二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题（五） 完整版课件

1、湖南学海文化传播有限责任公司高中新课标同步攻略 数学(必修5)可与人民教育出版社实验教科书同步使用二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题（五）解线性规划应用问题的一般步骤：2）设好变元并列出不等式组和目标函数3）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；4）在可行域内求目标函数的最优解（注意整数解的调整）1）理清题意，列出表格：5)还原成实际问题(准确作图，准确计算)画出线性约束条件所表示的可行域，画图力保准确；法1：移在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线； 法2：算线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取

2、得（当两顶点的目标函数值相等时最优解落在一条边界线段上）。此法可弥补作图不准的局限。应用1有关二元一次代数式取值范围解：由、同向相加可得： 求2x+y的取值范围。例1.若实数x,y满足 由得 将上式与同向相加得 +得以上解法正确吗？为什么？首先：我们画出表示的平面区域 当x=3,y=0时,得出2x+y的最小值为6,但此时x+y=3,点(3,0)不在不等式组的所表示的平面区域内,所以上述解答明显错了1234567x6543210-1-1-2y-2-3-4ADCB但不等式与不等式所表示的平面区域却不同？（扩大了多！）从图中我们可以看出没错解得通过分析，我们知道上述解法中，是对的，但用x的最大(小)

3、值及y的最大(小)值来确定2x+y的最大(小)值却是不合理的。 怎么来解决这个问题和这一类问题呢？这就是我们今天要学习的线性规划问题。求2x+y的取值范围。例1.若实数x,y满足 y1234567x6543210-1-1-2-2-3-4ADCB我们设我们设z=2x+y方程变形为y=-2x+z,等式表示斜率为-2,纵截距为z的直线,把z看成参数,方程表示的是一组平行线要求z的范围，现在就转化为求这一组平行线中,与阴影区域有交点,且在y轴上的截距达到最大和最小的直线. 由图，我们不难看出，这种直线的纵截距的最小值为过A(3,1)的直线，纵截距最大为过C(5,1)的直线。所以过A(3,1)时，因为z

4、=2x+y，所以同理，过B(5,1)时，因为z=2x+y，所以y1234567x6543210-1-1-2-2-3-4ADCB解：作线形约束条件所表示的平面区域，即如图所示四边形ABCD。作直线所以，求得 A(3,1) B(4,0) C(5,1) D(4,2)可使达到最小值，将直线平移，平移到过A点的平行线与重合时，达到最大值。可使当平移过C点时，与的平行线重合时，例1.若实数x,y满足 求2x+y的取值范围解法2：由待定系数法: 设 2x+y=m(x+y)+n(x-y) =(m+n)x+(m-n)ym+n=2，m-n=1 m=3/2 ，n=1/2 2x+y=3/2(x+y)+ 1/2 (x-

5、y)4x+y6，2x-y472x+y11例1.若实数x,y满足 求2x+y的取值范围例1:某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需消耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1吨需消耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600元,每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、消耗B种矿石不超过200t、消耗煤不超过360t.甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1t),能使利润总额达到最大? 甲产品 （1t） 乙产品 （1t） 资源限额 （t）A种矿石（t） B种矿石（t） 煤（t） 利润（元） 产品消耗量

6、资源列表：51046004491000300200360设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元应用2有关利润最高、效益最大等问题 甲产品 （1t） 乙产品 （1t） 资源限额 （t）A种矿石（t） B种矿石（t） 煤（t） 利润（元） 产品消耗量资源列表：51046004491000300200360把题中限制条件进行转化：约束条件10 x+4y3005x+4y2004x+9y360 x0y 0z=600 x+1000y. 目标函数：设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元xtyt解:设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z=600 x+1000

7、y. 元,那么10 x+4y3005x+4y2004x+9y360 x0y 0z=600 x+1000y.作出以上不等式组所表示的可行域作出一组平行直线 600 x+1000y=t，解得交点M的坐标为(12.4,34.4)5x+4y=2004x+9y=360由10 x+4y=3005x+4y=2004x+9y=360600 x+1000y=0M答:应生产甲产品约12.4吨，乙产品34.4吨，能使利润总额达到最大。(12.4,34.4)经过可行域上的点M时,目标函数在y轴上截距最大.9030 0 xy10201075405040此时z=600 x+1000y取得最大值.【例2】营养学家指出,成人

8、良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg？ 应用3有关成本最低、运费最少等问题得点M的坐标为 答：每天需要同时食用食物A约0.143 kg，食物B约0.571 kg，能够满足日常饮食要求，且花费最低16元.解：设每天食用xkg食物A, ykg食物B,总花费为z元,则目标函

9、数为z=28x+21y且x、y满足约束条件 ,整理为 作出约束条件所表示的可行域，如右图所示目标函数可变形为如图，作直线,当直线平移经过可行域时，在 点M处达到轴上截距的最小值，即此时有最小值.解方程组 ，煤矿 车站甲煤矿（元/吨）乙煤矿（元/吨）运量（万吨）东车站10.8280西车站1.51.6360产量（万吨）200300例2.已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?解：设甲煤矿运往东车站x万吨，乙煤矿运往东车站y万吨，则约束条件为：目标函数为:z=x+1.5(200-x)+0.8y+1.6(300-y) =780-0.5x-0.8y