比较二次根式大小的巧妙方法

1、比较二次根式大小的巧妙方法（总10页）比较二次根式大小的巧妙方法二次根式是初中数学中的基础知识，也是初中数学学习中的重点内容；而比较二次根式的大 小又是二次根式知识中的难点，也是中考和数学竞赛中常见的题型，经常会考到不查表、不求二 次根式的值，来比较几个不含分母的二次根式的大小的问题。尽管教材上介绍了比较二次根式大 小的几种基本方法，如求近似值法、比较被开方数法等，尽管很多教辅材料中也总结了不少诸如 “作差”、“做商”、“有理化”、“取倒数”、“平方”等方法，但许多学生在考试中仍显得 力不从心，并不清楚到底什么时候用哪种方法最合适？解答这类题目时缺少方法与对策，以至于 无从下手。下面就举例介绍

2、几种比较二次根式大小的有效方法。一、移动因式法此法好学，适用。就是将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。例1：比较而与-成防 的大小。解：-5面=-屋总-屈-615 = * 工15 =-540-庭-位.5 2应二、运用平方法两边同时平方，转化为比较幂的大小。此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就 大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。例2 :比较+媚+3-由与后E的大小。解：.J3+ 应+ 】3-龙 72+1四、分子有理化法此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。例4 :比较 *也与 2J5 的大小 TOC o 1-5 h z 摹-面 _1_1解:. 3也

3、 一3据（2很+亦广6媚十新豆二6而十床3/2-7n_1_1_123 - 2&诵十 局 口后&用十很04漆-面 3也-而.戒 灌五、求差或求商法求差法的基本思路是：设八&为任意两个实数，先求出席与石的差，再根据“当山70时，就力；当企一占二时,0时，就力；当企一占二时,度二占；当皿h 0时就 石”来比较就与力的大小。求商法的基本思路是：设八右为任意两个实数，先求出*与占的商，再根据“八为同号：保保保当舌1时，* 占；舌二1时，皿二石； 1时，就 石。*也异号：正数大于负数”来比较就与的大小。7?厢成2 一眨例5 :比较书 龙的大小。/6-75 _ 2-2 _ （旅 _擂）妪_（2_很醇解：.书

4、 很扼例6 ：比较流与诚的大小。六、求倒数法先求两数的倒数，而后再进行比较。例7 :比较也而-出碗与如城-插而的大小解.也g M =也丽+插瓦V2008 -V2007 - J2008+V20077+2008 72008+2007扁七、运用媒介法此法是借助中间量（定量或变量）巧妙转换达到直观比较的方法，类似于解方程中的换元 法。例8:已知=构卯654物必87654孙，眼g第&5432*9第&54322，试比较A场的大小。解：设馈654321,则&项心+3） =&+项工,日二 J3 + D3 + 2） = & +以+2+* 营+3工+2,.Jb+互 JJ+2，即 AB八、设特定值法如果要比较的二次

5、根式中含有字母，为了快速比较，解答时可在许可的条件下设定特殊值来 进行比较。例9 ：比较Jm -石（公与击+ 2 -g+i （以河）的大小 解：设g ,则：Jh+1 -也二 1 击 + 2 - 二很一 1,九、局部缩放法如果要比较的二次根式一眼看不出有什么特点，又不准求近似值，可采取局部缩放法，以确 定它们的取值范围，从而达到比较大小的目的。例10 :比较2而与4+ 2丕的大小。解：设皿=2应，由= 4 + 2旅.2足=厄,7妊 8，艮口 7就 84 + 2思= 4+Vf, 84+Vf9,即 8b9*、即 2Vi 小&-屁7 3m。，口0）”，利用此结论也可以比较一些二次根式的大小（结论证明见

6、文末）。例12 :比较1与后-招的大小。解：.1 = 5-4=妨-依，由Ju+g - Jb + u (就 b H 0 , u 0)可知： 而-行 必 + 2 - J1& + 2即屈_而77-面又.后-面局而.样*际-而，即1扃而总的来说，比较二次根式大小的方法不仅仅局限于以上十种，除此之外诸如移项、拆项法， 类比推理法，数形结合法，数轴法，还有假设推理法等等，但不管使用哪种方法，都必须在掌握 二次根式的基本性质和运算法则上进行，要根据问题的特征，二次根式的结构特点，多角度地探 索思考，做到具体问题具体分析，针对不同问题采取不同的策略，另外还应多做这方面的训练， 方能达到熟练而又快捷，运用自如的

7、程度。附.成顶附.成顶 JTd 3 方丑0,0)”的证明。_ a b-ja -be 十 0 十口-ja -be 十 0 十口,aha-h有+也 皿+c +整+u.扁项 血+。-4 (就b 立 ， 口 0)【典题新练】：1、比较2上与3的大小；2、比较2 +思与占+ M的大小;3、比较的-上与右-成的大小;4、比较确-炳与I疗-而的大小；5、比较涌与2很的大小；6、比较山+ 2-J#+1与也+ 1-&的大小（其中珂为正整数）-7、设招=/弭艺U4孙，号J54323活花22，试比较它们的大小；8、比较而与际+占的大小；9、比较而+2与47-2的大小；10、比较应-应与应-面的大小；11、比较 20

8、08 - 72007 与 J2Q07 - J2QQ6 的大小；12、比较2而与3 +诚的大小；十十_+_十_13、比较思毒也把与芯的大小；14、比较出+必+】3 与而的大小；15、若淤为正整数，试比较橇-沸与蛔准一 2QQ9的大小；16、比较73-1-3-75的大小；17、比较桓+后+ 2面与论的大小。【典题新练参考答案:1、提示上=厄，3也=面2、提示：平方后再进行比较。0+ 擂）5 + 475= 9+ 应 （容+ 艰V = 9 + 仲=9+ -屈 ,. 2+右 +*3、提示：可利用也-,/山+口-TT+7（*，0）。$_ 后 J5 + 2 - J3 + 2，即方 _捐由_成4、提示：分母有

9、理化后再进行比较。而-扼=仿+的，龙=占+志，斤+万+而,后北 2龙或+右）.戒或十脂 如g 十妗 ,孑-赃 贿-相 即戒 十1）二&十云十2了 + 衣妒 +3x+2U+3x+2A 尽，.8 + 2扼8+7.侦i）LM+府.而方+上 ,9、 提示：.2 川 3, 7 8,.痼+ 2 5 2 ,.痼+ 2 757- 210、提示：分子有理化后再进行比较。2_2因为厄-厄二；BF,斤-而二切而，而命+如面+而22所以十屈 面十面，故屈-屈 而-面11、提示：分别求其倒数后，再进行比较。一）= 7008 + J2007= J2007 +J2006.+7 .K-雨 顽-、顽 ,12、提示：.好=依，而7妊8,.2后的整数部分为7。同样可得 乂击12的整数部分为8,.2后 3+2,I11111111_5_13、提示：*克*3 +石,节,+富+茂*苫+由=孑1111. Fmpw14、提示：平方后再比较大小。（3 +名心-妁 =6+22 = 10 （加尸=1115、提示：由偶次根式的定义得20。8-部上0 ,.渔E 2008 20