线性代数第四版赵树嫄答案(供参考)

1、 r2-r2-11-1o-2-10-30013602_2_250丈4=1=0工2=0*工1=0.由此，得到一个棊础解系v=(0101011,1)121设=(伪血执)丫则AB=O口(越川也，屈J=OAbt=Oti=1*2，川Ofrj(i=152f*-是Ar=0的解.22设B执氐)-因AB=6抿据17题/心=1,2./)皆为肚=O的解-又r(A)=rB)=n(爲为Ax=0的增广矩阵)所以推=0只有零解即氐=IKr=lt2t-jft)或B=O,(2)由個=AA(B-I)=O由(1)B-I=(X所以B=L23(1)对方程组的增广矩阵B=(AO)作初等行变换fJ=(4O)=令自由未知量取值令自由未知量取

2、值v=(15.24,4.21方程组的全部解为x=cv=c(15?24*-4t2)T为任意常敦(2)对方程组的增广矩阵B=(AJr)作初等行变换J?1=工4+5上一16=2心一6花+234=0得方程组的一个解得方程组的一个解H=(16,23,0,O,O)T1:_3i1:_3i71-223121117-2-2Yi-2322623-g-2-6:-23B=(Ab)=TOC o 1-5 h zrl1112110122433rl11117-0122a2300000000-600-11o1010一111011I01026：23001000000000rl00_1Lo:-16q01026230010010_Q

3、000010_由最肩一个距阵得同解方程组原方程的导岀组与方程组工=工4+5吧JlTj=2工46吐-0同解.对自由木知量心取值L%1101i-即得导岀组的基础解系为=(lf-2t0,l,0)Tt也=(5,6.o.oTiyr因此所给方程组的通解为x=u+CiVi+r3v3=(-16,23,(00)T+fi(1-r2-011t0)1+c：2(516-0,0tl)T其中门心为任意常数.(3)对方程绢的增广矩阵B(A小作初等行变换-135401-132_21-1121_1131411-3121_11一13540114V-11a20-321:2016一12一612024一168s1600rl35_401-

4、014一3_1200-321_2000212-y3y000000=4氣有一个-1350-13500-305_40-7-4门_14-10-40112_23-125-123-2个解-原方程组的同解方程组为十32十5工m4x4=1乱十433航=吧十？*Sj3+2工4=工52；2t4=占42令七=卜得非齐次方程组的一个解u(01,0T1-0)1求解辰导出组的同解方程组m+3j?2+5忑一4冲=0也+4也3竝=吐3j?i+纽=比2_rj=工h令自由未知量孔=1,则解出线性齐次方程组的基础解系为V=(jrLfJTZtJ3“庫JTj)r=-y-l*0)T+c(壬(LJ.0*1t-2F)(c为任意常数)247

5、11A-3-3*1凡1-2T11A-2-11A-21A1-2-A11A-3_11A-2_0A-l1-A001見L-A23A-311A-2_-0Li1几0o02几一才3(A-1)11A-2_0A-l1几000(A-l)CA+E)3(2-1)讨论如下：(O当A=-2时方程组无解；斗1H且几二一1时有唯一解：当时有无穷多解壬此时方程组为兀+吃+龙3=2基础解杀为-r-l-2_i0,特解为0t全部解为0102110+勺1+勺0001(比勺为任意实数)25必要性设方程组有解工霁云“：“霁则它们满足方程组00吧X1=瑟将各式相加:得侃.+口H+收S+肛4+厲吕=0充分性在空1+血+伽+叭+即=0的条件下对

6、方程组求解对方程组的增广距阵B=(掩)作初等行变换1-000:尙01-100:tlzB=001-10;0001-1-10001口+口+rgn-1-1000:101-100!001_10i1a30001-1【i500C00ia-_Bl5由于另仇=叽则r(A)=rfJ)ijj1=4+9)=0-2尸令丨AJ-Ai=0解得特征值=Az=Aa=2-当A-2吋p00q12-1000-由此得齐次方程组X+2吐肌=0则可得久=2时的基础解系为p2rlq卬=1=001所以矩阵A的对应于di=人玄=山=2的全部特征向量是x=Ci(-2a,O)T+c2U0,L)r其中6心是不全为零的常数.（3）设本题矩阵为4矩阵A

7、的特征多项式为IAf上11=X一11一1_1-1A一-1111-11A-11-111人一I10-1-10111=Q70-1A11101A-1101-101L1=Q-2)200A2002A111=Q-2)20A202A=Q-2)aA+2)由(A2)3(+2)=0解得A的特征值当=矢=2时*C2J-A)=TOC o 1-5 h zr1-L-1-In-1111-1111-1111-11110000i0000卫000得到齐阮方程组则由上面方程解得心=1,1所H矩形A的对应于特征值入l=九=心=2的全部特征向量为x=ci(1-1-010)1+盹(1,0丄0)丁+cjl,0,04)T其中GG心是不全为零的

8、任意常数当儿=2时严-1-1-bTOC o 1-5 h z-1-311-11-31_一1L17得齐次同解方程组工1+J.L=0卫口=0也工卜=0令4=1,则工=一1,比1,比=X得基础解系为=(-1,1.1,1)由此得矩阵A对应于特征值几=-2的全部特征值为x=c(-iajjr&为非零的任竟常数人(仍设本题矩阵为乩知阵耳的粹征多项式IA/A|=TOC o 1-5 h zA0-10A-10=Q1沪。+1)-10A令|AT-A|=(A-1)2-000101|-101-AQ00_000_解齐次方程组x3=0则解得其基础解系为i=(0,l,0)r,2=(1,0,1)Trh此得人|=山=1时矩陈A的全部

9、特征向量为A=亠门區=(0Jt0)T+ca(ltO?lT其中GC是不全为零的任意常数当A3=-L0寸(/A)=10101101010000020话-1o-1解齐次方程组之1+Jr3=0g=0则解得其基础解系为勺=(-那么矩杵A对应于特征值a3=一1的全部特征向量为x二疋1=c(1jO11)1其中匚为非零的任意常数设本题矩阵为矩阵A的特征多项式为：aIA=A-1-3-1-20Z+1-1-300A-2-500QA2=(A-D(A+1)(A-2)3解得特征值h=1、屯=入4=2当山=1时fO-ji3jl2Jj2j?4=02jC2工上3工4=0工工一5j74=0一化=0令工=1则基础解系g=(1,XO

10、P)T则儿=1时矩阵A的全部特征向虽为x=ci(1*0tOO)1其巾门是不为零的任意常数.当特征值乙=一1有2舟3七一2斗=0一3jf35工屮=0V務一3工4=013些=0仪4=0故卜Y3工I=22则解得其基础解系为=(1jC0)1?由此可知h=-1时矩阵的全部特征向量为H=C|(y?1f00)1-门为不为客的任意常数.当特征值抵=和=h有则解得其基础解系为=(6,l,3r0TT由此口知阳=人=2吋矩阵的全部特征向董为工=12(6130)1心为不为零的任意常数a=-2,b=6,入=-4i3设对应于祜的特征向量为=儿工Cl)Mx=AAoJ=仪(J龙故肚的特征值为加卜g若,4町逆，则山不为零有A-

11、1Ax)=A-1Cox)即AX=J-XXn故*的特征值为丄(3)1+A)x=jr+XuJr=(1+舫龙jfcl+A的特征值为1+牯，4证明设口为对应人的A的特征向量则Aw=Aa则AG=A(Aff)=A(ag)=X(Aa)=A2a因为Aa=A故A2a=?kr=M从而加=A-a即(才A)tr=0c为非零向量故F入=0以=0或1.所以幕等矩阵的特值貝能是0或1*5证明因A非奇异，故存在逆矩阵犷|AFAtnA=(AAXBA)=BA故AB-BA.9略10略11几一兀0-2AZ-|0Z-30二10A-2-x+.200020-o,得至U咒一2.00-2U-20-：1以z=0代入代入AI-A=0A-30-20

12、A-2证明因AL故存在可逆矩阵化便1円血=又CD.故存在可逆矩阵0使qtq=DP0rBOA-2=0-2二(几_纣0-2A-300A-22-2-2_-22-2_rrA-0POn厂-orPOnOQ_AOil9OOcOQ_OnrFOocloQ_3)(A-4)-0T解得=0,=3/Ig=.4所以其他特征值为A=3.a=4.6略取xVf=ArrPOoQoC，则M可逆且所以rAOnoc12(1)特征值山=1,特征向量5为不为0的任何常Az=3-特征向量c(o为不为0的任意常数1故/I=_0对应的特征向量耳对角矩阵相似200020A=002_000卩11100r=01000111aH(n11_o10Q-2-

13、1-1112-In对应的特征向量门1001(2)特征值入=&=加=2满是LAP=A(冷心为不全为零的任意常数)线性无关的特征向量只有特征值入=花=1-0-对应的特征向量时1+02个，故不与对甬矩阵相似1门Q(门rC不全为零(3)特征值入=民=加=21特征值刖=一1rh对应的特征向量门0s工Ld100-与对角矩阵A=01000-1IN；II13略14略15可验证lrAl3(5)对于4阶矩阵，线性无一关的特征向量只有3个，故不与对3_rIn-2n23023810226-3_7-1222202282299928999r674gg9864928992则山2426?9rl00018oo19IIII207

14、y丄2T丄TI=o设Q=(q加=対正交化向童组*22202282299928999r674gg9864928992则山2426?9rl00018oo19IIII207y丄2T丄TI=o设Q=(q加=対正交化向童组*所以与他正交，且g业都是单位向量T所以距阵Q是正交矩阵.因为III=QQ=入棍据定义&为正交矩阵皿|=JSaU)=店伽水旳=QVQ因为Q为正交矩阵、有fie=即丨0(?丨=1Iei2=1则=i因Q为正交矩阵.有QTQ=I根据逆矩阵的定义.Q-=Q1因P卫都是正交矩阵，则PP=1QQ=15MT(fQ=QP丁PQ=(2T/,lP)e=QQ=1根据正交矩阵定义知陀为正交距阵21略22(L)

15、IAJ11rA-1_1-1丁_1A1-11一1入_1_111=(A3)1A-111一1A-1111=A3)0A0QQ入=入?(入一3)令1AJ-A1=(-3)=0*得丸I=Ag=0-人日=3厂1-1-1-一卫1-卩-1-1-1x20-1-1-1_3_0可解得舟+吐+心=0-苍n,1riV令=f-，则由上式-吐-01V/解得心1h-1.所以得基础解系药=(-ltho)Tx2=(1*0,1)由Q昇A)x=0,得2-1-1-J：O-12-1=0-120可解得齐次同解方程组笛+耗一2恥=0孔工$=。-V1-1-令恐=1,则=猖基础解系-X2.-1-XZ=2A20-21=Q十1)S(A十8)令|AJ小|=壮+1*。+第尸=0,得AiA2=1?A38,由(AiIA)J?=D得4-2-4n中-2-L-2_42_4由工=0得得到正交矩阵00rOn0化简得01_73丄V3丄摒-I-1-屈2_屈7一挖丄找O#*91(-Q。使A对角化为On0QTQ=00000H-324(2)|ITA|=2入24-2A-rOn00可解得2町+观+2=(X:叱邛林一討可解得基础解系曲=(