2022版高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.3合情推理与演绎推理学案理

1、2021版高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.3合情推理与演绎推理学案理PAGE PAGE 4211.3合情推理与演绎推理知识梳理1推理(1)定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就是推理(2)分类：推理一般分为合情推理与演绎推理2合情推理(1)定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理叫做合情推理(2)分类：数学中常用的合情推理有归纳推理和类比推理(3)归纳和类比推理的定义、特征3演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)

2、“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断诊断自测1概念思辨(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(4)演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(选修A22P75例题)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10为()A28 B76 C12

3、3 D199答案C解析记anbnf(n)，则f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)，则f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.故选C.(2)(选修A22P84A组T5)设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，_，_，eq f(T16,T12)成等

4、比数列答案eq f(T8,T4)eq f(T12,T8)解析设等比数列bn的公比为q，首项为b1，则T4beq oal(4,1)q6，T8beq oal(8,1)q127beq oal(8,1)q28，T12beq oal(12,1)q1211beq oal(12,1)q66，eq f(T8,T4)beq oal(4,1)q22，eq f(T12,T8)beq oal(4,1)q38，即eq blc(rc)(avs4alco1(f(T8,T4)2eq f(T12,T8)T4，故T4，eq f(T8,T4)，eq f(T12,T8)成等比数列故答案为eq f(T8,T4)，eq f(T12,T8

5、).3小题热身(1)(2018厦门模拟)已知圆：x2y2r2上任意一点(x0，y0)处的切线方程为x0 xy0yr2.类比以上结论，有双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1上任意一点(x0，y0)处的切线方程为_答案eq f(x0 x,a2)eq f(y0y,b2)1解析设圆上任一点为(x0，y0)，把圆的方程中的x2，y2替换为x0 x，y0y，则得到圆的切线方程；类比这种方式，设双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1上任一点为(x0，y0)，则切线方程为eq f(x0 x,a2)eq f(y0y,b2)1(这个结论是正确的，证明略)(2)(2015陕西高考)观察

6、下列等式1eq f(1,2)eq f(1,2)1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,4)eq f(1,3)eq f(1,4)1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,4)eq f(1,5)eq f(1,6)eq f(1,4)eq f(1,5)eq f(1,6)据此规律，第n个等式可为_答案1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,4)eq f(1,2n1)eq f(1,2n)eq f(1,n1)eq f(1,n2)eq f(1,2n)解析观察已知等式可知，第n个等式左边共有2n项，其中奇数项为eq f(1,2n1)，偶数项为eq f(1,2n)，等式右边共有n

7、项，为等式左边后n项的绝对值之和，所以第n个等式为1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,4)eq f(1,2n1)eq f(1,2n)eq f(1,n1)eq f(1,n2)eq f(1,2n).题型1类比推理eq o(典例)已知P(x0，y0)是抛物线y22px(p0)上的一点，过点P的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y22px两边同时对x求导，得2yy2p，则yeq f(p,y)，所以过点P的切线的斜率keq f(p,y0).类比上述方法求出双曲线x2eq f(y2,2)1在P(eq r(2)，eq r(2)处的切线方程为_注意题意要求，类比上述方法求切线答案2xyeq

8、r(2)0解析将双曲线方程化为y22(x21)，类比上述方法两边同时对x求导得2yy4x，则yeq f(2x,y)，即过点P的切线的斜率keq f(2x0,y0)，由于P(eq r(2)，eq r(2)，故切线斜率keq f(2r(2),r(2)2，因此切线方程为yeq r(2)2(xeq r(2)，整理得2xyeq r(2)0.方法技巧1类比推理的四个角度和四个原则(1)四个角度类比推理是由特殊到特殊的推理，可以从以下几个方面考虑类比：类比定义：如等差、等比数列的定义；类比性质：如椭圆、双曲线的性质；类比方法：如基本不等式与柯西不等式；类比结构：如三角形内切圆与三棱锥内切球(2)四个原则长度

9、类比面积；面积类比体积；平面类比空间；和类比积，差类比商见典例2类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)3常见类比推理题型的求解策略在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：(1)找两类对象的对应元素，如三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；(2)找对应元素的对应关系，如两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等冲关针对训练(2017山东日照一模)36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为362232，所以36的所有正约数之和为(1332)(22

10、3232)(222232232)(1222)(1332)91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为_答案465解析类比求36的所有正约数之和的方法，200的所有正约数之和可按如下方法求得，因为2002352，所以200的所有正约数之和为(122223)(1552)465.题型2归纳推理角度1与数字有关的归纳推理eq o(典例)(2018石家庄模拟)如图所示的数阵中，用A(m，n)表示第m行的第n个数，则依此规律A(15,2)为()eq f(1,3)eq f(1,6)eq f(1,6)eq f(1,10)eq f(1,3)eq f(1,10)eq f(1,15)eq f(13,30)eq

11、 f(13,30)eq f(1,15)eq f(1,21)eq f(1,2)eq f(13,15)eq f(1,2)eq f(1,21)A.eq f(29,42) B.eq f(7,10) C.eq f(17,24) D.eq f(73,102)答案C解析观察题中所给的数阵，可以看出从第三行开始，每行第二个数等于它肩上的两个数的和，所以A(15,2)eq f(1,6)eq f(1,6)eq f(1,10)eq f(1,15)eq f(1,21)eq f(1,120)eq f(1,6)2eq blc(rc (avs4alco1()eq f(1,12)eq f(1,20)eq f(1,30)eq

12、f(1,42)eq f(1,240)eq blc rc)(avs4alco1()eq f(1,6)2eq blcrc(avs4alco1(f(1,34)f(1,45)f(1,56)f(1,67)f(1,1516)eq f(1,6)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)f(1,4)f(1,4)f(1,5)f(1,5)f(1,6)f(1,15)f(1,16)eq f(1,6)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)f(1,16)eq f(17,24).故选C.角度2与式子有关的归纳推理eq o(典例)(2016山东高考)观察下列等式：eq blc(rc)(avs4

13、alco1(sinf(,3)2eq blc(rc)(avs4alco1(sinf(2,3)2eq f(4,3)12；eq blc(rc)(avs4alco1(sinf(,5)2eq blc(rc)(avs4alco1(sinf(2,5)2eq blc(rc)(avs4alco1(sinf(3,5)2eq blc(rc)(avs4alco1(sinf(4,5)2eq f(4,3)23；eq blc(rc)(avs4alco1(sinf(,7)2eq blc(rc)(avs4alco1(sinf(2,7)2eq blc(rc)(avs4alco1(sinf(3,7)2eq blc(rc)(avs4

14、alco1(sinf(6,7)2eq f(4,3)34；eq blc(rc)(avs4alco1(sinf(,9)2eq blc(rc)(avs4alco1(sinf(2,9)2eq blc(rc)(avs4alco1(sinf(3,9)2eq blc(rc)(avs4alco1(sinf(8,9)2eq f(4,3)45；照此规律，eq blc(rc)(avs4alco1(sinf(,2n1)2eq blc(rc)(avs4alco1(sinf(2,2n1)2eq blc(rc)(avs4alco1(sinf(3,2n1)2eq blc(rc)(avs4alco1(sinf(2n,2n1)2

15、_.分析等式右边的结构规律答案eq f(4nn1,3)解析观察前4个等式，由归纳推理可知eq blc(rc)(avs4alco1(sinf(,2n1)2eq blc(rc)(avs4alco1(sinf(2,2n1)2eq blc(rc)(avs4alco1(sinf(2n,2n1)2eq f(4,3)n(n1)eq f(4nn1,3).角度3与图形有关的归纳推理eq o(典例)如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18个火柴，则第2018个图形用的火柴根数为()A20162019 B20172018C20172019

16、D30272019答案D解析由题意，第1个图形需要火柴的根数为31；第2个图形需要火柴的根数为3(12)；第3个图形需要火柴的根数为3(123)；由此，可以推出，第n个图形需要火柴的根数为3(123n)所以第2018个图形所需火柴的根数为3(1232018)3eq f(201812018,2)30272019，故选D.方法技巧归纳推理问题的常见类型及解题策略1与数字有关的等式的推理观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解见角度1典例2与式子有关的归纳推理(1)与不等式有关的推理观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解(2)与数列有关的推理通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳

17、法，找出数列的项与项数的关系，列出即可见角度2典例3与图形变化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性见角度3典例冲关针对训练某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来eq f(1,3)的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120，依此规律得到n级分形图，n级分形图中共有_条线段答案32n3解析分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3(323)条线段，二级分形图有9(3223)条线段，三级分形图中有21(3233)条线段，按此规律

18、n级分形图中的线段条数an32n3.题型3演绎推理eq o(典例)数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1eq f(n2,n)Sn(nN*)证明：(1)数列eq blcrc(avs4alco1(f(Sn,n)是等比数列；(2)Sn14an.证明eq blcrc(avs4alco1(f(Sn,n)是等比数列，将已知an1eq f(n2,n)Sn中的an1用Sn1Sn表示证明(1)an1Sn1Sn，an1eq f(n2,n)Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.eq f(Sn1,n1)2eq f(Sn,n)，又eq f(S1,1)10，(小前提)故eq blcrc(a

19、vs4alco1(f(Sn,n)是以1为首项，2为公比的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知eq f(Sn1,n1)4eq f(Sn1,n1)(n2)，Sn14(n1)eq f(Sn1,n1)4eq f(n12,n1)Sn14an(n2)，(小前提)又a23S13，S2a1a21344a1对于任意正整数n，都有Sn14an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)方法技巧三段论的应用1三段论推理的依据是：如果集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.2应用三段论的注意点：解决问题时，首先应该明确什么是

20、大前提，小前提，然后再找结论提醒：合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确冲关针对训练(2017厦门模拟)设f(x)3ax22bxc，若abc0，f(0)0，f(1)0，证明：(1)a0且2eq f(b,a)0，f(1)0，所以c0,3a2bc由abc0，消去b得ac0；再由条件abc0，消去c得ab0，所以2eq f(b,a)1.(2)因为抛物线f(x)3ax22bxc的顶点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(b,3a)，f(3acb2,3a)，又因为2eq f(b,a)1，所以eq f(1,3)eq f(b,3a)0，

21、f(1)0，而feq blc(rc)(avs4alco1(f(b,3a)eq f(3acb2,3a)eq f(a2c2ac,3a)eq f(blc(rc)(avs4alco1(af(c,2)2f(3c2,4),3a)0，y0，eq f(y,x)eq f(4x,y)2eq r(f(y,x)f(4x,y)4，eq f(1,x)eq f(4,y)eq f(1,2)(54)eq f(9,2)，当且仅当eq blcrc (avs4alco1(f(y,x)f(4x,y)，,xy2，)即eq blcrc (avs4alco1(xf(2,3)，,yf(4,3)时，eq f(1,x)eq f(4,y)取最小值e

22、q f(9,2).参考上述解法，已知A，B，C是ABC的三个内角，则eq f(1,A)eq f(9,BC)的最小值为()A.eq f(16,) B.eq f(8,) C.eq f(4,) D.eq f(2,)答案A解析ABC，设A，BC，则，eq f(,)1，参考题干中解法，则eq f(1,A)eq f(9,BC)eq f(1,)eq f(9,)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,)f(9,)()eq f(1,)eq f(1,)eq blc(rc)(avs4alco1(10f(,)f(9,)eq f(1,)(106)eq f(16,)，当且仅当eq f(,)eq f(9,)，即3

23、时等号成立故选A.二、填空题11(2017北京高考)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i1,2,3.(1)记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_；(2)记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_答案(1)Q1(2)p2解析设A1(xA1，yA1)，B1(xB1，yB1)，线段A1B1的中点为E1(x1，y1)，则Q1yA1yB12y1.因此，要比较Q1，Q2，Q3的大

24、小，只需比较线段A1B1，A2B2，A3B3中点纵坐标的大小，作图比较知Q1最大又p1eq f(yA1yB1,xA1xB1)eq f(2y1,2x1)eq f(y1,x1)eq f(y10,x10)，其几何意义为线段A1B1的中点E1与坐标原点连线的斜率，因此，要比较p1，p2，p3的大小，只需比较线段A1B1，A2B2，A3B3中点与坐标原点连线的斜率，作图比较知p2最大12(2018湖北八校联考)二维空间中，圆的一维测度(周长)l2r，二维测度(面积)Sr2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S4r2，三维测度(体积)Veq f(4,3)r3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度

25、V8r3，则其四维测度W_.答案2r4解析在二维空间中，圆的二维测度(面积)Sr2，则其导数S2r，即为圆的一维测度(周长)l2r；在三维空间中，球的三维测度(体积)Veq f(4,3)r3，则其导数V4r2，即为球的二维测度(表面积)S4r2；应用合情推理，在四维空间中，“超球”的三维测度V8r3，则其四维测度W2r4.13(2017江西赣州十四县联考)我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一并五关所税，适重一斤问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金eq f(1,2)，第2关收税金为剩余的e

26、q f(1,3)，第3关收税金为剩余的eq f(1,4)，第4关收税金为剩余的eq f(1,5)，第5关收税金为剩余的eq f(1,6)，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x，按此规律通过第8关”，则第8关所收税金为_x.答案eq f(1,72)解析第1关收税金：eq f(1,2)x；第2关收税金：eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)xeq f(x,6)eq f(x,23)；第3关收税金：eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)f

27、(1,6)xeq f(x,12)eq f(x,34)；第8关收税金：eq f(x,89)eq f(x,72).14传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn可以推测：(1)b2016是数列an中的第_项；(2)b2k1_(用k表示)答案(1)5040(2)eq f(5k5k1,2)解析观察知这些三角形数满足aneq f(nn1,2)，nN*，当n5k1或n5k，kN*时，对应的三角形数是5的倍数，为数列bn中的项，将5k1和5k列为一组，所以b2016是第1008组的后面一项，即b2016是数列an中的第