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1、一道平面几何试题的解法探究 题目 有一ABC,D为边BC的中点,DM平分ADB交AB于点M,DN平分ADC交AC于点N,则BMCN与MN的大小关系为( ) (A)BMCNMN (B)BMCNMN (C)BMCNMN (D)不能确定 此题小巧灵活,于平淡中见新奇,是一道非常基础同时有显著特色的的小题;同时此题解法多样,是一道能区分考生思维品质的好题 思路1 考虑到DM,DN分别平分ADB和ADC,且BDCD,若把BDM与CDN分别沿DM,DN对折后,则点B,C落在AD上的同一位置,于是,可以把线段BM,CN和MN转化到同一三角形中,使问题得解 解法1 如图1,在AD上取点P,使DPBD,连PM,
2、PN,则 BDMPDM,BMPM 同理CNPN 又MPDLNPD BCMN,取BMCNMN,选A 思路2 考虑到DM,DN分别平分ADB和ADC,可得MDN90,即MDDN,从而可以利用等腰三角形“三线合一”的性质把线段BM,CN和MN转化到同一个三角形中,使问题得解 解法2 如图2,延长ND到E,使DNDE由已知可得 MDDN,MEMN 显然BDECDN,BECN 又ABCDBEABCC ME, pp BMCN MN,逸A思路3 由已知可证朋BC,于是可以利用平行线分线段成比例定理计算线段长,进而比较所求线段的大小关系 说明解法3用到三角形中线长定理,即在ABC中,AD是中线,则AD 这一结
3、论在计算线段长时经常用到 此题是一道选择题,若按照解答选择题的原则,似乎没有必要再进行深究,但是对这道题进行深入探究,有助于我们掌握平面几何中“比较两条线段长度之和ab与另一条线段长c的大小关系”这一基本问题的解题思路和方法 解答这类问题,可以采取“合二为一”的策略,即把“两条线段之和ab”转化为另一条线段d,使问题转化为比较c,d的大小;也可以采取“一分为二”的策略,把线段c分为两条线段a,b之和,再比较ab与ab的大小;还可以分别计算出ab与c的值,再比较所得两数的大小,我们看到,从不同的角度入手,殊途同归,都可以圆满解决问题同时也提示我们,解题时“勿以题小而不为”,要有针对性地通过观察、类比、联想等,进行一题多解的训练,在多解中求简,在修正中优化,就能使解题能力的提高落在实处 本题是否还有其他的简单解法,期待大家继续探究,当然,解答完此题,一个自然的想法是,如果把题设条件“ABC的中线AD”换成角平分线或者高,结论又如何?我们提出下面的问题,供大家思考: 思考1 有一ABC,AD平分BAC交BC于点D,DM平分ADB交AB于点M,DN平分ADC交AC于点N,则BMCN与MN的大小关系为( )
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