数学物理方程第一章答案

1、 即得所证。6.在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力)与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为b),但方向相反,试导出这时位移函数所满足的微分方程.解:利q用第1题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段(x,x+Ax)1.3混合问题的分离变量法用分离变量法求下列问题的解：(1)du上所受的摩阻力.由题设,单位质量所受摩阻力为bw,故(x，x+Ax)上所受摩阻力为运动方程为:p(x)s(x)Ax貯x+AxES|解-边边dx利用微分中值定理，消去Ax，再令Ax0得p(x)s(x)d2uES若s(x)=常数，则得p(x凹dt2dxd(E二-bpp(x)=p是常量

2、,E(x)=E也是常量.令a2d2ud2u=a2dt2dx2.3xdu=sin,t=0ldtu(0,t)=u(l,t)=0=x(1-x)(0 xl)t=o界条件次的且是第一类的，令u(x,t)=X(x)T(t)得固有函数Xn(x)=sinx，且an兀,()T“d=Acosbplx丿s(x丿.nldt于.an兀t+Bsmt,(n=1,2nld2udud2u+b=a2-dt2dtdx2E-,则得方程Pu(x,t)=艺(AcosanKnn=1t+BsinanKln、.n兀t)sinx/今由始值确定常数A及B,nn所以由始值得.n兀smxn/n=1x(l-x)=艺丝Bsin匹xlnl=2an兀n=1=

3、1,A=0,当n丰3n.n兀,sinxdxll2Jln兀l-xcosx+sin一、n兀ln2兀2l、/n兀x+-丿V因此所求解为u(x,t)=空sin憎x-竺cos憎x)l=4l331?(10”时，方程的通解为n2K2ln3K3l03a兀.3兀4l3s1(1)n.an兀costsinx+乙sinla兀4n=1an4兀4tsinla2=0dt2dx2u(0,t)=0u(x,0)=*x,du门(l,t)=0dtdu(x,0)=0dtX(x)=ccosXx+csin、Xx12由X(0)=0得c1=0，再由X(l)=0得为了使C2(2n+1)冗I2l丿(n=0,1,2)且相应地得到于是X(x)=sin

4、2Kxn解：边界条件齐次的，令将九代入方程(2),解得(解：边界条件齐次的，令将九代入方程(2),解得u(x,t)=X(x)T(t)X(0)=0,X(l)=0T(t)=AcosnnaKt+Bsin2ln2n+1aKt2l(n=0,1,2)(1)求问题(1)的非平凡解，分以下三种情形讨论。1x0时，方程的通解为u(x,t)=1(An=02n+1.2n+1.2n+1cosaKt+BsinaKt)smKxn2ln2l2lX(x)=Ce-xx+Ce-jx一2再由始值得由X(0)=0得-+C2=0由X(l)=0得CXe-xiC2、一九e-xi=0hX.2n+1x=AsinKxln2l八戸+1,.2n+1

5、=aKBsinKx2ln2ln=0解以上方程组，得C1=0，C2=0，故X0时得不到非零解。容易验证sin2；1Kx”n=0,1,2)构成区间0,l上的正2x=0时，方程的通解为X(x)=c1+c2x交函数系：由边值X(0)=0得c1=0，再由x(l)=0得c2=0，仍2m+12n+1sinKxsinKxdx=2l2l0当m丰nl当m=n2得不到非零解。|.2n+1I利用|sin2T兀x(正交性，得v(x,t)满足第一类齐次边界条件，其相应固有函数为A=n2fh.2n+1,xsin兀xdx11210n兀X(x)=sinx(n=0,1,2)n1v(x,t)=T(t)sinxn1n=1(2)=2h

6、=E21(2n+1)兀2n+1xcos兀x+8h21(2n+1)2兀28h中u(x,t)=乙cos兀2(2n+1)221n=0(1)n21(2n+1)兀丿故设2sinAw2.齐次项xsinwt及初始条件中一.n兀sinx1展成级数，得(-1)n其中2n+12n+1a兀tsin兀x212。设弹簧一端固定，一端在外力作用下作周期振动，此时定解问题归结为d2uQ2u=a2-Qt2Qx2u(0,t)=0,Quu(x,0)=-(x,0)=0Qt求解此问题。解：边值条件是非齐次的，首先将边值条件齐次化，取AU(x,t)=xsinwt，则U(x,t)满足U(0,t)=0,U(1,t)=Asinwt令u(x,

7、t)=U(x,t)+v(x,t)代入原定解问题，则v(x,t)满足Q2vQ2vAw2.=a2+xsinwtQt2Qx21v(0,t)=0,v(1,t)=0QvAwv(x,0)=0(x,0)=xQt1(1)Aw2sn兀xsinwt=乙f(t)sinx1nn=1f(t)nAw丁按2fAw2.n兀，xsinwtsinxdx11102Aw2.=sinwt12=2Aw22jAw2.xsinT(t)+nT(0)=0,n1n兀xcosx+n兀1(1)n+1sinwtx1.n兀sinxn1n=1n兀72Awxdx=1(-1)nn兀得T(t)n2Aw2(1)n+1sinwtn兀2AwT(0)=(1)nnn兀T(

8、t)=nT(t)=Acos丝t+Bsin吧t+逊(-1)nn1n1n兀n+1sinwt-设zanK、()2-w21将非次项bshxu(x,t)=ST(t)sin-xn1n=1按sin?”展开级数，得由始值，得A=0nbshx=Sf(t)sinxn1n=12Aw(-1)n+12Aw312B=(-1)n1nan-n-n-(an-)2-w212)(an-)2-字1広)=2bfshxsinn(-1)n2Al其al巴xdx=(-1)n+12bn-sh11n2-2+12所以v(x,t)=n=1(-1)2曲1sin丝t(an-)2-(w1)21(x,t)=STn(t)sinx代入原定解问题,n=1得T(t)

9、满n(-1)n+12Aw212+(an兀)2(w1)21n兀sinwtsmxn兀T(t)+(罕)2T(t)=(-1)0)u(x,t)=eL(Acoset+Bsinet)sinxnn1nn=1解：方程和边界条件都是齐次的。令再由始值，h丁x=厶1Vu(x,t)=X(x)T(t)Asinnn10=为(bA+B)sinnn=1代入方程及边界条件，得所以由此得边值问题T+2bTX九Xa2T2h1.n兀=Jxsm120,2hxdx=(-1)n+1n兀X(0)=X(l)=02bhn兀n(-1)n+l所求解为X(0)=X(1)=0因此得固有值九=九=n2，相应的固有函数为/、2h尹(1)u(x,t)=ebtL兀nn=1n+1b(cost