有限元薄板弯曲问题分析

1、有限元讲义第4章弹性薄板弯曲问题的有限元法薄板弯曲问题在理论上和应用上都具有重要意义，并有专门著作加以论述（如杨耀乾平板理论）。象其它弹性力学问题一样，用微分方程、差分法等经典方 法所能求解的薄板问题很有限，一般只能解决等厚、小孔口、支承情况较简单的单跨板。故工程设计中以往多采用简化、近似、图表等方法来解决板的设计问题。在板的分析中，常取板的中面为xoy平面（如图）。平板结构按其厚度t与短边a的比值大小而分为：厚板（Thick plate）和薄板（Thin plate）两种。t .当 1时称为薄板a平板上所承受的荷载通常有两种1.面内拉压荷载应力问题。由面内拉压刚度承担2.垂直于板的法向荷载，

2、弯扭变形为主题。平板在垂直于板面的荷载作用下产生挠度，具有梁的受力特征，即常说的弯曲问W当最大挠度w远小于t时,称为小挠度问题（or刚性板）（stiffness plate）当最大挠度w与t相差不大时，称为大挠度问题（or柔性板）（flexure plate）（工程定义w . 175为刚性板;1 . w . L5I5为柔性板;为绝对柔性板。）4.1基本理论一、基本假定1、略去垂直于中面的法向应力。（Tz=0）,即以中面上沿Z方向的挠度W代表板白挠度）2、变形前垂直中面的任意直线，变形后仍保持为垂直中面的直线。（一法向假定%” , =0）3、板弯曲时，中面不产生应力。（一中面中T层假定）上述假定

3、常称为薄板小挠度问题假定（or柯克霍夫假定）。符合上述假定的平板即为刚性板。二、基本方法有限元讲义以上述假定为基础，板分析中常用挠度w作为基本未知量，下面介绍以 w为基本未知量所导出的有关方程。1、几何方程（应变一挠度关系）弹性曲面沿 x, y方向的倾角从中面取出一微小矩形ABCD,如图所示，设其边长为dx, dy ,变形后弯曲成曲面ABCD设A点挠度W,则沿x方向倾角（绕y轴）:W%二 （B 点绕度:W_,w dx)；x沿:W%二 （B 点绕度:W_,w dx)；x沿y方向倾角（绕x轴）I = (D 点绕度 w +dy).y: y沿x, y方向位移作平行于 xoz平面，设中面上点 A到Ai的

4、距离为Z,变形后 小点有挠度 W,同时发生弯曲，：w曲面沿x方向的倾角为 ，根据法线假定，则A1点沿x同理取yoz平面得:（负号为方向与（4-1-1）x相反同理取yoz平面得:（负号为方向与（4-1-1）x相反）Z平面的应变分量和曲、扭率基本假定，由于二 z 基本假定，由于二 z 二 . zx = . zy = 0故板内任意点的应变与平面问题相同:ux:v:y；xy:ux:v:y；xy-uLy x(4-1-2)有限元讲义此为Z平面的应变一挠度度几何方程。上式中的有限元讲义此为Z平面的应变一挠度度几何方程。上式中的三 * 2w 2 w72 ,2xcy2二 w为曲面在.x. yX,Y方向的曲、扭率

5、，记为:PM /= 7y7PM /= 7y7xy-/二22:y-2 c w . /二 y(4-1-3)2、物理方程（应力一挠度关系）由于忽略（T z对变形的影响，因此z平面的应力一应变关系具有与平面问 题相同的形式：将（4-1-2）代入得：Ez1 -Ez1 -,2Ez c2w1Fx.:y或简写为:二 ：=zD0 kx：(4-1-4)式中弹性矩阵3、内力方程（内力一挠度关系）从板内取微元体tdxdy,由其上正应力CTx ,。丫和剪应力Txy，有限元讲义可在截面上合成合力矩Mx（ y0z面上由产生的绕丫轴弯矩）M y（ x0z面上由仃y产生的绕X轴弯矩）扭矩：Mxy （由剪应力产生，如图）假定Mx

6、,M y,Mxy分别表示单位宽度上的内力矩。如是，内力矩阵:3.7.简写成1F=匚D0(4-1-5)12比较（4-1-4）比较（4-1-4）和（4-1-5）可得用内力矩表小的平板应力由此可见，平板上、下表面处的应力最大:以上是薄板弯曲问题中的基本公式且由于忽略了 以上是薄板弯曲问题中的基本公式且由于忽略了 z方向的变化，因此它只是x, y的函数：w=w（x, y ）。若w已知，则位移，内力、应力均可按上述相应公式求出。在经典解析法中，W（x, y）常设为三角级数形式。例如，四边简支矩形板的 W（x, y）设为：（纳维尔解）m 二 m 二 xn 二 ysinwx, y = AAmnSinm 1

7、n 1式中Amn为待定系数。假定荷载QO QOq x,y 八假定荷载QO QOq x,y 八qmnSinm 4 n Wmx.n 二ySin一 b有限元讲义则可得位移函数1 wx，y =D 二qmn2vn+b2.m-：x sina4.2 有限元讲义则可得位移函数1 wx，y =D 二qmn2vn+b2.m-：x sina4.2 有限元分析方法一、矩形单元的典型形式将图示矩形薄板沿x，y方向划分成若干小矩形（常取等分）从中取出一小矩形（单元），共有四个结点，此时不能象在平面问题中一样，将结点视为“钱，而是“刚性的”，即每个结点有三个位移分量： 挠度w，绕x、y轴转角挠度w，绕x轴转角 九 （上节为

8、沿 y方向倾角）、绕y轴转角8y （上节为沿 x方向倾角）即结点i的位移Wi同理，相应的结点力,fi值= + 30噂 o方2而5=33+12i + 30匕 Q304ab即=-21 + 6日- 30r+15院备=-8印+ 8产+ 20砂无9=一2砂+ 2#献+ 20小*10=-3&- 12/16+15 Dh2kn = 3a 3pa + 30 a3 21675捺一畤如尸2-2 + lW ku2a2-2a2+10b2A?15= 一36 + 3独 + 15 条 NM$= 3。+3四R + 15 瓦7=21+6从+ 1蜷-30院*18-2&2+ 2+20。2归 19= 8a1+8 fia1 + 20b2

9、 3b + 30岳21K一12。+10有限元讲义六、荷载等效变换由荷载等效变换的一般公式可得a bTJN(x, y) q x, y dxdy-a -b1 .法向均布荷载q 代入上述公式得：1LNN i Nxi NylN 2 Nx 2 Ny2N 3 Nx3 Ny3N 4 Nx 4 Ny4dxdy =jqab=q coco p col|00 叫(?0=4 11co p 产2.单元中心点受法向集中力 代入上述公式可得：Pbpja *82b七、位移边界条件对称、固定边和简支边上支点的已知位移条件如下：对称轴：法线转角=0固定边：挠度=0 （或已知值）边线转角=0 （或已知值）法线转角=0 （或已知值）

10、简支边：挠度=0 （或已知值）边线转角=0 （或已知值）自由边上节点的挠度、边线和法线转角均为特定参数，同内部节点一样。与11板较接的固定立柱，其节点挠度W有限元讲义=0 ,也可以是已知值。八、计算例题例题1:计算图示四边固定方板科=0.3 ,全板承受均布法方板的边长为l,厚度为t,弹性模型量为 巳 波松比 向荷载科=0.3 ,全板承受均布法单元划分：为了说明解题方法，采用最简单的网络2X2,即把方板分成四个矩形单元。由于对称性，只需计 算一个单元，例如，计算图中有阴影的单元，单元 的节点编号为1 , 2 , 3 , 4。l此时，单兀的 a, b是 a = b =一4计算节点荷载：由前面的均布

11、荷载计算公式得：ql2tR12 l -l 12 l l 12 -l l 12 -l -l T192边界条件：边界23和34为固定边，因此节点2, 3, 4 的挠度、边线和法线转角均为零。边 界12和14为对称轴，因此 9x1 =0、0 y1 =0。于是，在 4个节点和12个位移分量中只有一个待求的未知量 必 结构的代数方程组：这是一个单元的计算题目，单元刚度矩阵在此处即为总刚度矩阵。引入支承 条件后，在总刚度矩阵中只取第一行、列元素，在方程组右端项中只保留第一个元2素。于是结构的代数方程为：8咒k 1W1 =8D2(816%W1 =ql15l15l164Et3o同此解出w1 =0 00148

12、型一。其中D0 =119 =0.0915Et3D 012(1 -J2)内力：利用式(4-2-6)可求得方板中点力矩为：12有限元讲义0.00148- 5电1十 ）、 0.0462 火上十界）0.04621 - 0.00416 0,0355一 6曲 0,01071 *0400411 o。:。01 p0.00411 0.0107一61一 0.0355、1 - fJL 产) 1、0.0041)ql2由此得出薄板中心点（点1 ）和边界中点（点2和点4 ）的考矩 如下：MSl = Jtffl = 0.0462 金 12=Jlf v.h 0.0355q*以上就是用最简单的网格得出的位移和内力的近似解答.为

13、了得出更精确的结果，可将网格加密。在表7T中给出了 采用2x2, 4x4, 8X8网格时的计算结果。裹7-1单元数中心 挠 度中心考矩边界中点考矩2X20.0QH8 (谩差 17. 5络)0,0462(100)-0.0355(30.84X40. 00140 (11.1 甯)依口?双纯噫）0. 0476(7. 多)8X8,0. 00130 (3. 2再)0. 0240(3.9)-0. 0503(1. 95%)精确解0.001200.0231-0.G513因子加/5物由表看出，网格越密，计算结果越接近于精确答案。还可看出，位移的精度一般比 内力的精度高，这是因为在位移法中，位移是由基本方程直接求出

14、的，而内力则是根据位 移间接求出的。13有限元讲义4.3 薄板有限元程序设计、总框图根据弯曲板有限元分析方法的解题过程，可写出其总框图如下:II输入原始数据or CAI, ,1IIJi算等效结点力i1 1形成荷载列阵卜一iH形成单元1 i一 定位向量I-J1i1形成总刚H-H单刚 I解方程输出位移iI I1 几何矩阵BH弹性矩阵D计算单元内力等I1H卜面结合程序对框图中的内容加以说明。、子框图1、单元坐标结点编号及单刚形式。14有限元讲义为了取挠度向下为正，又能与前述坐标系统统一，特将前述坐标前翻180。(如图)为了能适用板的弹型性分析，程序采用了应力元和弯曲元的组合形式，即每个结点考虑5个位

15、移分量：U, V, W, 国,y ,前2个为平面应力问题的未知量 ，后3个为弯曲板的结点未 知量。当只作弹性分析时，平面应力元和弯曲元是非藕连的，即单刚的两个副块垣为 0,单刚的形式为：u1 v1“4 v4 w1(X1 0y4 w4(X4 %4平面应力元 I 0K e =(8X 8)1弯曲元0(12X12)程序中单刚数组为 DK(20, 20),子程序：Subroutine DG(A, B, E, T, U) 为其形成单刚的子程序。2、自动形成单元编号信息(单元信息数组：IB)。3、结点定位向量。4、形成荷载列向量。( a.结点力；b. 非结点力(只考虑均布力)5、总刚，Subroutine

16、ZG(M, N, LD, A, B, E, T,U)6、解方程。FJZG( ), HUD()7、算单元力。 Subroutine DYL()8、算等效结点力。9、弹性矩阵D。1 0、几何矩阵B。三、输入数据说明1、总信息。共11个(见程序)2、结点约束信息数组JBJB(I,1) i结点的结点号JB(I,2)i结点的约束分量号(15)结点约束信息应根据支承条件或对称条件决定，如算例中所给出的四边简支方板，承受满布均布力，此时可只取板的1/4作为分析对象，如下图只取右上角1/4板，采用6X6网络，则每个单元的边长为1米(A=0.5, 设结点编号如图示：在y=0的边界上(1-7结点)：挠度w=0(第3个分量)绕y轴转角0 y =0 (第5个分量) 同理，在平形于y轴的x=6m边界上：有限元讲义w=0, 收=0 （3,4 分量）在对称轴x=0边界上u=0,0 y =0在对称