线性方程组题库

1、 (12315(12315(1240-1100-6-90A=-1-2324T006-339T0(12-9-5-137(00-12-6-187(0解：对线性方程组的增广矩阵A进行行初等变换得:2301000015、%320000卩20绘5分001%5分00000、00000丿(13(x)(1、令2分别取：(0(x74令自由未知量x=0,厂0、，得到导出组的基础解系为：x3=0，得方程组的一个特解：:0=120令自由未知量x=0,厂0、，得到导出组的基础解系为：叫=(一2,10,必叮(2,0,-2,1Y所以方程组的全部解为：X=10+叩1+叨2(其中c2为任意常数)。8分10.求线性方程组x+x1

2、2x+x122x+2x12+x3-x3=0 x-2x=145的全部解x-2x=145用其导出组的基础解系表5x+5x-3x-4x-8x=412345示)。解：对线性方程组的增广矩阵施行行初等变换得(111000、(111000、11-1-1-2100-2-1-21A=220-1-21T00-2-1-21(55-3-4-847(00-8-4-847(0001200110000(0000-1100.5分/11、T令自由未知量x=0,x=0,x=0，得到一个特解Y=-,0,石,0,02450122丿再取(x,x,x)T分别为(1,0,0%,(0,1,0,(0,0,，得到导出组的基础解系:245n=(

3、-i,i,0,0,0)T,n=1,0,1,1,0丫m1=(1,0,-1,0,1)t,所以方程组的全部解为X寸+叩1+叨2+叩3,(2%为任意常数)8分11.用基础解系表示线性方程组x+x+x一2x=312342x+x-2x=41233x+2x-x-2x=7的全部解。12346x+4x-2x一4x=141234/111-23/10-321、21-204014-42A=32-1-270000034-2-417丿00000丿解：设方程组的系数矩阵为A，对其增广矩阵A作初等变换，得:.5分原方程组同解于x=3x-2x+1134x=-4x+4x+2取x=0,x=0得方程组一个特解34(120r10-3-

4、2014-4导出组的系数矩阵可化为00000000丿234导出组与方程组x=3x-2x134x=-4x+4x234得基础解系：同解，r1、（3、（-2、2+C-4+C401120、00丿一1一7一32-2225一3丿于是得方程组（I）的全部解:k（3,72,3+|-2,2233,ojk为任意常数）,3分将（3,7,2,3代入（II）的导出组得7p+2+9=0,s-23=0,将-2,-22,-3,o代入（II）得-22p-5q=6-2s+警=t,8分解此四式得p=1,q=一&s=23,t=一28分x+x+x+x=-1123413.已知非齐次线性方程组14x1+3x2+5x3-x4=-1有3个线性

5、无关的解,ax+x+3x+13.已知非齐次线性方程组11234（1）证明此方程组的系数矩阵A的秩为2.求a,b的值和方程组的通解.解：设a,a,a是方程组的3个线性无关的解，则a-a,a-a是AX=O的两个线性无1232131关的解于是Ax=O的基础解系中解的个数不少于2,即4一r（A）2,从而r（A）2,又因为A的行向量是两两线性无关的，所以r（A）2,两个不等式说明rA）=2.（2）对方程组的增广矩阵作初等行变换：(1111-*1111A=435-5g13b4丿(004一2a4a+b一5由r(A)=2,得出a=2，b=一3，代入后继续作初等行变换:-1、33分4一込.5分(102-42、A

6、T01-15一3,00000.8分(2-九2-2、(1)14.设A=ll25一九-4,b=ll2一2-45-九丿日一九丿x=22x+4x得同解方程组k1=丄34,得到方程组的通解:X3+X5X234(2,-3,0,0)t+C(-2,1,1,0)t+c2(4,-5,0,1)t,q,c?为任常数.讨论九为何值时,方程组AX=b无解、l(-82-21、l(-82-21、ll2-5-52ll0-18-189厂2-4-4-11丿得通解为：,2IX3丿T0I0丿15已知线性方程组(-2、1I0丿kx+k-1X+12kx+kx+2kx+2(k-1)x12(1)k取何值时，方程组无解；+C20V丿C,C为任意

7、系数)12X=13X3=2，试讨论3+kx=23k取何值时，方程有唯一解，并求出其解；k取何值时，方程有无穷多解，并求出其通解。8分解：k=0时,r(A)=2丰iA)=32分（2）k丰0k丰2时,rA)=rA)=3,无解；唯一解5分（3）k=2时，r（A）=r（A）=2无穷多解,通解J1、1+c00i2丿12.8分无关,巴=2a2-a3,如果P=a!+a，求方程组AX=P的通解。16-已知4阶方阵A=（ai，a2，a3，a4），ai无关,巴=2a2-a3,如果P=a!+a，求方程组AX=P的通解。x1x1解：令x=x2，则由Ax=(a，a，a，a)x2x1234x33xx442=P34得xa+

8、xa+xa+xa=a+a+a+a，112233441234将巒2a2-匕,代入上式，整理后得（2叮+x2-3比+（-叮+x3）a3+（x4-1）a4=0，由a2由a2，a3，a4线性无关,2x+x一3=012知s-x+x=013x一1=045分解此方程组得)30解此方程组得)30i1丿+k1-21i0丿其中k为任意常数。.8分一x+九x+Xx=112317已知线性方程组解：23，讨论17已知线性方程组解：23，讨论九取何值时，方程无解；有惟解；有无穷多解（不必求解）。解：-1九九1、-1MM1、A=九10T01+M2M2加+九i02九2i02M2-10九一X2/2kXz一氐+1)/21-X、-

9、10XX2/21-X、00X-102X_Xx+12202X2丿丿00X-1丿由于方程九2入C+2=0有解0,1,.4分故得入丰0,1时有惟一解;入=1时有无穷多解;试讨论下列问题：.8试讨论下列问题：.8分TOC o 1-5 h zx+x+x+x=11234x+九x+x+x=118.设线性方程组为：134x+x+人x+x=11234x+x+x+(九一1)x=21234(1)当九取什么值时，线性方程组有唯一解?(2)当九取什么值时，线性方程组无解?解：线性方程组的系数行列式为111111111X1解：线性方程组的系数行列式为111111111X110X100=(X1)2(X2)11X100X10

10、111X1000X2(3)当九取什么值时，线性方程组有无穷多解？并在有无穷多解时求其解.(要求用导出组的基础解系及它的特解形式表示其通解)。(1)当(九1)2(九2)丰0,即九鼻1且九鼻2时，线性方程组有唯一解;.2.4分(2)当九二2时,(1111211111121111100100000，线性方程组无解;1丿6分(3)当九二1时(11111(111111(11102111111000000011TT.01111100000.000001102,.00011丿、00000丿线性方程组有无穷多解，且其通解为8分(x,x,x,x)=k(1,1,0,0)+k(1,0,1,0)+(2,0,0,1)8

11、分123412x+Xx+Ax+x=01234/19.设线性方程组S2xi+x2+x3+2x4=0，已知13x+G+X)r+(!+A)x+4x19.设线性方程组S12342分r1九九102分r1九九10、1021-九-九、A=21120tkk01311k32+X4+X41丿kk002(2Xd2X1处1丿时，3一）代入方程组中得九=A,r（A）=尸6）=3方程组有无穷多解，此时1当九工2该方程组的一个解，求方程组的全部解。解：将64分10At10At0100k1201_212丿-32）T（c为任常数）,-32）T（c为任常数）,.6分11、110122当入=时，Atkk01311k00000k丿方

12、程组的全部解为：（0，苓解，于是r（A）=rG）=2,故方程组有无穷多全部解为：（一2，0+3,1,0+c(-1,2,全部解为：（一2，.8分.8分1220.求一齐次线性方程组，使=（-11A0f0）T，=（7A0A6）T构成它的一个基础解系。12解：显然，所求的方程组Ax=O是一个5元线性方程组，且r（A）=52=3,另一方面即A的每=O另一方面即A的每=O(i=1,2)，得BAT=O，其中B=/、ar1laT丿，因此AT的每列亦行，都是方程组Bx=O的解，且该方程组的一个基础解系所含解向量的个数为此对矩阵B施行初等行变换，得为5-r（B）=3，故只要求方程组Bx=的一个基础解系片卩2,卩3

13、，则以卩2,卩3为系数矩阵的方程组匕卩2,卩3x=为此对矩阵B施行初等行变换，得/、ar1laT丿5127121)212/、ar1laT丿5127121)212丿4分6分8分二、证明题（每题8分）1.已知三阶矩阵B工O且的每一个列向量都是方程组x+2x一2x=01232x-x+九x=0的解,1233x+x一x=0123求（1）入的值；（2）证明B=0。（1）解：由B主得B中至少有一非零列向量，B的每一个列向量都是方程组的解，所给齐次方程组有非零解，则它的行列式2一21A=21X=1九=0，.九=1。34分证明：（反证法）若设B丰0，则B可逆，因此由题意AB=dA=与A主矛盾，所以B=0。8分x

14、+ax+a2x=a3123叫+bx+加七=b3，若a,b,c,d互不相等，证明方程组无解。123 HYPERLINK l bookmark254 o Current Document x+cx+c2x=c3123x+dx+d2x=d3123证明：由于增广矩阵B的行列式是范德蒙行列式，且a,b,c,d互不相等，2.已知方程组11111111a2b2c2d2=d-c)b-b)d-a)C-b)lC-a)-(b-a)H0,4分则r（B）=4，而系数矩阵A为4x3矩阵,r（A）3，0r（A）HrB）,方程组无解.8分3.设有两个n元齐次线性方程组Ax=0，Bx=0。证明：（1）若Ax=0的解都是Bx=O

15、的解，则r（A）rB）；（2）若Ax=0与Bx=0同解，则r（A）=r（B）o证明：（1）由条件知Ax=O的解空间是Bx=0的解空间的子空间，因此Ax=0的解空间的维数不大于Bx=0的解空间的维数，即n-r（A）n一rB）,于是r（A）rB）；.4分8分（2）由条件知Ax=O的解空间与Bx=0的解空间是同一空间，因而该空间的维数为n-rA）=n-rB），由此即得r（A）=r（B）8分x+x+x+x=-14.已知非齐次线性方程组4.已知非齐次线性方程组4x+3x+5x-x=-1有3个线性无关的解1234ax+x+3x+bx=11234(1)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；（2）求a,b的值

16、及方程组的通解。解：（1）设卩，卩，卩是非齐次方程组三个线性无关的解，123令=卩卩,a=卩卩，则a,a是其导出组的两个解11222312设ka+ka=0即kB+（k+k）（3+（k）（3=011221112223因P,P,P线性无关，所以必有k=0,k+k=0,k=0，1231122即k=0,k=0由此得a,a线性无关，1212因为导出组至少有两个线性无关的解，所以其基础解系至少包含两个解，故4-r（A）2,由此得r（A）2；111111另一方面，导出组的系数矩阵A=4351存在2阶不等于零的子式43=-111111另一方面，导出组的系数矩阵A=4351存在2阶不等于零的子式43=-11a1

17、3b所以，r(A)2，综上所述，即得A)=2。.4分2)因非齐次方程组有解，故其增广矩阵与系数矩阵的秩相等，由(1)得1=2-1,故增广矩阵-1的秩也为2,1j111j1111_435111153a13b142a5+4a+b42a用初等行变换把上述矩阵化为阶梯形由此得42a=0,5+4a+b=0，即a=2,b=3Ix+x+x+x=1Ix+x=1xx利用上述阶梯形矩阵，可得同解方程组1234即J1234Ix+x5x=3Ix=3x+5x134134Ix=22x+4x由此得通解为：2c3u4,Ix=3+x5x13其中x3,x4为自由未知数。8分5.设方程组(1)ax+ax+A111122ax+ax+

18、A211222x=b1nn1+ax=b2nn2MMMax+ax+A+ax=bn11n22nnnnMx+Mx+A+Mx=c1111221nn1Mx+Mx+A+Mx=c及方程组(2)2112222nn2及方程组(2)MMMMx+Mx+A+Mx=cn11n22nnnn其中M是元素a在系数行列式中的余子式，证明：方程组(1)有惟一解的充要条件是ijijTOC o 1-5 h z方程组(2)有惟一解。/、证明：记方程组(1)和方程组(2)的系数矩阵分别为A,B，并令A=V1)+ja，*ij则有ba*ae，即有BIA*I=An，于是，若方程组：1)有惟一解，则(A)=n，即A丰0,从而B丰0，所以方程组(

19、2)有惟一解。4分反之若方程组(2)有惟一解，则rB)=n，即B可逆，所以A=AB-1，若A=0，则A*=O,*从而由亠的定义知a=0，因此B=0，矛盾，故a丰0，所以方程组（1）有惟一解。8分发展应用能力层次、计算题（每题10分）x+x=01.x+x=01.设有两个四元齐次方程组（I”12o;（II）lxx=024（1）线性方程组（I）的基础解系；（2）求方程组（I）和（II）的非零公共解。1101x一x+x=0123,x一x+x=04230、-JI0则得(i)的基础解系为：q=G010】和勺=Ci,1(2).由(1)的结果，方程组(I)的一般解为：cg+cg=Cc11222一c-c+c=0

20、八221，得C=2c，lc-c+c=012212解：（1）.方程组（I）的系数矩阵A=若两个方程组有公共解，将上式代入方程组（II）中，必有S3分cccT,212所以（I）和（II）的非零公共解为：2cg+cg=cC112C为任非零常数）。10分2122222.已知非齐次线性方程组）,x+x+x-2x=-6124(1)24x-x-x-x=1；1234(II)2x+mx-x-x=-51234nx-x-2x=-112343x3x-x-x=3123x-2x=-t+134（1）求解方程组（I），用其导出组的基础解系表示通解;（2）QG）同解，求m,n,t的值。解:（1）设组（D的系数矩阵为A，增广矩阵

21、为A，对A作初等行变换，得:100-1-2、A1=（A,b）t010-1-4，（001-2-5丿因心丿=r（現）=3v4，故有无穷多解,(21aad)341211-2bbd中有2阶子式T行34212,cc23d2又A=-5丰0，因此r（A）2,J2、r1、一4+k1一52且通解为y=，J2、r1、一4+k1一52且通解为y=，k为任意常数。5分（2）将通解代入组（II）第一个方程，得到:(一2+k)+m(_4+k)-(一5+2k)-k=一5，即(m-2)(k-4)=0,由k得任意性，得m=2。将通解代入组（II）第二、三个方程，分别得到n=4,t=6。因此m=2，n=4,t=6。10分3设非齐

22、次线性方程组”2x+x+ax+ax=d1233441x-2x+bx+bx=d有3个解向量n=1233441cx+cx+2x-3x=d11223431、1-22、0、一1，n=21342为常数G=必j=邛23）。求此线性方程组的系数矩阵的秩，并求其通解。其中ai+2bi+2叫bj解：设所给方程为Ax=b，由题设可知“亡“:“彳是AX=b的3个解，因此厂1、136，n-n=332小=是Ax=O的两个线性无关的解，故r（A）2,5分由于r（A）=25分由于r（A）=2，所以n3-n1,n3-n2是Ax=o的基础解系，因此可得线性方程组Ax=b的通解为：a=n+k&-%）+k2（-n）113132(1

23、、（2、（1、113+k+k一2162311（其中ki，k2为任意常数）.10分4.设四元线性齐次方程组G）（叫+2一：，又已知某线性齐次方程组（II）的通解为XX.10分24k（mo）+k（12A1Z（1）求线性方程组G）的基础解系；解：（1）G）的系数矩阵为A=(1001、01通解为解：（1）G）的系数矩阵为A=(1001、01通解为kjoo3+k4(-110。34.4分（2）将）的通解代入G）中，则有*盘、：=0,得k1=k2，当气=一与丰1122时，则向量kjimohk（12Ad=k（md满足方程组G）,（ii），122故方程组G），Gi）有非零的公共解，所有非零公共解是kCmdk为常

24、数，且k丰）。.10分5.a+bx已知齐次线性方程组5.a+bx已知齐次线性方程组+ax+ax+A+ax=0112233nnax+la+b)x+ax+A+ax=0112/23)3nnax+ax+la+bk+A+ax=0,112233nn+bx+bx=0nnax+ax+ax+A+112233其中ya丰O试讨论aa/A,a和b满足何种关系时，i12ni=1（1）方程组仅有零解；（2）方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系解：a+baaaa123naa+baaa/1方程组的系数行列式A=a12a23a+b3anan=bn-1b+EaiMMMMMIi=1丿aaaaa+b123n.4分.

25、6分(1)当b丰0时且b+a丰0时，r(A)=.6分i=1(2)当b=0时，原方程组的同解方程组为：ax+ax+A+ax=0,1122nn由Ea丰0可知，a.G=12A不全为零.不妨设a丰0,ii1i=1得原方程组的一个基础解系为a2=(-a，oia0，a山“=(-。人1,En当b=-a时，有b主o，原方程组的系数矩阵可化为ii=1(Ea一Jai=1(Ea一Jaaaa1i23i=1aa-Enaiaa12i3ai=1aa-Enaa-aa123iMMMi=1aaaa123anananM工aii=1丿a-Eaaaaa1i23nT-T10a0-101a0MMMM_-100a1_-101aTMMM-10

26、0a000a(-110a0、0M10由此得原方程组的同解方程组为:x2=x1，x3=x1，A叫=x1.原方程组的一个基础解系为：aA。10分6.设a=（120,a=fa+23x1,a=（1,b2,a+2b1,p=（133,123试讨论当a,b为何值时，卩不能由a1,a2,a3线性表示；卩可由ai,a2,a3唯一地线性表示，并求出表示式；卩可由a1,a2,a3线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。(,1111(,111(,1111(,1111,2a+2b23T,0ab1,03aa+2b3丿,00ab0丿解：设有数kfkfk3使得kiai+k2a2+k3a3=p（*）记A=（x,a,a）.对矩阵

27、（1,卩）施以初等行变换，有i23(A,p)=.2分(1)当a=0时，有(1111、(A,p)T00b1,0001可知r（A）r（A,卩）,故方程组（*）无解,（2）当a丰0，且a丰b时，有卩不能由a1,a2,a3线性表示;.4分(10,00ab1、101aa1a0丿r（A）=r（Ap）=3，方程组（*）有唯一解：气=1a，k2=a,k3=0.此时p可由i，a厲唯一地线性表示，其表示式为：卩=（1一ah+aa2；7分（3）当a=b工0时，对矩阵a卩）施以初等行变换，有0,00a一b101-a1a0A)=r(A,P)=0,00a一b101-a1a0A)=r(A,P)=2，方程组(*)有无穷多解,

28、其全部解为:11气=1一a，k2=a+c,k=c，其中c为任意常数.卩可由线性表示，但表示式不唯一，其表示式为:p=(1-1h+(1+ch+吟10分7.设有齐次线性方程组(1+a)x+x+L+x=012n2x+(2+a)x+L+2x=012nLLLLLLLLLLnx+nx+L+(n+a)x=012n(n2)试问取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解解：方程组的系数行列式为1+a11L122a2L2MMMMnnnLn+a即a=0或a=n(n+1)时时，A=当|A|=0,=a+n(n+1)an-14分(111L1、(111L1、,222L2T000L0,MMMMMMMMnnnLn7I000L07

29、二0方程组有非零解x1当a二0时，A=n故方程组的同解方程组为：二(1,0,0,L,1)T,n1由此得基础解系为耳=(1,1,0,L,0)t，耳二二(1,0,0,L,1)T,n112于是方程组的通解为：X=GF哄+L+131，其中JLkn1为任意常数分n(n+1)当a=2时,1+a11L1-1+a11L22a2L2-2aa0L0A=TMMMMMMMMnnnLn+ana00La1+a11L1-000L0-210L0-210L0TTMMMMMMMM-n00L1-n00L1-2x+x=012-3x+x=0故方程组的同解方程组为：113，由此得基础解系为耳二(1,2,L,n)TM-nx+x=01n.1

30、0分23、46(k为常数),.10分23、46(k为常数),6k丿18.已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B=213且AB=O，求线性方程组Ax=O的通解解：(1)如果k丰9，则r(B)=2，由=0知r(A)+r(B)3，因此r(A)=1,所以Ax=O的通解是：t(1,2,3)t+1(3,6,k)t，其中t,t为任常数；5分1212(2)如果k=9,则r(B)=1，那么，r(A)=1或2若r(A)=2，则Ax=0的通解是t(1,2,3)t，其中t为任常数，若r(A)=1，对ax+bx+cx=0，设c丰0，123则方程组的通解是t(c,0,-a)T+1(0,c,-b

31、)T，其中t,t为任常数。10分12129.已知线性方程组(I)ax+ax(I)ax+ax+L111122ax+ax+L211222+ax=01,2n2n+ax=02,2n2nLLLLLLLLLLax+ax+L+ax=0n11n22n,2n2n的一个基础解系为(b,b,L,b)T，(b,b,L,b)T，L，(b,b,L,b，试11121,2n21222,2nn1n2n,2nby+by+L+by1111221,2n2nlby+by+L+by的通解。写出线性方程组（II）2；1t2；jtJ,/2的通解。by+by+L+by=0n11n22n,2n2n解：方程组（I）,（II）的系数矩阵分别记为4B

32、,则由题设可知ABt=0,于是BAt=0,可见A的n个行向量的转置向量为（II）的n个解向量，由于B的秩为n,故（II）的解空间维数为加-rB）=加-n=n,5分又A的秩为2n与（I）的解空间维数之差，即为n,故A的n个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成（II）的一个基础解系，于是得到（II）的通解：y=c（a,a,L,a）t+c（a,a,L,a）t+L+c（a,a,L,a）t，10分111121,2n221222,2nnn1n210分其中Ci，L,Cn为任意常数。10-求吧=（-11010-求吧=（-110T,a=虹讪口=C；011为解向量的齐次线性方程组。1-110、（1-110、11

33、01丿丿02-11丿丿2011丿丿0000丿丿23解：因为）=3分所以巴卫2卫3的一个极大无关组是和a；3分作矩阵B=/、a作矩阵B=1laT丿易得线性Bx=易得线性Bx=O的基础解系由x-x+x1232x-x+x234=0=0决定取自由未知量（、取自由未知量（、x1IX2丿得一基础解系为”=（10,-1-d,P；=119-1）T，6分12于是所求方程组的系数矩阵为A=所求的齐次线性方程组为S于是所求方程组的系数矩阵为A=所求的齐次线性方程组为S仰、IpJe1x一x一x=0134。x+x一x=0234（10-1-1、1-1丿10分二、证明题（每题10分）1已知平面上三条不同直线的方程分别为I:

34、ax+2by+3c=01l:bx+2cy+3a=0:cx+2ay+3b=0试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。证明：必要性：ax+2by=-3c设三条直线l,l,l交于一点，则线性方程组bx+2cy=-3a(*)123cx+lay=-3ba2ba2b-3c有惟一解，故系数矩阵A-b2c与增广矩阵A=b2c-3ac2ac2a-3c的秩均为2，于是A=0，由于a2b-3cA=b2c-3ac2a-3c=6(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=3(a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2但根据题设(ab)l+(bc)2+(ca)2丰0,故a+b+c=0；5

35、分充分性：由a+b+c=0，则从必要性的证明可知，A=，故秩(A)32b由于2=2(ac-b2)=-2a(a+b)+b2由于13=-2(a+b)2+b2丰024故秩(A)=2，于是，秩(A)二秩(A)=2,因此方程组(*)有惟一解，即三直线l,l,l交于一点。10分1232.设“是非齐次线性方程组AX=b的一个解，是对应的齐次线性方程组的012n基础解系，证明：q/H0+/%+g2，A/H0+g线性无关。001020n-r证明：(反证法)假设入凡+弐凡+A凡+g线性相关，则必存在一组不全为零001020n-r的数kk.k,A,k，使切+kt+l)+kG“+)+AKt+g)=O,012n-r00101202n-r0n-r即有+k+k+A+k)n+k&+k&+Ak&=O,012n-r01122n-rn-r设k=k+k+k+A+k，则k工0，否则由上式知线性相关，因而012n-r12n-rTOC o 1-5 h z与基础解系矛盾。所以k工0，5分于是有kAn0+AAkL+kg2+Akg)=O，从而kAn0=o与n0是非齐次线性方01122n-rn-r00程组Ax=b的一个解矛盾，因此所给向