§31一维无限深势阱

1、 3.1 一维无限深势阱重占.3&八、势阱的意义，薛定谔方程的求解，阱内能量及波函数的特 征设质量为卩的粒子，局限在D范围内作一维运动。在些范围内粒子势能为零,以此范围外，势能为无穷大。foUJ(0 foUJ(0 A(3.1-1)(3.1-2)oo CT(x)=0 gx0a而在阱内部，由于 也对=0满足定态薛方程，即(3.1-3)或写作(3.1-4)其中(3.1-5)常系数二阶微分方程（3.1-4）的通解为其中(3.1-5)好=山叫抵斗）刈呂为待定常数，合并（3.1-2） , （3.1-6）式得Jo0乞a八町sin（+ S） W g（3.1-7）由于波涵数在势阱边界上发须为连续的条件，所以在=

2、0和上二门处, 即，（弹山=（3.1-8）（帕 z =0（3.1-9）这就是解方程（3.1-4）时需要用到的边界条件。由（3.1-8）式，则式（3.1-6）为= o卫不能为零，否则胃到处为零，这在物理上是没有意义的，所以必须5 = 0这样就有好（工）=虹 （0（?）再利用条件（3.1-9）得Ksm际3 - 0(3.1-6)艸:耳必须为零,(3.1-10)(3.1-6)艸:耳必须为零,(3.1-10)(3.1-11)（宀给出被函数 = 0无物理意义，而用取负数时给不出新的波函数）。将（3.1-11）式代入（3.1-5）式得到体系的能量萨时 泌沪粵 H = l? 2, -（3.1-12）2/22由

3、此可见，粒子束缚在势阱中时，能量只能取一系列分立的数值，即它的能量是量子化 的。将（3.1-11）式代入（3.1-10）式，并重写（3.1-7）式，我们就得到能量为的粒子说:匕说:匕(3.1-13)应用归一化条件J 帆0）1必二川J血竺曲二1 -oo0“（3.1-14）可求得貝二為这样，最后得到能量为晒的粒子的归一化波函数为(3.1-15)f d）(3.1-15)叫（為。=性门一维无限深势阱中粒子的定态波函数是叫（為。=性门(3.1-16)异-p-2?利用公式我们可以把定态波函数写成八 a（3.1-17）上式与弦振动的驻波函数形式相同。由此可见定态波函数皆心Q是由两个沿相反方向 传播的平面波迭

4、加而成的驻波。下面讨论几个问题，并与宏观粒子作比较。（1）束缚态和基态在时，波函数 = ，粒子被束缚于阱内，故通常把无穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚状态，一般来说，束缚态的能级是分立的。体系最低能量的态称为基态，在一维无限深势阱中的基态是壮=1的基本征态。这与经 典理论结果完全不同，经典理论认为粒子最低能量必须为零。（2）势阱内粒子能量量子化势阱内粒子能量迎乜的量子化，是由于边界条件应用于波函数后所导致的结果，与两端 固定的弦受边界条件影响而限制了它的频率的情况完全相似。相邻两能级的间隔込=m+込=m+i2严（当k较大时）(3.1-18)由此可见 込W 愈大，能级间隔愈大，能级分布是不

5、均匀的。当即当程很大时，能级可视为连续的。此外，由于舟是很小的常数,因此只有当卢口同舟有相近的数量级时，能量量子化才显示出来，如果卢是宏观物体的 质量，应也是宏观的距离，则能级的间隔Ai珥就非常小，因而几乎可以认为能级是连续的。以电子为例，其质量= 1x10-31千克，在 = 10米的势阱中运动，由（3.1-12）（3.1-18）式可分别算出这是完全可观测的，这时电子能量量子化明显表现出来。但是，如果电子在厘米这样一个宏观尺度中运动，则AEh s xO.VSxlQ-14 电子伏特能量间隔非常小，因而几乎可以认为能量是连续的了。粒子在阱中各处出现的几率下图画出了円=1, 2 ,工时的本征函数好粒子出现的几率密度快卩的分布图形。由 图可以看出，在基态时，在阱的中部= |附近找到粒子的机率最大，而在阱壁上找到粒 子的几率为零。当粒子处于激发态时，在势