含参量积分课件

1、1. 含参量正常积分 2. 含参量反常积分3. 欧拉公式 第十九章 含参量积分下回停 级数与积分是构造函数的两个重要分析工具我们已经介绍了一种利用定积分构造的函数积分上限的函数。 本章介绍另一种利用Riemann积分与广义积分构造的函数含参变量的积分与含参变量的广义积分，并研究它们的分析性质：连续性、可微性、可积性。 对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分，它可用来构造新的非初等函数。一、含参量正常积分的定义设是定义在矩形区域上的 定义在上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 在上可积, 则其积分值 是定义在 上的函数.一般地, 设 为定义在区域二元函数.当 x取上的定值

2、时,函数 是上的二元函数, 其中c (x), d (x)为定义在上的连续函数(图19-1), 若对于上每一固定的 x 值, 作为 y 的函 数在闭区间 上可积, 则其积分值 是定义在 上的函数.用积分形式 (1) 和 (2) 所定义的这函数 与通称为定义在 上的含参量 x 的(正常)积分, 或简称为含参量积分. 二、含参量正常积分的连续性定理19.1 () 若二元函数在矩 形区域 上连续, 则函数在 a , b上连续.证 设 对充分小的(若 x 为区间的端点, 则仅考虑 ), 于是 由于 在有界闭区域 R上连续, 从而一致连续, 即对任意总存在对R内任意两点 只要就有 所以由(3), (4)可

3、得, 即 I (x) 在 上连续.同理可证: 若在矩形区域 R上连续,则含参 量 的积分 在c ,d 上连续.注1 对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式: 若在矩形区域 R 上连续,则对任何 都有 这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数,其极限运算与积分运算的顺序是可以交换的.为任意区间. 注2 由于连续性是局部性质, 定理19.1中条件定理19.2 () 若二元函数在区 域上连续, 其 中c(x), d(x)为 上的连续函数, 则函数 在上连续.证 对积分(6)用换元积分法, 令 当 y 在c(x)与d(x)之间取值时, t 在 0, 1 上取值, 且 所以从(6)式可得 由于被积函

4、数 在矩形区域 上连续, 由定理19.1得积分 (6)所确定的函数 F(x) 在a, b连续. 三、含参量正常积分的可微性定理19.3 () 若函数 与其偏导 数都在矩形区域 上连续, 则函数 在上可微, 且证 对于 内任意一点x, 设(若 x为 区间的端点, 则讨论单侧函数), 则 由微分学的拉格朗日中值定理及 在有界闭 域 R上连续(从而一致连续),对 只要 就有这就证明了对一切 有由 x 的任意性，及定理 19.1知I ( x ) 在 a, b有连续的导函数. 在定理的条件下,求导和求积分可交换次序,也说可在积分号下求导数故 I ( x ) 在 x 可导，且上连续, c(x), d(x)

5、为定义在上 定理19.4 (的可微性) 设在 其值含于 p, q内的可微函数, 则函数在上可微, 且证 把 F(x) 看作复合函数: 由复合函数求导法则及变动上限积分的性质, 有 注 由于可微性也是局部性质, 定理19.3 中条件 f 与 其中 为任意区间. 例 设 求解四、含参量正常积分的可积性由定理19.1与定理19.2推得:定理19.5 () 若在矩形区域 上连续,则 I (x)与 J (x)分别在和上可积. 这就是说: 在连续性假设下, 同时存在两个求积顺序不同的积分: 与 为书写简便起见, 今后将上述两个积分写作 与 前者表示先对 y 求积然后对 x 求积, 后者则表示求积顺序相反.

6、 它们统称为累次积分.在连续性假设下,累次积分与求积顺序无关.定理19.6 若在矩形区域上 连续, 则 证 记 其中对于 则有因为 与都在R上连续, 由 定理19.3, 故得 因此对一切 有 当 时, 即得取 就得到所要证明的(8)式.解 记由于 五、例 题 例1 求 都是 a 和 x 的连续函数, 由定理19.2 已知I (a) 在 处连续, 所以 例2 讨论函数的连续性.解 易见的定义域为 令上连续, 因此上连续, 从 而在上连续. 由的任意性可得在上连续. 例3 计算积分解 令上满足定理19.3的条件, 于是 因为显然 且函数 在所以因而 另一方面 所以 解法 2因为所以分小时, 函数

7、(9) 的各阶导数存在，且 例4 设 在 的某个邻域内连续, 验证当|x|充解 由于(9)中被积函数 以及其偏导数 在原点的某个方邻域内连续, 于 是由定理 19.4 可得 同理如此继续下去，求得 k 阶导数为特别当 时有于是 附带说明:当 x = 0 时, 及其各导数为 例5 求解 因为又由于函数上满足定理19.6 的 条件, 所以交换积分顺序得到例6 设 求 解 显然, 本题不宜先求出 , 再算积分值. 可试 用交换积分次序的方法求出积分值.设 则 在上连续, 由定理19.6, 内容小结在a, b上连续、可积.若 上连续, 则函数在矩形区域 在c, d上连续、可积.且首页上连续, 则函数在

8、矩形区域 若 在a, b上可微，且.上连续, 则函数在矩形区域 若 在c, d上可微，且首页复习思考题1. 参照定理12.1的证明, 定理12.1中条件是否可减 弱为: (1)则 (2)验证你的结论.2.若 在上一致连续 ,能否推得在上一致连续?首页一、一致收敛性及其判别法二、含参量反常积分的性质2 含参量反常积分本节研究形如的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积性。下面只对无穷限积分讨论，无界函数的情况可类似处理。含参量无界函数非正常积分设在上有定义. 若对 x 的某些值，y = d 为函数的瑕点，则称为含参量 x 的无界函数反常积分，或简称为含参量反常积分.首页一、一致收敛性及其判别法都

9、收敛，由反常积分收敛的定义，即其中 N 与 x 有关. 如果存在一个与无关的使得该不等式成立，就称反常积分在区间 a, b 上一致收敛设反常积分在 a, b 收敛使得所以上述定义中的不等式由于也可表示为首页设含量反常分析要证：例1.首页证:令 u = x y , 得其中 A 0. 由于收敛，故就有取 则当首页所以一致收敛.首页从而对一切有，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法例2证明: 用反证法.关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致收敛之间的联系有下述定理.证因为，有并且反常积分收敛所以例3狄利克雷判别法设 存在 M 0, 对一切 N c , 及一切 x a, b 都有 对每一个固定的 x a

10、, b ，函数 g ( x, y ) 关于 y 单调递减且当时，对参量 x , g ( x, y ) 一致地收敛于 0 ，则在 a, b 上一致收敛.首页阿贝尔判别法设 对每一个固定的 x a, b ，函数 g ( x, y ) 为 y 的单调函数，且存在 M 0, 使得则在 a, b 上一致收敛. 在 a, b 上一致收敛.首页收敛，证因为，反常积分从而对于参量 y 它在 0, d 上一致收敛，函数对每个 y 0, d ，关于变量 x 单调减少，且 g (x,y)一致有界,即：故由阿贝尔判别法，知在 0, d 上一致收敛例 4首页二、含参量反常积分的性质定理 19.9（连续性） 设在连续，若

11、首页证:因为由定理19.8，对任一递增且趋于的数列函数项级数在在 a, b 上一致收敛.又由于连续，故每个 un( x ) 都在 a, b 上连续.根据函数项级数的连续性定理，函数首页注: 此定理表明, 在一致收敛的条件下极限运 算与积分运算可以交换顺序:首页定理 19.10注: 最后结果表明在定理条件下，求导运算和 积分运算可以交换顺序.（可积性）定理11.19首页积分与中有一个收敛，则另一个积分也收敛，且例5 计算所以有例6解：在例5中令b=0,则有例7解:考察含参量反常积分综合上面的结果, 由定理19.10得于是有3 欧拉积分 在本节中我们将讨论由含参量反常积分 定义的两个很重要的非初等

12、函数 一、函数函数二、函数和 函数. 三、函数与函数之间的关系 一 函 数 含参量积分：称为格马函数. 函数可以写成如下两个积分之和： 其中时是正常积分,当时是收敛 的无界函数反常积分(可用柯西判别法推得); 时是收敛的无穷限反常积分(也可用柯西 判别法推得). 所以含参量积分(1)在时收敛, 即函数的定义域为 . 1. 在定义域 内连续且有任意阶导数 在任何闭区间 上, 对于函数 当 时有 由于 收 敛, 从而 在 上也一致收敛,对于 当 上连续.用上述相同的方法考察积分它在任何区间 上一致收敛. 于是由定理 19.10得到 在 上可导, 由a, b的任意性, 时, 有由于 在收敛,从而 在

13、上也一致收敛, 于是 同理可证 2. 递推公式 对下述积分应用分部积分法, 有 在 上可导, 且让就得到 的递推公式:设应用递推公式(3) n次 可以得到 公式(3)还指出, 如果已知 在上的值, 那么在其他范围内的函数值可由它计算出来. 若s为正整数n+1,则(4)式可写成 3. 函数图象的讨论 对一切 ,恒大于0, 因此 的图形 位于轴上方, 且是向下凸的. 因为 所以 在 上存在唯一的极小点 故有由(5)式及 在上严格增可推得在内严格减;在 内严格增. 又由于 综上所述, 函数的图象如图19-2中 部分所示.4. 延拓 改写递推公式 (3) 为 当时, (6)式右端有意义, 于是可应用(

14、6)式 来定义左端函数 在内的值,并且可推知 这时 用同样的方法, 利用式又可定义 在 内的值, 而且这时 依此 下去可把 延拓到整个数轴(除了 以外),其图象如图19-2所示. 已在 内有定义这一事实, 由(6)5. 的其他形式在应用上, 也常以如下形式出现, 如令 则有 令 就有 二、B 函 数 含参量积分： 称为贝塔 (Beta) 函数 (或写作 B 函数). 注 与前讨论的单参变量的含参数积分不同,B 函数 是含两元的含参量积分，但讨论的步骤与方法是完 全类似的. B 函数(2)当 时, 是以 为瑕点的无界函数 反常积分; 当 时, 是以 为瑕点的无界函数 反常积分. 应用柯西判别法可

15、证得当 时 这两个无界函数反常积分都收敛. 所以函数 的定义域为 1. 在定义域 内连续 由于对任何 成立不等式 而积分收敛, 故由 M 判别法知 在上一致收敛. 因而推得 在内连续. 2. 对称 性 作变 换 得3. 递推公式 证 下面只证公式(8), 公式(9)可由对称性及公式(8) 推得, 而最后一个公式则可由公式(8), (9)推得. 当 时, 有移项并整理就得(8) .4. 的其他形 式 在应用中 B 函数也常常以如下形式出现: 如令 则有如令 则有考 察 令 则有所以 三、函数与函数之间的关系 当为正数时,反复应用 B 函数的递推公式,可得 又由于 所以 即 对任何正实数 p, q

16、 也有相同的关系: 这个关系式将在第二十一章8 中加以证明. 例1 求证证 令则再令 则复习思考题1.若是定义 在 的函数, 试定义含参量积 分 的一致收敛性.2. 若是定义 在 的函数,试推广含参量积分 一致收敛性的 M 判别法. 函数, 若含参量积分为一致收敛, 试证在 上连续. 3. 若是定义在的连续 小结绝对收敛12.1无穷积分第十二章 反常积分与含参量的积分例1 计算广义积分解例2 计算广义积分解证证12.2 瑕积分定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.例5 计算广义积分解证例7 计算广义积分解故原广义积分发散.例8 计算广义积分解瑕点无界函数的广义积分（瑕积分）无穷限的广义积分（注意：不能忽略内部的瑕点）小结思考