在数列问题中含有a与S时，我们可以考虑运用a=SS的关系，并注nnnnn-1意只对n2时关系成立，象已知数列的S求a类型题应用此关系最多。nn皿、巩固性题组：1.用数学归纳法证明：62n-1+1(nGN)能被7整除。2.用数学归纳法证明：1X4+2X7+3X10n(3n+1)=n(n+1)234567(nN)。3.nN，试比较2n与(n+1)2的大小，并用证明你的结论。4.用数学归纳法证明等式：cos-coscoscos=sinx(81年222232n2nsin2n全国高考)5.用数学归纳法证明：|sinnx|Wn|sinx|(nWN)。(85年广东高考)6.数列a的通项公式a=一*1一(nN)，设f(n)=(1a)(1a)(1a)，nn(n+1)212n试求f(1)、f(