运筹学 第四章 运输问题

1、运筹学 第四章 运输问题第1页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三例1：某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产的产品由4个销售点（销地）出售，各工厂的生产量、各销售点的销售量（假定单位均为t）以及各工厂到各销售点的单位运价（元/t）示于下表中要求研究产品如何调运才能使总运费最小 4.1 运输问题及其数学模型单位 销地 运价产地产量2910291342584257销量3846第2页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三A2A3B2A1B3B4B1s2=5s3=7d1=3d2=8d3=4d4=6s1=9供应量供应地运价需求量需求地2910213428

2、425运输问题网络图第3页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三产量约束销量约束第4页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三运输问题的一般提法是：设某种物资有 个产地各产地的产量是有 个销地各销地的销量是假定从产地 到销地运输单位物品的运价是 ，问怎样调运这些物品才能使总运费最小？第5页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量销 量运价表第6页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三当产销平衡时，其模型如下：第7页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三当产大于销时，其模型是：第8页，共

3、117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三当产小于销时，其模型是：第9页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 1、平衡运输问题必有可行解，也必有最优解；运输问题数学模型的特点证明 记则令第10页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三则 为运输问题的一个可行解。事实上：又因所以故 是一组可行解。又因为总费用不会为负值（存在下界）。这说明，运输问题既有可行解，又必然有下界存在，因此一定有最优解存在。第11页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 2、运输问题约束条件的系数矩阵运输问题数学模型的特点对运输问题数学模型的结构约束

4、加以整理，可知其系数矩阵具有下述形式：第12页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三m行n行1运输问题是一个具有mn个变量和n+m个等型约束的线性规划问题。 （41）第13页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三第14页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三2运输问题约束方程组的系数矩阵是一个只有0和1两个数值的稀疏矩阵,其中1的总数为 2mn 个。3、约束条件系数矩阵的每一列有两个非零元素，这对应于每一个变量在前m个约束方程中出现一次，在后n个约束方程中也出现一次第15页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三4、

5、约束条件系数矩阵的秩是m+n-1。即运输问题的基变量总数是m+n-1证明：因A的前m行对应元素的和与后n行对应元素的和相等，恰好都是：所以A的行向量是线性相关的。从而 r(A)m+n.第16页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三去掉A的第一行，并取如下m+n-1列，得到m+n-1阶子式所以 r(A)=m+n-1.第17页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三对于产销平衡运输问题，除了上述特点外，还有以下特点： 1 所有结构约束条件都是等式约束 2 各产地产量之和等于各销地销量之和第18页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 3、运

6、输问题的解运输问题数学模型的特点运输问题是一种线性规划问题。前面讲述的单纯形法是求解线性规划问题十分有效的一般方法，因而可用单纯形法求解运输问题。但是当用单纯形法求解运输问题时，先得在每个约束条件中引入一个人工变量，这样一来，即使对于m=3、n=4这样简单的运输问题，变量数目也会达到19个之多。第19页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三因此，我们利用运输问题数学模型的特点，引入了表上作业法来求解运输问题第20页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 4.2 用表上作业法求解运输问题表上作业法的基本思想：先设法给出一个初始方案,然后根据确定的判别准则对

7、初始方案进行检查、调整、改进，直至求出最优方案，如下图所示。第21页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三初始化最优性检验迭代（Iteration）最优？yesSTOPno这和单纯形法的求解思想完全一致，但是具体的作法则更加简捷。第22页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三例1 某部门有3个同类型的工厂（产地），生产的产品由4个销售点出售，各工厂的生产量、各销售点的销售量（假定单位为t）以及各工厂到销售点的单位运价（元/t）示于表4-2中，问如何调运才能使总运费最小？第23页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量412

8、4111621039108511622销 量814121448表 4-2第24页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三该运输问题的数学模型为：第25页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三可以证明：约束矩阵的秩 r (A) = m +n -1.基变量的个数为 m+n-1.第26页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三表上作业法计算步骤：1、给出初始方案2、检验是否最优3、调整调运方案 , Go to 2第27页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三表上作业法计算步骤：1、给出初始方案2、检验是否最优3、调整调运方案

9、 , Go to 2第28页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三下面介绍三种常用的方法。一、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案）最小元素法西北角法沃格尔(Vogel)法第29页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三1。最小元素法思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。第30页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量 4124111610398511622销 量14121448表 3-2第31页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量 412411162109108511622销 量

10、 8141448表 3-2第32页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量 412112109108511622销 量 814121448表 3-2第33页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量 4121182109108116销 量 8121448表 3-2第34页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量 412118210910811销 量 81248表 3-2第35页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量 4128210910811销 量 81248表 3-

11、2第36页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三此时得到一个初始调运方案（初始可行解）：其余变量全等于零。总运费为（目标函数值）此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6（等于m+n-1=3+4-1=6).第37页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 西北角法西北角法是优先满足运输表中西北角（左上角）上空格的供销需求。第38页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量41241121039108511622销 量14121448表 3-2第39页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地

12、产量 41241121039108511622销 量14121448表 3-2第40页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量 41241121039108511622销 量121448表 3-2第41页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量 41241121039108511622销 量14121448表 3-2第42页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量 412411210398511622销 量14121448表 3-2第43页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三

13、销地产地产量 412411210398511622销 量14121448表 3-2第44页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量 412411210398511622销 量141448表 3-2第45页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量 412411210398511622销 量14121448表 3-2第46页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量 4124112103985116销 量14121448表 3-2第47页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地

14、产量 4124112103985116销 量14121448表 3-2第48页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量 4124112103985116销 量141248表 3-2第49页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量 4124112103985116销 量14121448表 3-2第50页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三此时得到一个初始调运方案（初始可行解）：其余变量全等于零。总运费为（目标函数值）此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6（等于m+n-1=3+4-1=6).第51页

15、，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 沃格尔（Vogel)法初看起来，最小元素法十分合理。但是，有时按某一最小单位运价安排物品调运时，却可能导致不得不采用运费很高的其他供销点，从而使整个运输费用增加。沃格尔法的思想： 对每一个供应地或销售地，均可由它到各销售地或到各供应地的单位运价中找出最小单位运价和次小单位运价，并称这两个单位运价之差为该供应地或销售地的罚数。若罚数的值不大，当不能按最小运价安排运输时造成的运费损失不大；反之，如果罚数的值很大，不按最小运价组织运输就会造成很大的损失，故应尽量按最大罚数安排运输。第52页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，

16、星期三销 地产地产量行罚数1234124111602103910181161销 量8121448列罚数1251323第53页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三销 地产地产量行罚数123 412411160021039101185112212销 量8141248列罚数1251322133第54页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三销 地产地产量行罚数123 41241116000103911185112212销 量141248列罚数125132213321第55页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三销 地产地产量行罚数456 4

17、1211710396851122销 量1448列罚数41256第56页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三销 地产地产量行罚数456 412117010360851122销 量1448列罚数4125 26第57页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三此时得到一个初始调运方案（初始可行解）：其余变量全等于零。总运费为（目标函数值）此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6（等于m+n-1=3+4-1=6).第58页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三比较上述三种方法给出的初始基可行解，以沃格尔法给出的解的目标函数值最小，最

18、小元素法次之，西北角法解的目标函数值最大。 一般说来，沃格尔法得出的初始解的质量最好，常用来作为运输问题最优解的近似值。第59页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量 414681250837514销 量656320课堂练习第60页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三表上作业法计算步骤：1、给出初始方案2、检验是否最优3、调整调运方案 , Go to 2第61页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三二、解的最优性检验前面得到了初始基可行解，一般来说此解并非最优。下面介绍最优性检验的两种方法。1 闭回路法(Cycle m

19、ethod)2 对偶变量法（dual variable method）也称为位势法第62页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 闭回路法（cycle method)下面用最小元素法所确定的初始基本可行解来说明。与单纯性原理相同，现目标是运费最少，故检验每一个非基变量（对应于运输表中的空格）的检验数是否若所有空格的检验数全非负，则不管怎样均不能使运输费用降低，即目标函数值已无法改进，这个解就是最优解第63页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量412104611168210239108145118622销 量814121448考虑空格(A1

20、,B1),设想由产地A1供应一个单位的物品给销地B1，为使运入销地B1的物品总量不大于它的销量，应将A2运到B1的物品数量减1，即将格子（A2,B1）中填入的数字8改为7；另一方面，为使产地A2运出的物品数量正好等于它的产量(保证新得到的解仍为基可行解)，应将A2运到B3的物品数量增1。同理A1运往B3的物品数量减1，A1运出的物品数量正好等于其产量第64页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三按照上述设想，由产地A1供给1个单位物品给销地B1,由此引起的总运费变化是：根据检验数的定义，它正是非基变量x11(或者说空格(A1,B1)的检验数第65页，共117页，2022年，

21、5月20日，18点42分，星期三定义1：基变量（有数字的）对应的格为基格；非基变量（空格）对应的顶点为非基格。定义2：从每一空格（非基格）出发，沿水平或垂直方向前进，每碰到数字格转90o（有些情况也可以不改变方向）继续前进，直到回到出发的空格为止，由此形成的封闭的折线称为闭回路。规定：起始顶点的空格为第一顶点，则 =闭回路上奇数次顶点运价之和 闭回路上偶数次顶点运价之和 第66页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量412104611168210239108145118622销 量814121448表 3-2第67页，共117页，2022年，5月20日，18点

22、42分，星期三 销地产地产量 412104611168210239108145118622销 量814121448表 3-2第68页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量 412104611168210239108145118622销 量814121448表 3-2第69页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量 412104611168210239108145118622销 量814121448表 3-2第70页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量 412104611168210239108

23、145118622销 量814121448表 3-2第71页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量 412104611168210239108145118622销 量814121448表 3-2第72页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量 412104611168210239108145118622销 量814121448表 3-2检验数中有负数，说明原方案不是最优解。第73页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 对偶变量法（位势法）(dual variable method) 用闭回路法判定一个运输方

24、案是否最优，需要找出所有空格的闭回路，并计算其检验数。当运输问题的产地和销地很多时，空格的数目很大，计算检验数的工作量很大，而用对偶变量法就简便得多。 对产销平衡运输问题，若用u1,u2,um分别表示前m个约束等式相对应的对偶变量，用v1,v2vn 分别表示后n个等式相对应的对偶变量，即有对偶向量第74页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三这时可将运输问题的对偶规划写成：前面学习知道，线性规划问题变量xj的检验数可表示为：第75页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三由此可写出运输问题某变量xij(对应于运输表中(Ai,Bj)的检验数如下：其中 分别称

25、为行位势、列位势。有基变量所对应的检验数为零，可从m+n-1个等式（2.2）解出所有的行位势、列位势。（2.1）第76页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三可以证明，不论令 为何值， 始终不变。即 将不会随 的取值而改变。 为此，在求解方程组（2.2）时，为计算简便，可指定一个位势等于一个较小的整数或零。第77页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量412104611168210239108145118622销 量814121448表 3-2行位势列位势设u1=1第78页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三当然，也可

26、用采用解方程组的办法来求位势：两种方法任选一种第79页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量 412104611168210239108145118622销 量814121448表 3-2第80页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三三。解的改进（用闭回路法调整）选择进基变量的原则：即选择非基变量中检验数最小的一个进基。在进基格点所对应的闭回路上，定义顶点的序号：自进基格点起选定一个方向（比如顺时针方向），依次为第一格、第二格、在奇数格点上减少调整量 ，在偶数格点上增加调整量 。第81页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星

27、期三其中调整量为为闭回路中偶数格点第82页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量 41241116821039108145118622销 量814121448表 3-2第83页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量 412124411168210329108145118622销 量814121448表 3-2第84页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三四。表上作业法计算中的两个问题 无穷多个最优解若在最优解中，某个非基变量的检验数为零，则该问题有无穷多个最优解此时得到一个最优解：其余变量全等于零。总运费为

28、（目标函数值）第85页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量 412124411168210329108145118622销 量814121448表 3-2第86页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量 412124111621039108145118622销 量814121448表 3-2第87页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量 441212411164210369108145118622销 量814121448表 3-2第88页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期

29、三此时得另一个最优解：其余变量全等于零。总运费为（目标函数值） 退化情况与一般LP问题类似，运输问题也可能出现退化了的基本可行解。有以下两种情况：第89页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三（1）在确定初始基本可行解时，若已确定在空格 处要添上调运量 ，而此时发点的当前可发送量与收点的当前需求量恰好相等。即发点的当前发送量已全部用完，而收点的需求量已全部满足。因此应同时划掉发送的行及接受的列。为了使调运表上确保有(m+n-1)个基变量的值，就需要在所划掉的行（或列）的任一空格添上调运量0。这样就得到有一个基变量取值为0的基本可行解退化解。例如：下表给出一个34运输的运价及

30、发送量与需求量。试用最小元素法求该问题的一个初始基本可行解。第90页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量3114577738121069销 量365648表 4-2第91页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三此时得到一个退化了的初始基本可行解：其余变量全等于零。 在用闭回路调整当前基本可行解时，有多个偶数格值相等且都是极小值点 。此时只能取一个离基，其余的仍作为基格。例如：下表给出一个34运输问题的基本可行解及发送量与需求量、基本可行解的检验数。试用闭回路法对其做出调整。第92页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三

31、 销地产地产量 317339销 量364648表 4-5第93页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量 347369销 量364648表 4-5第94页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三3 运输问题的进一步讨论一、产销不平衡运输问题对产销不平衡问题，可转化为平衡问题，然后按表上作业法求解。转换办法： 若产大于销，增加一个假想的销地（可视为库存地）其销量设定为余量，相应的运价设为0。 若销大于产，增加一个虚拟的产地，其产量设定为不足量，相应的运价也设为0。第95页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三例4 某市有3个造

32、纸厂 ， 和 ，有4个集中用户 和 ，各工厂的生产量、各用户的需用量以及各工厂到用户的单位运价（元/t）示于表3-14中，问如何调运才能使总运费最小？第96页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量31234811259567159销 量4356表 3-142218可增加一个假想的销地第97页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三 销地产地产量 31234081125905671509销 量43564表 3-14第98页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三补充：闭回路的数学定义定义：凡是能排成或形式的变量的集合称为一个闭

33、回路，并将这些变量称为这个闭回路的顶点。第99页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三由此可以看出闭回路的几何特点：闭回路都是一条封闭折线，每个顶点格子都是转角点每一行或每一列只有且仅有两个顶点格子每两个顶点格子的连线都是水平的或垂直的。可以证明的一个重要结论：m+n-1个变量构成基变量的充要条件是它不含闭回路，即不存在以这些变量为顶点的闭回路第100页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三例题5：弹性需求问题设有三煤矿供应四地区，资料如下：运价 地区煤矿甲乙丙丁产量 A B C161419131320221923171525506050最低需求最高需求

34、3050707003010不限第101页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三解题思路：设法转化为标准型本题产量160万吨，最低需求110万吨，最高需求无限。实质上比较现实的最高需求210万吨产量大于最小需求；小于最大需求。而标准型是：产量=销量。处理办法：设想一个虚拟煤矿D，生产50万吨，但这个产量只能供应可有可无的最高需求部分，于是各地的需求也应分为两个部分：基本需求、机动需求虚拟产量的运输费用为零，但它对于基本需求来讲，运费为无穷大。第102页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三建模：运价 地区煤矿甲1甲2乙丙丁1丁2产量 A B C D1614

35、19M1614190131320M2219230171225M1712250 50 60 50 50需求量302070301050 210210第103页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三最优解：运价 地区煤矿甲1甲2乙丙丁1丁2产量 A B C D30205020030103020 50 60 50 50 需求量302070301050 210210第104页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三运输模型的应用例题5：某机床厂定下一年合同分别于各季度末交货。已知各季度生产成本不同，允许存货，存储费0.12万元/台季，三、四季度可以加班生产，加班生产

36、能力8台/季，加班费用3万元/台季度正常生产能力单位成本（万元）交货台数12343032202810.5510.81111.125301545第105页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三分析：可用线性规划，但用运输问题更简单要决策的问题是各季度生产量和交货量设xij表示第i季度生产第j季度交货的台数因加班时间生产成本不同，故要区别开来，三四季度可加班，视同增加两个季度需求量合计115台，生产能力合计126台，供需不平衡，因此，增加一项闲置能力。第106页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三建模： 成本 交货生产 闲置 1 2 3 4 能力产量1季度

37、正常生产2季度正常生产3季度正常生产3季度加班生产4季度正常生产4季度加班生产10.55 10.67 10.79 10.91 0 M 10.8 10.92 11.04 0 M M 11 11.12 0 M M 14 14.12 0 M M M 11.1 0 M M M 14.1 0 30 32 20 8 28 8 需求量 25 30 15 45 11 126126第107页，共117页，2022年，5月20日，18点42分，星期三结果： 生产 交货生产 闲置 1 2 3 4 能力产量1季度正常生产2季度正常生产3季度正常生产3季度加班生产4季度正常生产4季度加班生产 25 5 30 2 10 10 8 28 5