比例 黄金分割 平行线分线段成比例定理

1、黄金分割及平行线分线段成比例、黄金分割黄金分割A BC如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AB AC ,那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点.AC与AB的比叫做黄金比.黄金比黄金比值的求法：AC _ BCA AB - AC因为 ABAC，且 bc=ABAC，所以 AB AC ，! AB解得AC= 2，或AC0.618AB，即得黄金比AB2 或0.6182 AB连接AD，在DA上截取DE求作黄金分割点2 AB连接AD，在DA上截取DE求已知线段AB的黄金分割点。方法一|：如图1、经过点B作BDXAB，且BD=2、=DB.3、在AB上截取AC=AE，所以点C是线段

2、AB的黄金分割点.v 5.否-13 - 、耳理由：设 AB=1，则 BD = 1/2,AD= 2，AC= 2，BC= 2AC BC _ 5 -1所以AB AC 2 ，所以点C是线段AB的黄金分割点. 方法二I：如图1、在线段AB上作正方形ADCB2、取AD的中点E，连接EB.3、延长DA至F，使EF=EB. 4、以线段AF为边作正方形AFGH. 所以点H是线段AB的黄金分割点.理由：设 AB=1，1则 ae=理由：设 AB=1，1则 ae= 2，BE = W EF5-1所以 2 一AF =2=ah，3 f 5bh= 2AH _ HB _ 5 -1所以AB AH 2 ，所以点H是线段AB的黄金分

3、割点. TOC o 1-5 h z 方法三：如图/、1、以AB为腰作等腰ABD，使ZA=362、作ZADB的角平分线交AB于点CA 匕LA B所以，点C是线段AB的黄金分割点.C理由：作图的理由在本章学完就知道，对这一基本图形我们将会非常熟悉，此等腰三角形叫 做黄金三角形ABBC，那么AC是AB与BC的比例中项如果点C是线段AB的黄金分割点，ACBC，且AB=2，则AC=* 1其中正确的判断有()A.1个B.2个C.3个D.4个2、已知P为线段AB的黄金分割点，且APVPB，则()A、AP2 = AB - PB ； b、AB2 = AP - PB ； C、PB2 = AP - AB ； d、A

4、P2 + BP2 = AB23、.已知点M将线段AB黄金分割(AMBM)，则下列各式中不正确的是() TOC o 1-5 h z v5 -15 -1A.AM : BM=AB : AMB.AM=ABC.BM=ABD.AMF618AB22A.1个B.2个C.3个D.4个4、已知P、Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB=10cm，则PQ长为（）A、5（侦5 -1） B、5（5 +1） C、10（.；5-2） D、5（3 -、M）三、好好想一想1、已知点1、已知点C是线段AB的黄金分割点AC= 5否-5 ,且AOBC，求线段AB与BC的长。3、A E F B23、A E F B20.618，那么这个矩

5、2、E、F为线段AB的黄金分割点，已知AB = 10 cm，求EF的长度.AB 5-1 如果一个矩形ABCD（ABVBC）中，不 =.BC 2形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感.在黄金矩形ABCD内作正方形 CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图1），请问矩形ABFE是否是黄金矩形? 请说明你的结论的正确性.二、平行线分线段成比例知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论平行线分线段成比例定理如下图，如果/ / z / I，则竺=EF , AB =匹,AB =竺.123 AC DF AC DF DE DF平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC，则AD =竺=竺AB AC B

6、C3.平行的判定定理：如上图，如果有AD =荣=竺，那么DE BC。AB AC BC专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 【例1】如图，DE BC，且DB = AE，若AB = 5，AC = 10，求AE的长。【例2】如图，已知 AB / / EF /CD，若 AB = a，CD = b，EF = c，求证：1 = - + 1. cab【巩固】如图，AB BD， CD 1BD，垂足分别为B、D， AC和BD相交于点E，EF1BD，垂足为F .证明：上+ = -1 .AB CD EF【巩固】如图，找出s 、S 、S 之间的关系，并证明你的结论.AABDABEDABCD【例3】如

7、图，在梯形ABCD中，AB CD， AB = 12，CD = 9，过对角线交点O作EF CD 交 AD，BC于 E，F，求 EF 的长。【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD中，AD BC，AD = a，BC = b，E，F分别是AD，BC的中点，AF交BE于P，CE交DF于Q，求PQ的长。专题二、定理及推论与中点有关的问题【例4】（2007年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在AABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，且AE =1AB，4连接EM并延长，交BC的延长线于D，则匹=.CD（2）如图（2），已知AABC 中，AE: EB = 1:3，BD: DC = 2:1，AD

8、 与 CE 相交于 F，的值为（）EF AF的值为（）+FC FD TOC o 1-5 h z 53A. 5 B.1C. 322【例5】（2001年河北省中考试题）如图，在AABC中，D为BC边的中点，E为 AC边上的任意一点，BE交AD于点O .（1）当竺=-时，求A0的值。（2）当竺=1、-时，求A0的值;AC 2 ADAC 3 4 AD（3）试猜想竺=上时业的值，并证明你的猜想.AC n +1 AD【例6】（2003年湖北恩施中考题）如图，AD是AABC的中线，点E在aD上，F是BE延长线与AC的交点.：0（1）如果E是AD的中点，求证：生=1 ;技 L 、FC 2b D C（2）由（1

9、）知，当E是AD中点时，生=-.竺成立，若E是AD上任意一点 FC 2 ED（E与A、D不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立， 请说明理由.【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知AABC中，AD是BC边上的中线，E是AD 上的一点，且BE = AC，延长BE交AC于F。求证：AF = EF。【例7】（宁德市中考题）如图，AABC中，d为BC边的中点，延长AD至E，延长AB交CE的延长线于p。若AD = 2DE，求证：AP = 3AB。【巩固】（济南市中考题；安徽省中考题）如图，阪BC中，BC = a，若D1, E1分别是AB，AC的中点，则DS2a 别是AB，AC的中点，则D

10、S2a ；2211若D、E分别是D B、E C的中点，- a则V DE = - - a + a- a则V DE = - - a + a = -a ；3 3 2 4) 8【例8】如图，在四边形【例8】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线l平行于BD，且与AB、DC、 BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P .求证：PM - PN = PR - PS【巩固】已知，如图，四边形ABCD，两组对边延长后交于E、F，对角线BD EF， AC的延长线交EF于G .求证：EG = GF .【例9】已知：P为AABC的中位线MN上任意一点，BP、CP的延长线分别交对 边AC、A

11、B于D、E，求证：AD + 竺 =1DC EB【例10】在AABC中，底边BC上的两点E、F把BC三等分，BM是AC上的中线，AE、AF分别交BM于G、H两点，求证：BG: GH : HM = 5:3: 2【例11】如图，M、N为 AABC边BC上的两点，且满足BM = MN = NC，一条 平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F .求证：EF = 3DE .【例12】已知：如图，在梯形ABCD中，AB /CD，M是AB的中点，分别连接AC、BD、MD、MC，且AC与MD交于点E，DB与MC交于F .（1）求证：EF /CD（2）若 AB = a , CD = b，求 EF 的长 【巩固】如图，在梯形ABCD中，AD BC，AD = 3，BC = 9，AB = 6 , CD = 4，若EF BC，且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，求EF的长。【例13】 （山东省竞赛题）如图，YABCD的对角线相交于点O，在AB的延 长线上任取一点E，连接OE交BC于点F，若AB = a，AD = c，BE = b，求BF的值。【例14】已知等腰直角AABC中，E、D分别为直角边BC、AC上的点，且CE = CD，过E、D分别作AE的垂线，交斜边AB于L，K .求证：BL = LK