高中数学复习题考点专题练习32二面角

1、第第 页(共22页)又 DO AC 0， OB 平面 ACD .又OB 平面ABC ,平面 ACD 平面ABC .(2)解：设点D , B到平面ACE的距离分别为hD , hE .则应-DE hE BEQ平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,1s gh3 sAeEglDhD DE%ace6e R3点E是BD的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.不妨取AB则 0(0 ,0, 0) , A(1 , 0,0) , C( 1, 0, 0),D(0 , 0, 1), B(0 , 则 0(0 ,0, 0) , A(1 , 0,0) , C( 1, 0, 0),D(0 , 0, 1), B(0 ,

2、 B0)，3 1E(0,T,2)-LULTAD (uur1,0,1), AE2, 0, 0).设平面ADE的法向量为r设平面ADE的法向量为r ULIT则 mgAD r uuu mgAEm(3j3,3).同理可得：平面ACE的法向量为rn (0,1,r r cos m,nr rmgn2.3.r . r.|m|n|. 同理可得：平面ACE的法向量为rn (0,1,r r cos m,nr rmgn2.3.r . r.|m|n|. 21 2面角D一 7AE C的余弦值为.12. (2016?浙江)如图，在三棱台 ABC DEF中，已知平面 BCFE平面ABC ,ACBBE EF FC 1 , BC

3、 2 , AC 3,(I )求证：BF 平面ACFD ;(n)求二面角 B AD F(n)求二面角 B AD F的余弦值.D F(I)证明：延长AD , BE , CF相交于点 K ,如图所示，Q平面BCFE 平面ABC , ACB 90 ,AC 平面 BCK , BF AC .又EF/BC, BE EF FC 1 , BC 2 ,BCK为等边三角形，且 F为CK的中点，则BF CK ,BF 平面 ACFD .(II)方法过点F(II)方法过点F作FQAK ,连接 BQ , Q BF 平面 ACFD .BF AK ,则 AK平面BQF ,BQ AK .BQF是二面角B AD F的平面角.在 R

4、t ACK 中，AC 3 , CK 2 ,可得 FQ 33 . 13在 Rt BQF 中，BF 73, FQ 封13 .可得：cos BQF 立.1343二面角B AD F的平面角的余弦值为 .4K ,则BCK为等边三角形,方法二：如图，延长 AD , BE K ,则BCK为等边三角形,取BC的中点，则取BC的中点，则KOBC ,又平面 BCFE 平面 ABC ,KO 平面BAC ,以点O为原点，分别以 OB , OK的方向为x , z的正方向，建立空间直角坐标系O xyz .可得：B(1 , 0, 0) , C( 1 , 0, 0) , K(0 ,0, 73) , A( 1 ,3，0)回,0

5、,务”2,0与.uuruurAC (0 ,3, 0) , AK(1,33),uuuAB (2,3, 0).设平面ACK的法向量为mm (xr .% , Zi),平面ABK的法向重为n (x2 , y2 , Z2),由uur rACgm 0uuur r ，口信AKgm 03y1 0为3y1取 m(点,0, i).uuu r TOC o 1-5 h z ABan 02x2 3y2 0r由 lur* 0 ,可得 ，取 % (3, 2,p).AK gn 0 x2 3y2 3 3z2 0r r cos m,nr r一r r cos m,nmgn3.r , ,r,|m|n|4面角B AD F面角B AD

6、F的余弦值为45 , AC 6 ,DEF5 , AC 6 ,DEF沿EF折(n )求二面角 B D A C的正弦值.口(2016?新课标H)如图，菱形 ABCD的对角线 AC与BD交于点O, AB5点E , F分别在AD , CD上，AE CF EF交于BD于点H ,将4到 D EF的位置，OD 10 .(I )证明：D H 平面ABCD ;(I)证明：Q ABCD是菱形，5AD DC ,又 AE CF , 4DEEADFFC贝U EF /AC ,又由ABCD是菱形，得 AC BD ,则EF BD ,EF DH ,贝U EF D H ,Q AC 6 ,AO 3 ,又 AB 5 , AO OB

7、,OB 4 ,AE一OH gDD 1 ,贝U DH D H 3 , AD222 一，_|OD | |OH | D H | ,则 D H OH ,又OH EF H ,D H 平面 ABCD ;(n)解：以h为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系,B(5, 0, 0) , C(1, 3, 0) , D(0 , 0, 3), A(1,3, 0)luuuuuuUHTAB (4,3,0), AD ( 1,3,3) , AC (0,6,0),uu设平面 ABD的一个法向量为 n1 (x,y,z),uu uur上n1qAB0,口4x 3y 0 用 /口由uu uuuu ，仔，取x 3,付y 4, zn1gA

8、D 0 x 3y 3z 0uun (3, 4,5).同理可求得平面 ADC的一个法向量n2 (3,0,1),设二面角二面角B D A C的平面角为uu uu|nign2 | | cos | -uuuu-|ni I|n2 I|3 3 5 1|5 2107.525面角BD A C的正弦值为sin2 -9525ABEF 为都是ABEF 为都是60 .(n)求二面角 E BC A的余弦值.(2016?新课标I )如图，在以 A, B, C, D, E, F为顶点的五面体中，面正方形，AF 2FD , AFD 90，且二面角D AF E与二面角C BE F(I )证明平面 ABEF 平面EFDC ;(I

9、)证明：QABEF为正方形，AF EF .Q AFD 90 , AF DF ,Q DF I EF F ,AF 平面 EFDC ,Q AF 平面 ABEF ,平面ABEF 平面EFDC ；(n)解：由 AF DF , AF EF ,可得 DFE为二面角 D AF E的平面角；由ABEF为正方形， AF 平面EFDC ,QBE EF ,BE 平面EFDC即有CE BE ,可得 CEF为二面角C BE F的平面角.可得 DFE CEF 60 .Q AB/EF , AB 平面 EFDC , EF 平面 EFDC ,第第22页（共22页）第第22页（共22页）AB/平面 EFDC ,Q平面EFDCQ平面

10、EFDC平面 ABCD CD , AB平面ABCD ,AB / /CD ,CD /EF ,四边形EFDC为等腰梯形.以E为原点，建立如图所示的坐标系，设 FD a ,则 E(0 ,0, 0) , 则 E(0 ,0, 0) , B(0 ,uurEB (0 , 2a , 0),设平面BEC的法向量为2a , 0) , C(a, 0,- 2uur a3BC (a, 2a, 13 a) 22rm (x , yi ,乙)，则3 、 c a) , A(2a , 2a , 0), 2uurAB ( 2a , 0, 0)r uurmgEB 0r uur ，mgBC 02ayi 0则a芯，取吊(赤，0, 1).-Xi 2 ayi azi 022r uu